人教B版选择性必修第一册124二面角学案

1．2.4二面角新课程标准新学法解读1.理解二面角及二面角的平面角的定义．2．把握空间向量法求二面角的思路.1.留意区分平面间的夹角与二面角的不同．2．能结合图形，敏捷选择方法解决与二面角有关的问题.[笔记教材]学问点1二面角的定义及相关概念二面角的定义从一条直线动身的____________所组成的图形称为二面角棱________称为二面角的棱面________称为二面角的面范围0°≤θ≤180°二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面α和β内作________于棱l的________OA和OB，那么射线OA和OB所成的角________称为二面角的平面角直二面角平面角是________的二面角称为直二面角两个相交平面所成的角两个相交平面所形成的四个二面角中，____________的角答案：两个半平面这条直线这两个半平面垂直射线∠AOB直角不小于0°且不大于90°学问点2射影面积公式平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，那么cosθ＝eq\f(S′,S).学问点3空间向量与二面角假如n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，那么θ＝________或________，如图．特殊地sinθ＝________.答案：〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉sin〈n1，n2〉[重点理解]1．对二面角的理解(1)二面角的取值范围是[0，π]，当两个半平面重合时，二面角的大小为0；当两个半平面在同一平面内，且延长方向相反时，二面角的大小为π.(2)二面角的平面角必需具备三个条件：①“棱上〞，即二面角的平面角的顶点必需在棱上；②“面内〞，即角的两边必需分别在两个半平面内：③“垂直〞，即角的两边必需都与棱垂直．(3)二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，顶点在棱上的不同位置所作的平面角是相等的．(4)本书中，我们商定，二面角及其平面角的大小不小于0，不大于π.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0且不大于eq\f(π,2)的角的大小．这样商定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的．2．二面角的常见求法(1)利用定义法求二面角所谓的定义法，就是在二面角的棱上取一适当的点作出平面角(或者找一个与棱垂直的平面，那么该平面与两半平面的交线构成的角即二面角的平面角)，然后解三角形即可．求二面角的步骤：①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)所作(找)的平面角即为所求二面角的平面角；③利用三角形的学问求解．(2)利用向量法求二面角①如图1，分别在二面角α－l－β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，那么向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉的大小等于该二面角的平面角的大小．②如图2、图3，设m1⊥α，m2⊥β，那么角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．③利用法向量求二面角的大小的一般步骤(3)利用三垂线定理(或其逆定理)求二面角利用三垂线定理(或其逆定理)作二面角的平面角是常用的方法，其步骤如下：①在其中一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线；②过垂足作棱的垂线(过这个特殊点作棱的垂线)；③连接特殊点与棱上的垂足(连接两个垂足)，依据三垂线定理(三垂线定理的逆定理)得平面角．(4)利用面积法求二面角利用cosθ＝eq\f(S影,S)求二面角，如下图，S是平面α内一图形的面积，S影是该图形在平面β内射影的面积，θ是平面α与平面β所成二面角的大小．[自我排查]1．思维辨析(对的打“√〞，错的打“〞)．(1)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，那么θ＝〈n1，n2〉．()(2)假设二面角两个面的法向量的夹角为120°，那么该二面角的大小等于60°或120°.(√)2．在一个二面角的两个面内和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，那么这个二面角的余弦值为()A.eq\f(\r(15),6) B．－eq\f(\r(15),6)C.eq\f(\r(15),3) D.eq\f(\r(15),6)或－eq\f(\r(15),6)答案：D3．如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，那么二面角A－BC－O的余弦值为________．答案：eq\f(\r(3),3)4．(2022安徽蚌埠模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－C1答案：eq\f(1,3)研习1定义法求二面角[典例1](2022江苏苏州月考)如下图，甲站在水库地面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l(水库地面与水坝斜面的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，那么水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为________．答案：eq\f(a2＋c2＋b2－d2,2ab)[解析]方法一：化为向量问题：依据向量的加法法那么，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→)).进行向量运算：d2＝eq\o(AB,\s\up16(→))2＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→)))2＝eq\o(AC,\s\up16(→))2＋eq\o(CD,\s\up16(→))2＋eq\o(DB,\s\up16(→))2＋2(eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→)))＝a2＋c2＋b2＋2eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＝a2＋c2＋b2－2eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))，所以eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\f(a2＋c2＋b2－d2,2).设向量eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DB,\s\up16(→))的夹角为θ，那么θ就是水库地面与水坝斜面所成二面角的大小，因此cosθ＝eq\f(\o(CA,\s\up16(→))·\o(DB,\s\up16(→)),|\o(CA,\s\up16(→))||\o(DB,\s\up16(→))|)＝eq\f(a2＋c2＋b2－d2,2ab).故水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为eq\f(a2＋c2＋b2－d2,2ab).方法二：如图，过D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE，BE，由二面角的平面角的定义知∠BDE即所求二面角的平面角．BE2＝d2－c2，在△BDE中，由余弦定理得cos∠BDE＝eq\f(BD2＋DE2－BE2,2BD·DE)＝eq\f(a2＋c2＋b2－d2,2ab).[巧归纳]作二面角的平面角的三种方法定义法在棱上取点，分别在两半平面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角垂面法二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面，与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角垂线法过二面角的一个面内不在棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，那么∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角[练习1]平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，那么()A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角答案：B研习2利用三垂线定理或射影面积公式求二面角[典例2]在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B－AP－C的余弦值．[解]方法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，那么E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.由于PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.又由于BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC，由三垂线定理有BF⊥PA，所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角．设PC＝1，由E是AC的中点，得BE＝eq\f(\r(3),2)，EF＝eq\f(1,2)×sin45°＝eq\f(\r(2),4)，所以BF＝eq\f(\r(14),4)，所以cos∠BFE＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(7),7).方法二(利用射影面积公式)：如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.由方法一知，BE⊥平面PAC，即点E是点B在平面PAC内的射影，所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．设PC＝1，那么PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝1，所以△PAB中AB边上的高h＝eq\f(\r(7),2).所以S△PAB＝eq\f(\r(7),4)，又S△PAE＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,4).设二面角B－PA－C的大小为θ，由射影面积公式有cosθ＝eq\f(S△PAE,S△PAB)＝eq\f(\r(7),7).[巧归纳]1．用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法(1)在其中一个面内找一特殊点A，过A作另一个平面的垂线，垂足为B.(2)过A作棱的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线，垂足为C)，连接BC(或连接AC)．(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得二面角的平面角∠ACB.2．对射影面积公式的理解(1)来源：三垂线定理．(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积或者能求出．(3)优势：不需要作出二面角的平面角．[练习2]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝eq\r(3)，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C(2)求二面角A－A1C－B答案：(1)证明：由于三棱柱ABC－A1B1C1所以AB⊥AA1，在△ABC中，AB＝1，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝60°，所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1AA1⊂平面ACC1A1所以AB⊥平面ACC1A1又A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A(2)解：如图，作AD⊥A1C于D连接BD.由三垂线定理知BD⊥A1C所以∠ADB为二面角A－A1C－B在Rt△AA1C中，AD＝eq\f(AA1·AC,A1C)＝eq\f(\r(3)×\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(6),2).在Rt△BAD中，tan∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(\r(6),3)，所以二面角A－A1C－B的正切值为eq\f(\r(6),3).研习3空间向量法求二面角[典例3]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2(1)假设D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D(2)在AA1上求点D，使得二面角B1－CD－C1的大小为60°.答案：(1)[证明]如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，∴eq\o(C1B1,\s\up16(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC1,\s\up16(→))＝(－1，0,1)，eq\o(CD,\s\up16(→))＝(1,0,1)．由eq\o(C1B1,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0，得eq\o(C1B1,\s\up16(→))⊥eq\o(CD,\s\up16(→)).由eq\o(DC1,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝0，得eq\o(DC1,\s\up16(→))⊥eq\o(CD,\s\up16(→)).又∵DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D又∵CD⊂平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D(2)[解]当AD＝eq\r(2)时，二面角B1－CD－C1的大小为60°.设AD＝a，那么点D的坐标为(1,0，a)，∴eq\o(CD,\s\up16(→))＝(1,0，a)，eq\o(CB1,\s\up16(→))＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CB1,\s\up16(→))＝0，,m·\o(CD,\s\up16(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋2z＝0，,x＋az＝0.))令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．又∵eq\o(CB,\s\up16(→))＝(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，∴cos60°＝eq\f(|m·\o(CB,\s\up16(→))|,|m||\o(CB,\s\up16(→))|)，即eq\f(1,\r(a2＋2))＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\r(2)，故AD＝eq\r(2).∴当AD＝eq\r(2)时，满意题意．[巧归纳]向量法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，那么向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.(3)计算：设n1与n2所锐角为θ，cosθ＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|).(4)定值：依据二面角的大小选择θ或π－θ.[练习3]在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小．解：方法一：如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐系Axyz.设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，那么C(b,0,0)，B(0，a,0)．∵eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0，0))，eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(b,0,0)．∵eq\o(OE,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OE,\s\up16(→))⊥eq\o(AC,\s\up16(→))，即OE⊥AC，又eq\o(OF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，0))，eq\o(OF,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(OF,\s\up16(→))⊥eq\o(AC,\s\up16(→))，即OF⊥AC.∴∠EOF即为平面EAC与平面ABCD所成二面角的平面角．cos〈eq\o(OE,\s\up16(→))，eq\o(OF,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up16(→))·\o(OF,\s\up16(→)),|\o(OE,\s\up16(→))||\o(OF,\s\up16(→))|)＝eq\f(\r(2),2).∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.方法二：建系如方法一，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(AP,\s\up16(→))＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(b,0,0)．设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up16(→))＝0，,m·\o(AC,\s\up16(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)x－\f(a,2)y＋\f(a,2)z＝0，,bx＝0.))∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，cos〈m，eq\o(AP,\s\up16(→))〉＝eq\f(m·\o(AP,\s\up16(→)),|m||\o(AP,\s\up16(→))|)＝eq\f(a,\r(2)·a)＝eq\f(\r(2),2).又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.1．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，假设〈n1，n2〉＝eq\f(π,3)，那么二面角A－BD－C的大小为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D.eq\f(π,6)或eq\f(π,3)答案：C2．(2022江苏镇江模拟)二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，那么二面角α－l－β的大小可能为()A．60° B．120°C．60°或120° D．30°答案：C3．二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，那么该二面角的大小为()A．150° B．45°C．120° D．60°答案：D4．(2022吕梁贺昌中学模拟)过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，假设PA＝BA，那么平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：B5．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，那么二面角A－BC－P的大小为________．答案：60°[误区警示]混淆二面角与两平面法向量的夹角致错[例如]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C[错解]以点D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，那么D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．由题意知eq\o(DA1,\s\up16(→))是平面ABD1的一个法向量，且eq\o(DA