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第十一章全等三角形全等三角形(2008年仙桃、潜江)4ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使^ABD与4ABC全等,那么点D的坐标是.答案:(4,-1)(-1,3)(-1,-1)(2007年泰安)如图,△ABE和^ACD是^ABC分别沿着AB,AC边翻折180o形成的,若/BAC=150o,则Z9的度数是.答案:60°三角形全等的条件(1)1.(2008年宜宾市)已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:NC=ND答案:证明:连结AB在4ADB与4ACB中产二BC<AB=BA^AC=BD.•.△ADBSACB・•・ZD=ZC
11.2三角形全等的条件(2)(2008年遵义市)如图,OA=OB,OC=OD,NO=50°,ND=35°,则NAEC等于( )A.60°B.50°C.45° D.30°答案:A根据OA=OB,OC=OD,ZO=ZO可证△ODA04OCB,所以NC=ND=35°,又因为NEAC=NO+ND=85°,所以NAEC=180°—85°—35°=60°.(2008常州市)已知:如图,AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE.求证:AC=DE.答案:VZBAD=ZCAEAZBAC=ZDAE在△BAC^ADAE中'AB=AD</BAC=/DAE^AC=AE・•・ABAC"DAEAAC=DE(2007年南昌市)如图,在AABC中,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系?证明你的结论.答案:AB//CF.证明:在△A5C和△。庄中,由DE=FE,ZAED=ZCEF,AE=CE,得AADE^ACFE.所以/A=/FCE.故AB〃CF.(2008年泰安市)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:DC±BE.答案:(1)解:图2中△ABEgZXAC。证明如下:VAABC与4AED均为等腰直角三角形.*.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=90°AZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE即NBAE=NCADAAABE^AACD(2)证明:由(1)AABE丝AACD知ZACD=ZABE=45°又NACB=45°ZBCD=ZACB+ZACD=90°ADC±BE
(2008年北京)已知:如图,C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧.AB〃ED,AB=CE,BC=ED.求证:AC=CD.证明:•「AB〃ED,AZB=ZE.在4ABC和4CED中,AB=CE,</B=/E,BC=ED,•••△ABCSCED.AAC=CD.(2008无锡)已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°.(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形;(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由.(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有个.友情提醒:请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度,“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.答案:解:(1)如图1;(2)如图2;(3)4.11.2三角形全等的条件(3)(2008年苏州)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,N1=N2,N3=Z4.求证:(1)^ABC04ADC;(2)BO=DO.答案:证明:(1)在4ABC和4ADC中尸”2<AC=ACZ3=Z4•••△ABCSADC.(2)MABC"ADC,・・・AB=AD.又•.•N1=N2,.'.BO=DO.(2007年随州市)如图,^ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使^ADB/△CEB,还需添加一个条件.(1)给出下列四个条件:①AD=CE②AE=CD ③/BAC=/BCA④ZADB=/CEB请你从中选出一个能使^ADB/△CEB的条件,并给出证明;你选出的条件是.证明:(2)在(1)中所给出的条件中,能使△ADB/△CEB的还有哪些?直接在题后横线上写出满足题意的条件序号:.答案:第(1)题添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明.(1)②证明:•「AE=CD,BE=BD,.'.AB=CB,又NABD=NCBE,BE=BD.•.△ADB04CEB(2)③④3.(2008年西宁市)如图,一块三角形模具的阴影部分已破损.(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角,就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具AB'C?请简要说明理由.(2)作出模具4AB'C的图形(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明).答案:(1)只要度量残留的三角形模具片的NB,NC的度数和边BC的长,因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.(2)按尺规作图的要求,正确作出ZA'B'C'的图形.11.2三角形全等的条件(4)(2007年通辽市)如图,在Rt^AEB和Rt^AFC中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于点N,NE=NF=90°,NEAC=NFAB,AE=AF.给出下列结论:①NB=NC;②CD=DN;③BE=CF;④△CAN04ABM.其中正确的结论是( )A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④答案:A(2008年南宁市)如图,在4ABC中,D是BC的中点,DELAB,DFLAC,垂足分别ATOC\o"1-5"\h\z是E、F,BE=CFo A(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出; \(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明。 \答案:(1)3对。分别是:BDC△ABDSACD;△ADESADF;△BDESCDF。(2)^BDE^^CDFO证明:因为DELAB,DF±AC,所以NBED=NCFD=90°又因为D是BC的中点,所以BD=CD在Rt^BDE和Rt^CDF中,\BD=CD\EE=CF所以ABDE/^CDFo11.3角平分线的性质(一)(2008年双柏县)如图,点P在/AOB的平分线上,若使△AOP0ABOP,则需添加的一个条件是(只写一个即可,不添加辅助线):B答案:OA=OB或NOAP=NOBP或NOPA=NOPB(2007年十堰)如图,在^ABC中"0平分NBAC,AB=AC—BD,则NB:NC的值是答案:211.3角平分线的性质(二)(2008年梅州)如图,点P到NAOB两边的距离相等,若NPOB=30°,则ZAOB= 度.答案:60°(2007年绵阳市)如图,^ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分NBAC,②DE±AB,DFXAC,③ADLEF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②n③,①③n②,②③n①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);(2)请证明你认为正确的命题.答案:(1)①②n③,正确;①③n②,错误;②③n①,正确(但在我们知识范围内,暂时不能给出证明过程).(
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