正多边形和圆

正多边形和圆第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期日

找一找观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期日正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等，三个角也相等（60度）。四条边都相等，四个角也相等（90度）。思考：各边相等的多边形是正多边形吗？为什么？各角相等的多边形呢？问题1，什么样的图形是正多边形？想一想：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期日新课讲解思考：将⊙O分成相等的5段弧，把这些等分点顺次连接起来，得到的是什么图形？为什么？EDCBA2、正多边形与圆有何关系？∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,⊙O是五边形ABCD的外接圆.正五边形第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期日你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期日2.各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,∴多边形A1A2A3A4…An是正多边形.·A1A２A３A４A５A６A７AnO先说A1第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期日

弦相等（多边形的边相等）弧相等—圆周角相等（多边形的角相等）—多边形是正多边形ABCD第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期日正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.O·中心角半径R边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期日新课讲解中心EDCBAO半径中心角边心距正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期日EFCD..O中心角ABG边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期日新课讲解EDCBAOF中心角与内角互补正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期日例题选讲例1.若正三角形的半径为4，则它的边心距是____，边长是_____。知一求二例2.有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形（如图）求地基的周长和面积。G若正多边形的周长为l，边心距为r，则：S=_________。12lr重点：正三角形、正方形、正六边形第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期日例有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积OABCDEFRPr第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期日当堂训练1.填空正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积360°416第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期日练习1.矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.解答：第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期日3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D连接OB，则OB=R在Rt△OBD中∠OBD=30°,边心距＝OD=在Rt△ABD中∠BAD=30°,·ABCDO第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期日解：连接OB，OC作OE⊥BC垂足为E，∠OEB=90°∠OBE=∠BOE=45°在Rt△OBE中为等腰直角三角形·ABCDOE第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期日抢答题：1.o是正与的圆心。△ABC的中心，它是△ABC的2、OB叫正△ABC的它是正△ABC的的半径。3、OD叫作正△ABC的它是正△ABC的的半径。ABC.OD半径外接圆边心距内切圆外接圆内切圆第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期日4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期日6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的（），它是正五边形ABCDE的（）的半径。7、∠AOB叫做正五边形ABCDE的（）角，它的度数是（）DEABC.OF边心距内切圆中心72度第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期日8、图中正六边形ABCDEF的中心角是（）它的度数是（）9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？

BAEFCD.O∠AOB60度解答：正六边形的半径与边长数量关系是相等因为：正六边形的中心角是60度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边长与半径相等。第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期日当堂训练3.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A.mB.20mC.22mD.24mB第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期日怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期日你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期日你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期日你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D

以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………

第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期日练习：用量角器作五角星探究按照一定比例,画一个停车让行的交通标志的外缘停第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期日ABCDMN第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期日画正多边形的方法1.用量角器等分圆2.尺规作图等分圆小结：画正多边形的方法第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期日ABCDEO如图：已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期日1、判断题。①各边都相等的多边形是正多边形。（）②一个圆有且只有一个内接正多边形.（）2、证明题。求证：顺次连结正六边形各边中点