概率随机变量

概率随机变量第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期六F(x)的图形如下第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期六比例系数λ=1/6,相当于1在区间[4，10]上的平均值，即1均匀分布在区间[4，10]的每一点上，体现了概率分布在子区间上的密集程度。这个平均值称为ξ在区间[4，10]的概率密度，记作φ(x)随机变量ξ在区间[a，b]上的概率密度为1/（b-a)其余密度为0，称服从均匀分布，指ξ取区间[a，b]上的每一点是等可能的。第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期六分布函数F(x),恰好就是非负函数φ(x)在实数上的广义积分.即第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期六

定义2.3(p40)

对于随机变量ξ，若存在非负函数φ(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称ξ为连续型随机变量，φ(x)为ξ的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为ξ～φ(x),(-<x<+)第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期六ξ密度函数φ(x)具有的性质

(1)非负性φ(x)0，(-<x<)；

(2)归一性第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期六第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期六第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期六第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期六例10已知连续性随机变量ξ有概率密度求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.5<ξ<2.5)解：第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期六计算P(1.5<ξ<2.5)

P(1.5<ξ<2.5)＝F(2.5)－F(1.5)第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期六2.3二元随机变量定义2.5如果每次试验的结果对应着一组确定的实数（ξ1…,ξn），它们是随试验结果不同而变化的n个随机变量，并且对任何一组实数x1,x2,…,xn,事件“ξ1≤x1,…,ξn≤xn”有确定的概率，则称n个随机变量的整体为一个n元随机变量（或n元随机向量）。

定义2.6称n元函数

F(x1,…,xn)=P(ξ1≤x1,…,ξn≤xn)(2.10)(x1,…,xn)∈R

为n元随机变量的分布函数。第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期六（一）离散型1.联合分布定义2.7如果二元随机变量(ξ,η)所有可能取的数对为有限或可列个，并且已确定的概率取各个不同的数对，则称（ξ,η）为二元离散型随机变量。为了直观，可以把（ξ,η

）所有的可能取值及相应概率列成表（见表2-6），称为（ξ,η

）的联合概率分布律。二元随机变量也可以用(X,Y)来表示第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期六XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................x1x2xi二元离散型随机变量的分布表也可列表表示如下:P43P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)上式也称为联合分布律第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期六联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期六解：试验结果共有4个基本事件组成，列成概率分布表如表2-7所示。ξ1

ξ2

01

01

0.10.30.30.3例1同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。记“ξk=0”为第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品(K=1,2）。写出（ξ1，ξ2）的联合分布律。第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期六

2.边缘分布与联合分布的关系

第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期六XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................x1x2xi

2.边缘分布与联合分布的关系

第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期六边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…P{X＝xi}＝，i＝1,2,…(2.12)为(X,Y)关于X的边缘分布律；

P{Y＝yj}＝，j＝1,2,…(2.13)为(X,Y)关于Y的边缘分布律。

边缘分布律自然也满足分布律的性质。第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期六例3将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目（i=1,2）。写出(ξ1,ξ2）的联合分布及(ξ1,ξ2)中关于ξ1的边缘分布。第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期六于是,(ξ1,ξ2)的联合分布为:

ξ2ξ10120124/164/161/164/162/1601/16009/166/161/16关于ξ1的边缘分布为:ξ1

p09/1616/1621/16第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期六关于ξ2的边缘分布为:ξ2

p09/1616/1621/16关于ξ1的边缘分布为:ξ1

p09/1616/1621/16第二十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期六例4.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0

1 1/10 3/10 0 3/10 3/10

故关于X和Y的分布律