概率论与数理统计

§3

0,1P(A)

,观察掷出的点数S={1,2,3,4,5,A3{3,4,5,=PAA中样本点的个数=S中样本点的个数

4=2 P(A)‡P(A)£)=P(S)=(5)若AB=P(AB)=P(A)+P(B).引例2考虑一个点等可能地随机落在[0,1]区间 设A00.3，PA) A

=0.3=整个区间的长 引例2考虑一个点等可能地随机落在[0,1]区间 设An表示点落

,1，n=1,2,, n+ n A1A2,两两互斥

A

P(An 设A是试验E的，在相同的条件下将试n次试验中A发生的次数fn(A) 是n次独立重复试验中，A发生的频率(frequency)0£fn(A)£1.fn(S)=1,fn)=0.A1A2Am互不相容则mmnifA=mmni

fn(Ai).i

i NADeJ.J.J.J.K.K.P(.)是A的集合函. 非负性：对于任何A，有P(A)‡规范性：PS可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的，则

A=

P(Aiii i

i二、概率的性P(f)=0.A1A2f则A1,A2,是两两互不相容 iP()=Pi

P(A

==ii =i所以P(f)0.

i i

nniPA=P(Ai).nnii

n¥=¥

且

=Ai

i i PAi=PAi

P(Ai)=P(Ai)+P(Aii

i

i

i= =P(Ai)+P(f)=P( i= iABS(2)若ABf,ABSP(AB)=P(A)+P(B).AAS(2¢)对任何A,都AASAA=fP(AA)=P(A)+P(AA=SP(A)=1-P(A).P(S)=1

若 B，则P(B-A)=P(B)-P(BSBSP(B)=P(A)+P(B-P(B-A)=P(B)-P(A)‡ 若 B，则P(A)£P(B), 特别地，P(A)£ABS(3)ABABSP(B-AB)=P(B)-P( P(A-AB)=P(A)-P(AB). ABABS 设P(A)=1/3,P(B)=1/2，分别在如下三种情形下求P(BA).ABSSB SBASBASB(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(ABAB(4.1)对任何两个A,B,都P(AB)=P(A)+P(B)-P(证明AB=A(B- AA(B-AB)=P(AB)=P(A)+P(B- BP(B-AB)=P(B)-P(P(AB)=P(A)+P(B)-P((4.1)两个和的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(P(ABC =P(A)+P(B)+-P(AB)-P(BC)-P(AC)+(4.3)对任何n nnAi=nn

P(

)-P(AiAji

i

1£i<j£+P(AiAjAk1££j££n+

(-1)n-

Anii nie1,e2,e1,e2,可能性大PA)A中样本点的个数S中样本点的个数 S={(H,H),(H,T),(T,H),A={(H,H),(H,T),4P(A) 34m ，…

n1+n2+…+第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，…

n1· (1£k£n)次,(1)

nPk n

nnkn时称全排列Ann(n-1)(n2)21n(1)

1234n=4，k134123123第1234n=4，k134123123224 444

n个不同元素中任取k(1£k£n)n此种组合总数为Ck.n排列与组合的关系：(1) nkAk=Cnnk

k!Ck= nkk!nkCk

.= . Cnn =Cn-k,k=1,2,,n,CnnCnnn=C0=1.Cnn 抽样.求下列的概率.解：设A=“取到的两只球都是白球B=“取到的两只球都是红球”,CD CP(A)=—C62A2P(B)=

26或C或C2C=

P(C)=1-D=AB,AB= A取到的数6B取到的数8

求PA<33, =<33, =25,

83<2000 P(A)=333 P(B)=250

24P(AB)

< 2000 2000

2000A=“取到的数6B=“取到的数8整除AB=AP(AB)=P(AB)=1-P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(

求PAP(AB)=1-[P(A)+P(B)-P( 设有N件产品,其中有M件次品次正次N-M正N件中任取n件，n≤min次正次N-M正求其中恰有k(k≤n)件次品概率解：设A恰有kC Cn-P(A)=M

N-MCN设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落123n123n231N231N 落入到N个盒子中的每一个盒子,（N‡n），B=“恰有nC=“123n 123n231N……N-231NC CP(A) N P(B)=———NNB=“恰有nC=“有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)N间的任意一间，求指定的n间房人人 的概率（n≤365）.AnCnnP(A) Cnn

,P(A)=1-P(365 AB=AP(B)=1-P(B)=1-P(AB)C C C30 =1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1- 50+80-30 C C

§5引例掷两颗均匀，设B=“第一颗掷出6点{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),

在缩减样本空间A所含样本点个其中只有3个A中.PA|B3ABS已知B发生，求P(A|B)ABS AB

AB中样本点的个数SB中样本点的个数SS中样本点的个数

=P(AB)P(B)PP(A|B)=P(AB)

设A、B是两个，且P(B)>0，则P(A|B)=P(P(B)P(B|A)=P(P(非负性：对于每一A，有P(AB)‡规范性：对于必然S，有P(S|B)=可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的事 则PAiBP

B).i i证明(3)设A1,A2,是两两互不相容的,

AB

ABiiPiii

Bii¥

i P(B)

=i P(B)P(AiB)=i P(B)

=¥i¥

P(AiB)P(B)

=¥i¥

P(

B).设B是一，且P(B)>0,P(f|B)A1A1A2互斥，则P((A1A2)B)P(AB)P((A1A2)B) 2件二等品.从中取产品2次，每次任取一件，记B

P(A|

2=1

= A A15P(A|B)‡P(或P(A|B)£P(例设A掷出2点”，B1B2

P(A)=16P(A|B1)=13P(A|B2)=B3=“掷出点数小于

P(A|B3)=16

P(A|B)=在已知P(B),P(A|B)时,可反解出P(AB).

P(B0.96,PA|B0.75由题意，AP(ABC）=P(AB)P(C|=P(A)P(B|A)P(C|P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An- 其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，设Ai“第i个人抽到入场券”，i=1234Ai表示“第i个人未抽到入场券”.显然，P(A1)=1/5，P(A1)＝4/5.由于A2=A1A2 P(A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|P(A2(4/5)(1/4 P(A3)=P(123)=(1(A2|A1)P(A3|=(4/5)(3/4)(1/3)=继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”. 10解设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签P(A)= =2

，P(AB)=P(A)P(B|A)=·= P(AB)=P(A)P(B|A)=6·4=4 = (4)P(ABC)=P(A)P(B|A) ·