中考数学压轴12有关函数的计算说理类综合问题（教师版）

2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘

弓题12仃关函数的计克说理类综合问题

【类型综述】

计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值.

压轴题中的代数计算题，主要是函数类题.

函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、歹U、解、验、答五步完成，一般来说，解析式

中待定几个字母，就要代入几个点的坐标.

还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律.

【方法揭秘】

代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组,

消去y,得到关于x的一元二次方程，然后根据△确定交点的个数.

我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法.

如图1,已知直线y=x+l与x轴交于点A,抛物线yur-Zr-S与直线y=x+l交于4、B两点，求点B

的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标.

儿何法是这样的：设直线与y轴分别交于C,那么tan/AOC=l.

作BE_Lx轴于E,那么更=1.设B(x,/-2r-3),于是土二生口=1.

AEx+l

请注意，这个分式的分子因式分解后，=这个分式能不能约分，为什么？

x+1

因为X=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合，所以中一1,因此约分以后就是X-3=1.

这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便.

【典例分析】

例1在平面直角坐标系中，OC的半径为r,尸是与圆心C不重合的点，点尸关于。C的反称点的定义如

下：若在射线CP上存在一点P',满足CP+CP'^2r,则称点P为点P关于。C的反称点.如图1为点P

及其关于。C的反称点产的示意图.

特别地，当点尸与圆心C重合时，规定CP=O.

(1)当。。的半径为1时，

①分别判断点M(2,l),N(3,0),T(l,g)关于。。的反称点是否存在？若存在，求其坐标；

2

②点P,在直线y=—x+2上，若点尸关于。。的反称点P，存在，且点P不在x轴上，求点尸的横坐标的取

值范围：

(2)G)C的圆心在x轴上，半径为1,直线y=-日X+26与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上

存在点P，使得点P关于。C的反称点P在。C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

图1，

思路点拨

1.反称点P是否存在，就是看CP是否大于或等于0.

2.第(2)题反称点匕在圆内，就是0WCPV1,进一步转化为g2—CPV1.

满分斛答

(1)①对于M(2,1),OM=y/5.因为。M，=2—石＜0,所以点M不存在反称点(如图2).

如图3,对于N(工0),。%=巳.因为0乂=2-'=一，所以点V的坐标为(±,0).

22222

如图4,对于7(1,6),OT=2.因为。7=0,所以点T关于。O的反称点T是(0,0).

图2图3图4

②如图5,如果点P存在，那么0P'=2-0P>Q.所以0P<2.

设直线产-x+2与x轴、丁轴的交点分别为/、B,那么。4。3=2.

如果点P在线段AB上，那么0P<2.

所以满足。尸二且点P不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0会<2.

(2)由》，=-半x+26,得一490),5(0,2我.所以由4=穿=:

所以4=30。.

因为点P在。C的内部，所以0<CP1<l.

解不等式组0<2-CP<1,得KCP<2.

过点C作CPLAB于P,那么CP=-AC.所以2<4C<4.

2

考点伸展

第(2)题如果把条件“反称点产在。C的内部”改为“反称点P存在“，那么圆心C的横坐标的取值范围是什

么呢？

如果点P'存在，那么C尸K).

解不等式2,-60,得CPS2.

所以ACWI.因此圆心C的横坐标的取值范围是20<6.

例2已知二次函数y=a(x-,")2—〃(1一〃?)(“、为常数，且“翔).

(1)求证：不论a与，"为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于4、8两点，与)，轴交于点。.

①当AABC的面积等于I时，求a的值

②当AABC的面积与△A3。的面积相等时，求〃?的值.

思路点拨

I.第（I）题判断抛物线与工轴有两个交点，容易想到用判别式.事实上，抛物线与x轴的交点A、8的坐

标分别为（见0）、（m+1,0）,AB-}.

2.当△A8C的面积等于1时，点C到x轴的距离为2.

3.当△A8C的面积与△48。的面积相等时，C、力到x轴的距离相等.

4.本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细.

满分斛答

（1）由y=a（x—加>—/M）=a（x—1）,

得抛物线与x轴的交点坐标为4肛0）、5（刑+1:0）.

因此不论a与泄为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.

<2）①由

24

得抛物线的顶点坐标为。（加+；「；a）.

因为N5=l,S_ABC=-ABX-La=1,所以a=±8.

24

②当AABC的面积与△ABO的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等.

第一种情况：如图1,C、。重合，此时点。的坐标可以表示为（0,-；a）,

将£）（0,一•-a）代入y=a（x-m-—）2--a>得一!〃=a（m+—）2--a.

424424

解得加=-■-.

2

图1

第二种情况：如图2,图3,C、。在x轴两侧，此时点。的坐标可以表示为（0,；a），

将0（0-a）代入y=a（x-m--）2~—a>得=a（m+—）2--a.

424424

解得m=―]±及

考点伸兼

第(1)题也可以这样说理：

由于由y=a(x-?H-y):-,抛物线的顶点坐标为0(加一葭一：。).

当。>0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；

当Z0时，抛物线的开口向下，而顶点在.v轴上方，所以抛物线与'轴由两个交点.

因此不论。与7»为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.

第(1)题也可以用根的判别式A说理：

由r=a(x—m)2—a(x—ni)=a[x:—(2m+l).x+ni2+m],

得A=a2[(2m+1)2-4(m2+w)]=a2>0.

因此不论a与»/为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.

这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细.

例3如图1,在AABC中，BC>AC,NAC8=90。，点。在A8边上，OE_LAC于点E.

(1)若竺=」，AE=2,求£C的长；

DB3

(2)设点尸在线段EC上，点G在射线CB上，以尸、C、G为顶点的三角形与AEDC有一个锐角相等,

FG交CD于点尸.问：线段CP可能是ACFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.

ADB

图1

思路点极

1.ACFG与AECC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况.

2.高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个

是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3.根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来.

满分斛答

(1)由Z；4cB=90。，DE1.4C,得DEBC.

g•所以2耳•解得EC=6.

ECDB

（2）△<:尸G与他儿?都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况:

①如图2,当N1=N2时，由于N2与N3互余，所以/2与/3也互余.

因此NCP尸=90。所以CP是△CFG的高.

②如图3,当/1=N3时，PF=PC.

又因为N1与N4互余，N3与N2互余，所以N4=N2.所以PC=FG.

所以PF=PC=PG.所以C尸是ACFG的中线.

综合①、②，当C。是NAC8的平分线时，CP既是ACTG的高，也是中线（如图4）.

图2图3

考点伸展

这道条件变换的题目,不由得勾起「我们的记忆:

如图5,在ZkABC中，点Q是AB边上的一个动点，DE1/BC交AC于E,DFiiAC交BC于F,那么四边形

CEZ）厂是平行四边形.

如图6,当C。平分乙4cB时;四边形CEOF是菱形.

图5图6

如图7,当NACB=90。，四边形CEDF是矩形.

如图8,当NACB=90。，CD平分NACBn寸，四边形CTOF是正方形.

图8

例4已知二次函数y=-W+6x+c的图像经过点P（0,1）与。（2,-3）.

（1）求此二次函数的解析式;

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过

点、B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D,且所得四边形4BCC恰为正方形.

①求正方形的ABCD的面积;

②联结B4、PD,PD交AB于点、E,求证：l\PEA.

思路点拨

1.数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示4。、48的长，当四边形A8CO是正

方形时，AD=AB.

2.通过计算NB4E与/。尸。的正切值，得到NB4E=/DPO=/PD4,从而证明△力OSAPEA.

满分斛答

（1）将点P（0J）、22,-3）分别代入）=-x：+bx+c,得

i=0,

解得

c=l.

所以该二次函数的解析式为J=-x-+1.

（2）①如图1,设点/的坐标为（x,一必+1）,当四边形/BCD恰为正方形时，AD=AB.

此时J7=2XA.

解方程—x：+l=2x,得x=-l±0.

所以点工的横坐标为0-1.

因此正方形ABCD的面积等于［2（0-1）『=12-8血.

②设OP与A8交于点F,那么P尸=OP—。尸=1—2（正一1）=3—2亚=（正—1产.

所以tan/PAE="=(£一”=叵-1.

AFV2-1

乂因为tanNPD4=tanNDP。=丝=正一1，

0P

所以NB4£=NPD4.

又因为ZP公用，所以△附OS/\PEA.

图1图2

考点伸展

事实上，对于矩形ABC£>,总有结论△出。S/XPEA.证明如下：

如图2,设点A的坐标为(x,—f+1),那么PF=。尸一。尸=1一(一«+l)=f.

PFx2

所以tan/.PAE=-----=一=x.

AFx

又因为tan/.PDA=tanZ.DPO==x，

OP

所以/RtE=NPD4.因此△以0s△PEA.

例5如图1,抛物线y=；(x-3)2-l与x轴交于

A、B两点(点A在点8左侧)，与y轴交于点C,顶点为D

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)联结C£),过原点。作0E，C£),垂足为H,0E与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:

ZAEO^ZADC；

(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过尸作OE的切线,

切点为。，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点。的坐标.

图1P

思路点拨

I.计算点E的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角(或同角)的余角.相等.

2.求PE的最小值，设点P的坐标为(x,y),如果把P炉表示为x的四次函数，运算很麻烦.如果把尸尸转

化为y的二次函数就比较简便了.

满分斛答

1177

(1)由y=-(x-3)2-l=-x2-3x+—，得O(3,-l),C(0,-).

2222

由y=l(x-3)2-l=^[(x-3)2-2]=1(A：-3+V2)(x-3->/2),

得A（3-&,0）,8（3+收,0）.

⑵设8与.4Z交于点F,对称轴与x轴交于点作轴于Y.

如图2,由D（3「l）,C（og）,得DW=3,CV=^.因此tanNDCV=f=：

如图3,由OE1CD,得ZEOM=NDCV.因此tanZ.EOM=言=：.

所以EM=2,E（3,2）.

由邱一存0),M0,O),得出/=0.

因此tan4E.M=©^=走，tanZDJ.W=—=4==—

EM2AM^22

所以NAEM=NQ4W.于是可得NAEQ=90。.

如图4,在Rt^E“/与RtAZMF中，因为NEFH=/O必,

所以NHEF=/AD凡即/AEO=NAOC.

ly

izA

o|~M

N|--^ID

图2图3图4

(3)如图5,在Rt&EP。中，E。为定值，因此当PE最小时，P。也最小.

设点P的坐标为(X?'),那么PS;=(.v-3)-+(1-2)：.

已知丁=；(x-3)，一1,所以(.V-3)；=21-2・

因此PE:=(2j+2)+(T-2):=1--21-6.

所以当,r=1Bl,PE取得最小值.

解方程；0-3)-'-1=1,得'=5,或.v=l(在对称轴左侧，舍去).

因此点P的坐标为⑶1).此时点Q的坐标为31)或(？，¥)(如图6所示).

55

图5图6图7

考点伸展

第(3)题可以这样求点Q的坐标：设点Q的坐标为(见，?).

由E(3,2)、P(5,1),可得P£：2=5.又已知E°2=],所以尸^=4

19

(机-3)2+("-2)2=1,班=3,T,

列方程组解得

(加-5)2+("-1)2=4,%=1,13

T,

还可以如图7那样求点Q的坐标：

对于Q(肛〃)，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组—=己二2=’.

〃一15-/7?2

同样地，对于/(，",〃)，可以列方程组"0=2二巴=■?■.

\—n5-tn2

【变式训练】

一、解答题(本大题共20题)

1.已知二次函数丁=--2血*+62-1

(1)该抛物线与卿I交于点C顶点为0,求点口的坐标；

(2)在(I)的条件下，唠由是否存在一点P,使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存

在，请说明理由.

(qT)(---1)

存在，满足条件的点坐标为(《了'"或(-彳"°).

【答案】(1)0点坐标为2''或'2'1(2)P

【解析】

【分析】

近

(1)把C点坐标代入解析式可计算出m=±2,然后把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；.

(2)分类。讨论：先利用待定系数法求出直线CD的解析式,然后求出直线CD与x轴的交点坐标，即可得

到P点坐标.

【详解】

(1)把C(0,：)代入y=X?-2mx+"尸-】得rM-1=：,

解得小=±]

所以y=(x-m)2-1=(x±y)2-1,

所以。点坐标为(1-1)或(-/1)

(2)存在

；(o，1)L)代入得

当D点坐标为(彳-“，设直线CD的解析式为y=kx+b,把‘

b=-k=-

「42

^-k+b=-1b=—

12,解得I4,

3

则直线CD的解析式为‘一一~2X+4,

当、=。时，-JZ4：=140,解得斤二土,

此时P点坐标为(1,0)

当。点坐标为(-1，1)＞设直线CD的解析式为'kx，b＞把C(o])、D(-1,T)代入得

444

则直线。。的解析式为、==乂+；,

当y=0时,-yx+^=0,解得斤二一，，

4414

此时P点坐标为(-当,0)

所以满足条件的P点坐标为暗0)或(-1，0).

1414

2.已知抛物线y=-r+2日-F+A+3为常数)的顶点纵坐标为4.

(1)求％的值；

1

(2)设抛物线与直线)--山(x-3)(/n#0)两交点的横坐标为xi,xi,n=x\+xi-2,若A(1,a),B(.b,

1

2)两点在动点M(m,〃)所形成的曲线上，求直线AB的解析式；

(3)将(2)中的直线AB绕点(3,0)顺时针旋转45。，与抛物线x轴上方的部分相交于点C,请直接写

出点C的坐标.

13

y=——x+-

【答案】(1)1；(2)22.(3)(2,3).

【解析】

【分析】

(1)利用配方法即可解决问题；

1/I\31

—x2-I—F2lx4—=n0—

(2)由题意，方程-x2+2x+3=-m(x-3)的两实数根分别为Xi，X2,整理得，\m)m，推出x1+X2=m+2,

1111

由n=X|+x2-2,推出n=m+2-2=m,即动点M(m,n)所形成的曲线为y=%由A(1,a),B(b,万)两

1

点在该曲线上，推出A(1,1),B(2,2),再利用待定系数法即可解决问题；

13

(3)由直线AB的解析式为y=-2x+?,A(1,1),推出点D(3,0)在直线AB上，取点E(2,3),则

AE=AD=徒，ED=J^,推出AE2+AD2=ED2,推出NEAD=90。，由AE=AD,推出NADE=45。，可得

直线ED的解析式为y=-3x+9,构建方程组即可求出点C坐标.

【详解】

(1)y=-x:-2kx-k:-k-3=-(x-k):-k-3》

:顶点纵坐标为3

.*3=4〉

/.k=lj

(2)Vk=l,

・••抛物线为y=-X2+2X+3,

1

由题意，方程-x2+2x+3=Mx.3)的两实数根分别为X],X2，

%2-+2卜4--=0

整理得，g/加，

1

.*.X|4-X2=n?-l-2,

Vn=xi+X2-2,

11

・・・n=m+2・2=m,

1

即动点M(m,n)所形成的曲线为y金，

1

VA(1,a),B(b,2)两点在该曲线上，

1

AA(1,1),B(2,2),

(l=k'+b'

11

——=2*+b'

设直线AB解析式为丫=心+-把A(1,1),B(2,2)代入得，[2,

'k'=--

2

3

b'=-

解得I2,

13

二直线AB的解析式为y=-2x+2;

(3)如图,

•..直线AB的解析式为y=-A(1,1),

.•.点D(3,0)在直线AB上，

取点E(2,3),则AE=AD=、&ED=vl0,

.\AE--AD:=ED;,

/.ZEAD=90°,

,.,AE=AD,

/.ZADE=45°,

fO=3k+b

•设直线DE解析式为丫=1<%+1)",把D(3,0),E(2,3)代入得，(3=2k"+b",

(k=-3

解得(b”=9,

，直线ED的解析式为y=-3x+9,

fy=-3x+9(=2(x=3

由［y=_/+2x+3,解得［xy=3或(y=0,

VD(3,0),

AC(2,3).

3.已知：二次函数？=以2+取满足下列条件：

①抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点；

②对于任意实数x,a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+rb(x-3)都成立.

(1)、求二次函数y=ax?+bx的解析式

(2)、若当-2金±(用0)时，恰有tWyWl.5r成立，求t和r的值.

1

2

【答案】(1)y=2X+X;(2)t=-4,r=-l.

【解析】

【分析】

(1)由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为

x=l,从而得a的值，进而得出结论；

(2)进行分类讨论，分别求出t和r的值.

【详解】

(1)>r=ax:*bx和y=x联立得：ax:-(b-l)x=O〉

A=0得：(b-l)：=O>得b=l,

•・,对称轴为士「Fl,

2a

1

/.a=2,

1

2

/.y=2X+X.

(2)因为y=-：x2-x=-?x-l)2V，

所以顶点(1,R

当-2<r<l,且r=0时,

当x=r•时，y.=--r：-r=1.5r,得r=4,

当x=2时，y=-4,

所以,这时t7,r=-l.

当它1时，

y…甘，所以L5r

所以弓，不合题意，舍去，

综上可得，t=*4,r=-l.

4.在平面直角坐标系xOy中，己知两点A(0,3),B(1,0),现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90。

得到线段BC,抛物线y=ax2+bx+c经过点C.

(1)如图1,若抛物线经过点A和D(-2,0).

①求点C的坐标及该抛物线解析式；

②在抛物线上是否存在点P,使得NPOB=NBAO,若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在,

请说明理由；

（2）如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c（a<0）经过点E（2,1）,点Q在抛物线上，且满足NQOB=NBAO,

7+71937+71931

4-12)；(2)8<a<o；

【解析】

【分析】

（1）①先判断出AAOB丝△GBC,得出点C坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用

平行线（对称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论：（2）同（1）②的方法，借助图象即可

得出结论.

【详解】

(1)①如图2,TA(0,3),B(1,0),

.,.OA=3,OB=1,

由旋转知，ZABC=90s,AB=CB,

.\ZABO-ZCBE=905,

过点C作CG1OB于G,

.\ZCBG-ZBCG=905,

.,.ZABOZBCG,

.,.A-AOB^AGBC,

.,.CG=OB=1,BG=OA=3,

/.OG=OB-BG=4

/.C(4,1),

抛物线经过点A(0,3),和D(-2,0),

16a+4b+c=1

4Q-2b+c=0

，c=3.

a=—1

3

5

b=4

一二3,

15

二抛物线解析式为y=-3X2+6X+3;

②由①知，AAOB^AEBC,

/.ZBAO=ZCBF,

VZPOB=ZBAO,

，NPOB=/CBF,

如图1,OP〃BC,

,/B(1,0),C(4,1),

..•直线BC的解析式为产

二直线OP的解析式为产3

•••抛物线解析式为y=-*-x-3；

3b

3+3<173-3vl7

X--------------X=------

联立解得,1或4_(舍)

1+\171-V17

V=-----V=-----

z4Z4

p(3+3、41+、叱

在直线OP上取一点M(3,1),

.,.点M的对称点MY3,-I),

1

.♦•直线OP的解析式为y-§x,

15

:抛物线解析式为y=-3X2+6X+3；

「，

x=-7+-V--19-3X=-7--7-1-9-3

7+V193_7-7193

/=或厂(舍),

联立解得,12

7+71937+7193

.・・P,(412)；

(2)同(1)②的方法，如图3,

(16a+4b+c=1

♦.•抛物线y=ax2+bx+c经过点C(4,1),E(2,1),4a+2b+c=1,

[b=-Ga

.・.(c=8a+1,

，抛物线y=ax2-6ax+8a+l,

令y=0,

.'.ax2-6ax-8a-l=O,

.〜8a41

,・X]XX?=---

a

••.符合条件的Q点恰好有2个，

二.方程ax:-6ax-8a-l=0有一个正根和一个负根或一个正根和0,

..X)XX2=---<0,

a

Va<0,

J8a-M>0,

1

•*.a>-8,

1

即：-&aVO.

与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线1,过点C作直线1的垂线，垂足为点E,联结DC、BC.

(1)当点C(0,3)时，

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；

②求证：NDCE=NBCE；

(2)当CB平分/DCO时，求m的值.

1

【答案】(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)证明见解析；(3)m=3；

【解析】

【分析】

(1)①把C点坐标代入y=-x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1，先解方程-x2+2x+3=0得B(3,0),则可判断AOCB为等腰直角三角形得到N

OBC=45°,再证明ACDE为等腰直角三角形得到/DCE=45。，从而得到NDCE=/BCE；

(2)抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),通过解方程-x?+2mx+3m?=0

得B(3m,0),同时确定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2nf,则DG=2nf,接着证

明NDCG=/DGC得至I」DC=DG,所以0?+(4m2-3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.

【详解】

(1)①把C(0,3)代入y=-x，-2mx-3m：得3m：=3,解得皿=1,m：=-1(舍去)，

二抛物线解析式为y=-x：-2x-3；

"."y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4.

顶点D为(1,4);

②证明：如图1,当y=0时，-X2+2X+3=0,解得xi=-l,X2=3,则B(3,0),

VOC=OB,

/.△OCB为等腰直角三角形，

/.ZOBC=45°,

•・・CE_L直线x=l,

AZBCE=45°,

VDE=1,CE=1,

•••△CDE为等腰直角三角形，

・・・ZDCE=45°,

/.ZDCE=ZBCE；

(2)解:抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点,如图2,

y=-jr2+2mx+3m2=—(x-m)2+4m2.

・•・抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,

当y=0时,-x2-2mx-3m:=0,解得x1=-m>x：=3m,贝ijB(3m,0),

当x=0时，y=-x?-2mx-3m二=3m：,则C(0,3m2),

VGF//OC,

・・・2=》即空=F，解得GF=2m：,

OCBO3m*3m

.'.DG=4m2-2m:=2m2,

•「CB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

AZDCG=ZDGC,

・・・DC=DG,

即m2+(4m2-3m2)2=4m4,

21平

m=-,m=—.

・・・3而m>0,J3

6.已知抛物线)=f+bx+c(/7,c是常数)与无轴相交于4,B两点(A在8的左侧)，与y轴交于点C.

(1)当A(-1,0),C(0,-3)时，求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)P(机，f)为抛物线上的一个动点.

①当点P关于原点的对称点户落在直线BC上时，求m的值；

②当点P关于原点的对称点产落在第一象限内，尸'屋取得最小值时，求机的值及这个最小值.

3士佯

【答案】(1)抛物线的解析式为尸e-2x-3,顶点坐标为(1,-4)；(2)①e一2一.②P4取得最小

2-内15

值时，"?的值是2,这个最小值是彳.

【解析】

【分析】

(1)根据A(-1,0),C(0,-3)在抛物线产i2+bx+c(b,c是常数)的图象上，可以求得尻c的值；

(2)①根据题意可以得到点尸的坐标，再根据函数解析式可以求得点8的坐标，进而求得直线BC的解析

式，再根据点P'落在直线3c上，从而可以求得m的值；

②根据题意可以表示出P/2,从而可以求得当严不取得最小值时，加的值及这个最小值.

【详解】

⑴：抛物线jf+bx+cc是常数)与x轴相交于43两点，与1轴交于点C,且(-1,0),<7(0,

-3),+匕x-1)+'=°,解得：,该抛物线的解析式为尸、笈一3.

(c=-3、C=T

2-2x-3=(X-1)2-4•.抛物线的顶点坐标为(1,-4)J

(2)①由P(m,t)在抛物线上可得：t=irr-2m-3.

•点P和尸关于原点对称，，尸(-加，-/),当产0时，0=『-2%-3,解得：制=-1,及=3,由已知可得：

点B(3,0).

(3k+d=0(k=1

；点8(3,0),点C(0,-3),设直线BC对应的函数解析式为：)，=fcv+d,Id=-3,解得：(d=-3,

...直线BC的直线解析式为y=x-3.

3士病

・♦•点P'落在直线BCh.-t=-m-3,B|Jr=w+3,m2-2m-3=m+3,解得：m=2；

②由题意可知，点P(-叫-/)在第一象限，.-r>0,/.wr<0,r<0.

...二次函数的最小值是-4,

二点尸(m,/)在抛物线上，，X苏-2m-3,.1-3=，户-2%过点P作尸轴，目为垂足，有H(一砌

0).

又..FC-l,0),则P'm=£,aff=在RtAP⑷/中，.•尸』=(一»1尸一广=苏

-2〃1-广=7:-7=(1)(,・•・当r="时,P'」有最小值，此时=7炉-27〃-3,解得：〃尸

・・・"<0,.・.〃哈卫，即P工取得最小值时，”的值是三,这个最小值是?.

的图象经过(0,-3).

(2)若二次函数y=mx2-2mx+n的图象与x轴有且只有一个交点，求m值;

(3)若二次函数y=mx2-2mx+n的图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4,则另

一个交点的坐标为

(4)如图，二次函数y=mx2-2mx+n的图象经过点A(3,0),连接AC,点P是抛物线位于线段AC

下方图象上的任意一点，求APAC面积的最大值.

327

【答案】(1)一3；(2)m=-3；(3)(-2,5)；(4)当a=2时，z\PAC的面积取最大值，最大值为8

【解析】

【分析】

(1)将(0,-3)代入二次函数解析式中即可求出n值：

(2)由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=(),即可得出关于m的一元二次方程，解之

取其非零值即可得出结论；

(3)根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称

性即可找出另一个交点的坐标：

(4)将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，

利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PDJL泼轴于点D,交AC于点Q,设点P的坐标为(a,

2

a-2a-3),则点Q的坐标为(a,a-3),点D的坐标为(a,0),根据三角形的面积公式可找出SAACP关于a

的函数关系式，配方后即可得出4PAC面积的最大值.

【详解】

解：(1).二次函数产mx>2mx-n的图象经过(0,-3),

/.n=-3・

故答案为：-3.

(2)...二次函数y=mx：-2mx-3的图象与x轴有且只有一个交点，

(-2m)2-4X(-3)m=4m:-12m=0,

解得：mi=0,m：=-3.

3.

(3)1•二次函数解析式为y=mx2-2mx-3,

-2m

...二次函数图象的对称轴为直线x=-2m=1.

•.•该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4,

...另一交点的横坐标为1x2-4=-2,

，另一个交点的坐标为(-2,5).

故答案为：(-2,5).

(4)...二次函数y=mx，2mx-3的图象经过点A(3,0),

.\0=9m-6m-3,

二二次函数解析式为y=x：-2x-3.

设直线AC的解析式为广kx-b(k=0),

将A(3,0)、C(0,-3)代入产kx-b,得：

3k-b=0M徨.[k=l

b=-3'解1寸,tb=-3'

二直线AC的解析式为y=x-3.

过点P作PDlx轴于点D,交AC于点Q,如图所示.

设点P的坐标为(a,a2-2a-3),则点Q的坐标为(a,a-3),点D的坐标为(a,0),

/.PQ=a-3-(a2-2a-3)=3a-a2,

11393327

•,.SAACP=SAAPQ+SACPQ=2PQ・OD+2PQ・AD=-2a?+2a=-2(a-2)-+8,

327

.•.当a=5时，APAC的面积取最大值，最大值为万.

9.如图，在平面直角坐标.系中，抛物线y=ax?+bx+c的顶点坐标为P(2,9),与x轴交于点A,B,与y

轴交于点C(0,5).

(I)求二次函数的解析式及点A,B的坐标；

(II)设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q'也在抛物线上，求点Q的坐标；

(III)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边

形，且AC为其一边，求点M,N的坐标.

(1)y=-x?+4x+5,A(-1,0),B(5,0)；(2)Q(G,4/)；(3)M(1,8),N(2,13)或M'(3,

8),N'(2,3).

【解析】

【分析】

(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；

(2)设点Q(m,-m2+4m+5),则其关于原点的对称点Q((-m,m2-4m-5),再将Q，坐标代入抛物线解

析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；

(3)利用平移AC的思路，作MKL对称轴x=2于K,使MK=OC,分M点在对称轴左边和右边两种情况分

类讨论即可.

【详解】

(I)设二次函数的解析式为产a(x-2)「9,把C(0,5)代入得到a=-l,

(x-2)艮fl

2

令产。,得到：X-4x-5=0>

解得x=T或5,

/.A(-0),B(5,0).

(II)设点Q(m,-m2+4m+5),则Q(-m,n?-4m-5).

把点Q'坐标代入y=-X2+4X+5,

得至(J：m2-4m-5=-m2-4m+5,

/.m=、号或一J5(舍弃)，

，Q('瓦4\/耳).

(Ill)如图，作MKJ_对称轴x=2于K.

①当MK=OA,NK=0C=5时，四边形ACNM是平行四边形.

••・此时点M的横坐标为1,

：.y=S,

/.M(1,8),N(2,13),

②当MK=OA=1,KN'=OC=501,四边形ACMN是平行四边形，

此时的横坐标为3,可得Nf(3,S),V(2,3).

10.如图抛物线y=ax?+bx,过点A(4,0)和点B(6,2G),四边形OCBA是平行四边形，点M(t,0)

为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

(2)当4AMN的周长最小时，求t的值；

(3)如图②，过点M作MEJ_x轴，交抛物线y=ax?+bx于点E,连接EM,AE,当AAME与ADOC相似时.请

直接写出所有符合条件的点M坐标.

【答案】(1)y=6x2-3x,点D的坐标为(2,-3)；⑵t=2；(3)M点的坐标为(2,0)或(6,0).

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；

(2)连接AC,如图①，先计算出AB=4,则判断平行四边形OCBA为菱形，再证明AAOC和AACB都是

等边三角形，接着证明^OCM丝4ACN得到CM=CN,ZOCM=ZACN,则判断4CMN为等边三角形得到

MN=CM,于是AA