模式识别第九章

模式识别第九章第一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

实质是一坐标的旋转，∴在特征选择，数据压缩等方面有极其重要的作用。2、目的（任务）：对n维特征作正交变换（即最佳映射后）使新的特征量相互独立，并更多的反映各类间的差异。3、可用工具：K－L变换可作为最佳特征压缩第二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日9.2K-L展开式

非周期性的随机过程可用一类正交基函数展开，且展开式系数是互不相关的，这就是K-L展开式。非周期性的随机过程，在[a，b]区域可展开为：n(t)为正交基向量，n=1,2,,满足第三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日要求系数xn有独立性，即离散条件下，可用向量形式表示：（取D个分量）第四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日矩阵形式：其中第五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

K-L展开式的性质取决于选用的正交基向量。对于各类别属性的样本来说，使用的正交基向量相同，只是展开式系数因类别不同而不同。上式可写为即C的各量为：第六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

∴C就是随机向量x的一个正交归一化变换的结果，C的每个值都是选出来的特征。∵K-L变换的一个非常重要的性质是展开系数ci

互不相关，即要求：那么在保证C各分量互不相关条件下,如何确定正交基jj=1,…,D第七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日正交基j的确定（j=1,…,D）：将上式写成矩阵形式，C的自相关函数矩阵为——这是变换后的特征ci的方差第八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日则x的自相关矩阵Rx为：Λ：Rx的本征值矩阵：对应的本征向量矩阵第九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日∴相关矩阵Rx的本征值和变换后特征ci的方差相同。∴变换矩阵将矩阵Rx对角化。可看出j是x的自相关矩阵Rx的本征值，j是对应的本征向量。第十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日K-L变换实质：通过K-L变换，就是将x变换到以基向量j(j=1,…,0)为正交坐标轴的坐标系里，新坐标系的各坐标值为cj(j=1,…,0)

，C完全保存着x的所有信息，却消除了向量x各分量间的相关性。可去掉信息少的坐标值，达到降维的目的。第十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日要提取特征，首先要进行K-L展开。计算K-L展开式各系数一般步骤如下：2）Rx的本征值i和对应的本征向量j,j=1,…,D，

得到矩阵1）计算随机向量x的自相关矩阵Rx=E[xxT]3）计算展开式系数C=Tx第十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日9.3基于K-L变换的特征选择为了压缩特征维数，从D个K-L展开系数cj(j=1,2,…)中选取m个，则新向量为：其中：m为D×m维，

选择哪m个本征向量构成变换矩阵m，使信息损失最小?在最小均方误差准则下选取：选m项后：第十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日产生的误差为：利用：及：x的均方误差为：第十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日∴均方误差是去掉的那些分量ci对应的本征值之和。为使均方信息损失最小，本征值选择方法则为：排序：123…D>0

—特征选择的依据显然，为使均方信息损失最小，应将本征值大的特征尽可能保留，以排序大小作为特征选择的依据。第十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日取前m个大的本征值所对应的本征向量为：m：D×m维矩阵则压缩为m维的新特征向量为：显然是在均方意义下信息损失最小的最佳K-L变换第十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日也可利用熵概念说明K-L变换的最佳性质，并比较与其它各类正交变换的性能。定义：其中：反映了

的不均匀性相等时（分布均匀），熵最大。越不均匀，熵越小。新坐标系各坐标值差别不大时，熵越大，差别越大时，熵越小第十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日∵随机向量x的自相关矩阵的本征值i与变换后特征的方差相同。即：∴选择m个最大本征值的变换特征，可使方差之和

最大。第十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

∴K-L坐标系下表示的熵最小。从熵函数的角度也说明了K-L变换最佳可以证明：任何一个正交线性变换中，从K-L变换可得到最大方差和，即第十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日K-L变换的实质性意义：(1).K-L变换能获得互不相关的新特征量几何上，K-L变换实际是坐标系的旋转，以此消除分量间的相关性(2).选择大的本征值对应的本征向量组成变换矩阵。实质上保留了原样本中方差最大的特征成份，突出了差异性。第二十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日除了使用x的自相关阵Rx的本征矢量构成正交变换矩阵来实现均方误差最小的K-L变换外，还可用x的协方差阵x的本征矢量构成正交变换矩阵，使均方误差最小,即：作为K-L变换矩阵总之，取x的Rx或x的本征矢量矩阵作为变换矩阵的这种变换称为K-L变换。i是变换后ci2的期望，或是ci的方差，即或第二十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日(3).上述变换没有用到不同类别的样本判别信息，∴适合于非监督分类器，或初分类。当样本类别已知时，可采用i，Sw，Sb，代替Rx

，则可得到不同的特征提取方法。

例：利用总类内离散度矩阵Sw作为K-L变换的产生矩阵，即：可有各种方法计算二阶统计量，得到不同K-L坐标系。（i，Sw，Sb

）没有利用类别标签第二十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

求出Sw的非零本征值，并从大小排序，如1>2>…c-1，选m个最大的本征值对应的本征向量构成变换矩阵。也可用第i类样本集的i作为K-L产生矩阵，但这时K-L坐标只对第i类样本集才有信息压缩的最优性质。

K-L变换不像其它正交变换，其它正交变换矩阵是确定的，K-L变换矩阵依赖于信号的二阶统计特性，要达到较好效果，实际需大量样本对二阶矩阵精确估计。第二十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日注意：采用K-L作为样本分类的特征提取时，要特别注意尽可能保留不同类别的样本分类鉴别信息。若仅考虑准确地提取原来样本的主成分，有时不一定有利于分类的鉴别。第二十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日为了使变换后的低维空间尽可能多的保持原有的分类信息，需进一步研究如何利用类均值向量包含的大量分类信息，以便更有效提取特征，即需寻找“最好”的K-L坐标系。9.5利用类平均向量提取判别信息吸收类均值向量带来的信息进行特征提取第二十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日可分性不仅和类内距离有关，还和类间距离有关。可靠的方法是：希望类间散射大，各维的方差小，∴设计判别准则由Sw、Sb共同来刻化变换后的分量的可分性方法：j是Sw的第j个本征值，实际就是第j维方差。uj是j对应的本征向量。第二十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

显然，J(xj)越大，可分性越好，对各分量排序：J(x1)J(x2)…J(xn)（计算各特征的J（·））

选取前d个最大的J(xj)对应的Sw的本征值j所对应的本征向量uj构成变换矩阵w*，即：w*=(u1,u2,…,ud)D×d最后利用y＝（w*T)x

，将D维空间的样本x映射到d维的样本，由此产生的均方误差最小。其中第二十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日1）计算Sw的K-L变换，即求j及对应的uj过程（步骤）：2）计算J(xj)3）J(xj)按大小排序，取前d个J(xj)对应的本征向量作为变换基向量K-L变换举例，p219例9.1第二十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日图中可看出，选u1比选u2作为变换矩阵w*，更容易分类第二十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日9.6依据Sb和Sw作K-L变换的最优压缩方法（要求类别数c不能太大）

上述特征提取方法(9.5节)不是最优的。∵不能保证类间离散度矩阵Sb是对角阵，即类均值向量各分量之间不是非相关的，∴不是最优方法。∵舍弃了特征，也就舍弃了一部分信息。前面之所以说K－L变换是最佳变换，仅仅是指在最小均方误差准则上的最佳，但毕竟舍弃的不是最小一部分信息。

当类别数c不太大时，有可能实现吸收类均值向量的全部分类信息进行特征提取，且提取的特征又不太多。第三十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日若将Sb对角化（即用Sb作K-L变换的产生矩阵），但并不能保证Sw的特征分量不相关。若能使Sw变成单位阵时，任何正交变换均不能改变Sw，仍能保持各分量间的不相关性。当Sw是对称正交矩阵时，有可能变成单位阵。

思路：第三十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日吸收类均值向量全部分类信息的最优特征提取方法，其步骤如下：1）求变换矩阵B，使BTSwB=I

设Λ和U是对称正交矩阵Sw的本征值对角阵和本征矢量矩阵，作白化变换—称该变换为白化变换∴要将Sw对角化、单位化。分两步，即：

第三十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日先K-L变换，得本征值对角阵Λ和本征向量矩阵U=(u1,u2,…,u0)。通过变换矩阵U，消除分量间的相关性再对对角阵Λ白化处理，即令2）对类间散射矩阵Sb进行变换则第三十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日3）对Sb进行K-L变换，即找出Sb的本征值和本征向量。

若样本类别为c，则类间离散度矩阵Sb的秩不会大于c-1，即使B满秩，Sb=BTSbB的秩也不会大于c-1。∴Sb的秩最多是c-1，∴非零本征值个数dc-1选这d个非零本征值对应的本征向量vi（i=1,…,d），即用V作变换矩阵，可提取类均值向量的全部分类信息，即所得的d个分量含有原来D维样本的全部信息。第三十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日4）最佳变换矩阵为：

一般类别数c小于特征维数D

，∴最后由

y=WTx——不损失信息，又达到最小维数的变换矩阵。把D维空间的x映射到d维空间的y，达到了对分类信息压缩的目的。当c类远比特征维数D小时，该方法压缩性能十分明显第三十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日例9.2p220与例9.1比较：即w*＝u1和w*＝BV’的比较，小圆表示BT作用后的类的位置变化，显然采用w*＝BV’变换后，更易分类第三十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

9.7基于类方差信息的类别信息提取除了类均值向量外，各类方差也包含分类信息。尤其当各类均值向量相等或较接近时，从类均值向量中提取不出分类信息，前面方法失效，应优先考虑如何吸收方差信息，为此利用“总体熵”概念。第三十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日各类方差分布散射越大，对于分类提供的不确性越大。在极端情况下，当各类方差均匀分布，不确性最大，相反，如果方差分布很集中，包含的不确性信息就很小。熵是不确定性信息的一种度量，利用熵概念解决第三十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日rij是第i类第j个分量的方差；j是Sw的第j个本征值，也就是第j个特征分量的总方差；Pj是i类的先验概率。先定义归一化方差：第三十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日—各类方差的概率加权求和，也就是第j个特征分量的总方差具有概率的性质，即：∴可用

定义各维的熵第四十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

定义熵准则函数：或定义为更简单形式：两种形式都描述了第j维方差的离散程度。第四十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

若离散度大，在各类分布较均匀，即则J(xj)最大，方差j提供的不确定性也最大。

若

在各类分布较集中，则J(xj)较小，方差j提供的不确定性也较小，∴使用J(xj)较小的坐标做分类特征较有利。第四十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日J(xj)由小到大排序：

取前d个较小的熵值确定d个坐标轴，作为特征空间的坐标系统。例9.3用类中心化向量的判别信息求变换矩阵9.9自看。是K-L变换在人脸识别中的一个应用第四十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日作业：写一篇应用论文，或写最新算法的综述、发展动态、前沿问题等第四十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日小结：模式识别的5个阶段1）问题的提出与定义2）数据获取和预处理从图像中提取有用的数据或信息，生成非图的表示，最终输出是数值、符号，而不是图像。3）特征提取和选择在处理时间消耗与分类错误率之间进行折衷平衡4）分类器设计学习训练过程，确定某种判别准则5）分类结果解释（决策）第四十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

图像的特征提取与识别应用实例:（补充）图像识别应用广：字符识别、医学图像识别、遥感图像识别（雷达、光学、红外等）、生物特征识别：人脸、指纹等、交通车辆识别，以及自动导航侦察方面的机器视觉图像识别等等第四十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日一、图像识别中的几个主要任务（功能）图像预处理：

变换、增强、复原、匹配等使图像有某种改善，但有时也对处理后的图像再经过分割、描述提取有效特征，进而加以判别分类。变换：从空域变换域，在不同变换域反映不同特性。

DFT反映空间频率特性，小波变换研究信号时变特性。

DFT、DCT、K-L变换、Walsh变换等，其实质都是把函数用一个完备的正交函数集展开。第四十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日增强：灰度级修正，图像平滑，图像锐化，图像几何校正，中值滤波等。图像增强主要方法有：空域增强和频域增强。复原：因系统误差、畸变、噪声、干扰等，图像质量变差，建立统计模型/数学模型使图像重建和恢复。例同态滤波、图像分段处理、插值法。第四十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日图像的匹配（又叫图像定位）

1）利用模板匹配的方法对已知形式的目标进行识别（例文字、人脸等识别）

2）对多种图像，采用比较和配准、确定目标的位置（定位，数据融合等应用）第四十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日图像的分类根据图像的一组特征值将目标对象划归为不同类别。图像描述根据图像的特征值，如几何特征（幅度、边缘）、统计特征（二阶矩）等，对目标进行描述，作为判读依据，以便分类。第五十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日图像分割将有意义的（感兴趣的）场景目标从图像背景中分割出来，例图像阈值分割区域增长等。例：一幅航空照片，可分割为工业区、住宅区、湖泊、森林等，

辨别文字也需先将文字分选出来。遥感图像中分割农作物、森林、矿产资源，可进一步判断其产量或蕴藏量。第五十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日图像的识别和理解依据图像信息，确定目标各部分的连续性和关系，根据这种关系达到理解图像的目的。重点讲图像的识别特征，有各种各样的描述。图像识别特征：几何特征、统计特征第五十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日二、灰度与纹理特征量

灰度：

光强度函数（光学图像）

后向反射系数（雷达图像）纹理：图像局部性质的统计，通常指图像灰度分布中反复出现的某种局部模式及排列规则纹理成为描述和识别图像的一项重要依据。与其它图像特征或描述相比，纹理性质似乎能更好的兼顾图像宏观性质与细部结构两方面，第五十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日1．纹理特征分两类：

结构性纹理特征，随机性纹理特征。随机性纹理特征：不具有孤立的基本结构，没有明显的周期性，而呈现某种随机性结构的图像。结构性纹理特征：有一个或几个图像周期性重复出现，如格子窗、砖块等。第五十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日结构分析方法（模板匹配）：找出纹理基元，寻求纹理结构规律统计分析方法（占主导地位）：一阶统计特性，二阶、高阶统计特性。共生矩阵也是公认的一种重要纹理分析方法。灰度共生矩阵描述了不同方向、相邻间隔、灰度分布的综合信息，是分析图像灰度局部模式及其排列规则的基础。2．分析方法的分类：第五十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日粗糙性、方向性是区分纹理所用的两个最主要的特征。主要介绍随机纹理图像中用于分类的特征提取。随机特征的统计度量：(一)、一阶统计量的特征提取以直方图为基础第五十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日N(i)：第i个灰度级的象素总数，M：整幅图的像素总和

P(i)：灰度i出现的概率，即一阶直方图灰度图像灰度值的一阶概率分布一阶统计量是最基本灰值特性度量，可提供许多信息，例如：若显现较窄的峰时，说明图像灰值反差小，当出现双峰时，说明图中有两个不同亮度的区域第五十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日若取p(i)作为直方图特征，当图像灰度量化太大时，可能太多（例如256时，就有256个特征），没有必要。若采用某些统计量作为特征，不仅数目少，且描述更明确。这些统计量都是以直方图统计分布为基础。1．灰度分布关于原点的r阶矩显然，r＝1，即M1为灰度均值，反映图像不同物体的平均反射强度第五十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日2．灰度分布的r阶中心矩显然r＝2，即二阶中心矩就是灰度分布的方差2

，是对灰度值分离散性的度量，2小，对比度差。3．偏度（扭曲度）

S是对灰度值分布偏离对称情况的一种度量。对称性越好，S越小第五十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日4．峰度K描述灰度分布是否聚集在均值附近的倾向5．能量若灰度是等概率分布的，则具有最小的能量。若呈现较窄的峰，说明灰度反差小(灰度均匀)，其值较大。第六十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日6．熵（Enteony）若灰度是等概率分布，则具有最大熵。

这些一阶统计量不能反映像素间的空间联系，不满足纹理特征量的要求（只说明了灰度大小）。第六十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日（二）二阶统计量针对纹理特征提取，如遥感图像中物体与地貌的区别，往往不在于灰度大小而是它们的纹理差别。纹理特征可分为空域和频域空域有：方向差分及其统计量、灰度共生矩阵及其

统计量、灰度游程矩阵及其统计量等。频域有：功率谱度量特征第六十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日1．方向差分性质：(1)表示该区域纹理的稠密程度。

当r较小时，若D(r,)较大，则纹理稠密(灰度均值变化大)，若D(r,)较小，则纹理稀疏(灰度均值变化小)图像中非重迭的两个邻域灰度均值的方向差分。若用Ar(x,y)表示以像素(x,y)为中心，半径为r的区域内的灰度均值，则方向上的两邻域的方向差分定义为：第六十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日（2）若纹理有方向性，则某些方向的D(r,)会高于其它方向的值。∴D(r,)确实能描述纹理特征量2．方向差分常用的统计量若用PD(i)表示D(r,)为第i个方向差分值的概率（D(r,)相当于梯度）第六十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日统计量有：

(i)反差（或称对原点的惯性矩）（对比度）(ii)角二阶矩（或称能量）(iii)熵(iv)均值第六十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日（三）共生矩阵及其统计量共生矩阵表示图像位置相距为(x,y)的两个灰度像素点（灰度对）同时出现的联合频率（次数）分布，即基于纹理中某一灰度级结构重复出现的情况。——公认的一种重要的纹理分析方法第六十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

对于灰度等级数为n的图像，则共生矩阵M(x,y)为一个n×n矩阵，其元素pij表示相距(x,y)，且灰度分别为i级和j级的象素点对出现的次数，是距离和方向的函数。共生矩阵的产生：该矩阵的数值分布情况，可反映图像的纹理特征。第六十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日为了减小计算量，通常灰度级要减少至一个合理的数值，例：256级减至8级，16级减至4级等。如何计算共生矩阵：举例：距离为1的共生矩阵的计算第六十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日例：4级灰度的图像∵灰度层为4，∴共生矩阵为4×4ji先规定距离d和方向＃：表示数目第六十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日的共生矩阵为：x值表示列的变化，y值表示行的变化，则象素点的对应坐标即=0，d=1（x,y）水平方向ij第七十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日的共生矩阵为：即=90，d=1垂直方向第七十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日即=45，d=1次对角线方向第七十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日即=135，d=1主对角线方向也可统计d=2、d=3的共生矩阵。第七十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日显然，灰度共生矩阵对角线上的元素是检测区域里位置相距（x,y）并具有相同灰度级的象素点对出现的次数，非对角线上，则是不同灰度象素对出现的次数，离对角线越远，象素灰度差别越大。∴对于粗纹理，当

值较小时，对角线附近值较大（灰度值相同）；对于细纹理，远离对角线值较大。第七十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

如果纹理有方向性，矩阵中较大数值偏离对角线的程度与(x,y)有关，即与d,的取值有关∴共生矩阵是对区域纹理性质的描述。∴共生矩阵可表征具有方向性的纹理，其反映了图像灰度关于方向、相邻间隔、幅度变化的综合信息。例：对于云类的自动识别卫星云图提供图像信息，可计算不同的共生矩阵。第七十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日常用统计量(1)反差（对比度，也称主对角线的惯性矩）从共生矩阵出发，可进一步提取纹理的一系列特征灰度分布均匀性的度量。分布越不均匀，con越大。粗纹理：pij值集中于主对角线附近，（i－j）值较小，con较小。细纹理：

con较大，分布越不均匀第七十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日(2)能量（角二阶矩）

图像灰度分布均匀性或平滑性的度量，图像越均匀，其值越大。当矩阵中元素的数值集中于对角线附近时，说明灰度分布较均匀，即呈现粗纹理，ASM值较大，反之，较小。第七十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日(3)相关其中表征元素在行、列方向上的相似程度第七十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日(4)熵

当pij值相等或pij值相差不大时，熵值较大（即灰度分布不均匀，各种灰值都有）；

当pij值之间差别很大时，熵值小。例：有陆地、人造目标等场景，，pij值分布均匀（灰度分布不均匀），熵值大。∴熵值也是反映纹理特性的度量。对图像内容随机性的度量第七十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日其它统计量方差、逆差矩、和平均、和方差、和熵、差平均、差方差、差熵等如何选择d和，以及如何用共生矩阵的参数作纹理分析，一直是研究的课题，通常小的d值，可提供较好的结果。第八十页，共九十六页，编辑于2023年，星期日举例：一幅SAR图像（512×512）原图的直方图原始图像

第八十一页，共九十六页，编辑于2023年，星期日量化成16级（由最大值开始），计算0，45，90，135灰度共生矩阵(d=2),并相加第八十二页，共九十六页，编辑于2023年，星期日利用C—均值聚类法(即K—均值聚类法)，利用各纹理特征量进行分类处理（C=3），分别得到8幅处理结果

计算各种纹理特征统计量，如：差方差、差平均、对比度、方差、逆差矩、熵、相关、和方差。图中：1－差方差，2－差平均，3－对比度，4－方差，5－逆差矩，6－熵，7－相关，8－和方差再进行分割，三种等级（分三类）。再画直方图。计算归一化类内均值及类间距离。第八十三页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

(a1)

(a2)差方差差平均第八十四页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

(b1)(b2)

(c1)(c2)分割后的结果

第八十五页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

(a3)(a4)对比度方差第八十六页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

(c3)(c4)(b3)(b4)分割后的结果

第八十七页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

对比度方差a(5) a(6)第八十八页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

c(5)c(6)b(5)b(6)分割后的结果第八十九页，共九十六页，编辑于2023年，星期日

a(7)