中考数学复习考点解密第八讲分类讨论

中考数学复习考点解密第八讲分类讨论

【专题精讲】：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类

思考的方法是i种重要的数学思想方法，同时也是i种解题策略.

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分

类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分

重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.

【解题策略】

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类

讨论应逐级进行.

【解法精讲】

对于分类的“界点”、“标准”要把握准确，不能出现重复解、漏解等现象。针对问题进行不

同角度分析是解答的关键、

【考点精讲】

考点类型一：方程类分类

例题1:（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了

得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据

如下表：

销售价格X（元/千克）3035404550

日销售量P（千克）6004503001500

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x

之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a>0）的相关费用，当40WxW45时,

农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值.（日获利=日销售利润一日支出费用）

【考点】HE：二次函数的应用.

【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再

验证猜想的正确性；

（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定

最大值即可；

（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，

再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值.

【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b,

则［*>=600

140faH）=300

解得：k=-30,b=1500,

：.p=-30x+1500,

检验：当x=35,p=450；当x=45,p=4150；当x=50,p=0,符合一次函数解析式，

所求的函数关系为p=-30x+1500；

(2)设日销售利润w=p(x-30)=(-30x+1500)(x-30)

即w=-30X2+2400X-45000,

X=10

‘当-2^(^0)时'w有最大值3000元,

故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大;

(3)日获利w=p(x-30-a)=(-30x+1500)(x-30-a),

即w=-30X2+X-,

对称轴为x=-2400f30a，=40+--a

2X(-30)2

①若a>10,则当x=45时，w有最大值,

即w=2250-150a<2430(不合题意)；

②若aV10,则当x=40+2a时，w有最大值，

将x=40+/a代入,可得w=30(-la2-10a+100),

当w=2430时，2430=30(—a2-10a+100),

解得a1=2,a2=38(舍去),

综上所述，a的值为2.

考点类型二：函数类分类

例题2:(2017.江苏宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?-2x-3交x轴于A,

B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下

方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.

(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；

(2)求aABC外接圆的半径；

(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B,C,P,Q为

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用

待定系数法可求得曲线N的解析式；

(2)由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线

对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；

(3)设Q(x,0),当BC为平行四边形的边时，则有BQ〃PC且BQ=PC,从而可用x表示出P

点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角

线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛

物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标.

【解答】解：

(1)在y=x?-2x-3中，令y=0可得x?-2x-3=0,解得x=-1或x=3,

AA(-1,0),B(3,0),

令x=0可得y=-3,

又抛物线位于X轴下方部分沿X轴翻折后得到曲线N,

AC(0,3),

设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c,

把A、B、C的坐标代入可得，乐肝3M=0，解得」$=2，

s=34=3

2

...曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=-X+2X+3;

(2)设AABC外接圆的圆心为M,则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点,

VB(3,0),C(0,3),

.•.线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,

又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=l,

AM(1,1),

卜正=《(1_3产+产7E,

即4ABC外接圆的半径为优；

(3)设Q(t,0),则BQ=11-31

①当BC为平行四边形的边时，如图1,则有BQ〃PC,

AP点纵坐标为3,

即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P,x轴上对应的即为点Q,

当点P在曲线M上时，在y=x2-2x-3中，令y=3可解得x=l+近或x=l-、斤，

.,.PC=1+赤或PC=Vf-1,

当x=l+、行时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t-3,

t-3=i+^f,解得t=4+y^,

当x=l-\斤时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3-t,

/.3-t=Vr~11解得t=4-酒，

，Q点坐标为（4+斫，0）或（4-折，0）；

当点P在曲线N上时，在y=-x?+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2,

，PC=2,

此时Q点在B点的右侧，则BQ=t-3,

t-3=2,解得t=5,

••.Q点坐标为（5,0）；

②当BC为平行四边形的对角线时，

VB（3,0）,C（0,3）,

二线段BC的中点为（孑，¥），设P（X，y），

22

x+t=3,y+0=3,解得x=3-t,y=3,

：.P（3-t,3）,

当点P在曲线M上时，则有3=（3-t）2-2（3-t）-3,解得t=2+听或t=2-祈，

；.Q点坐标为（2+行，0）或（2-折，0）；

当点P在曲线N上时，则有3=-（3-t）2+2（3-t）+3,解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=l,

，Q点坐标为（1,0）；

综上可知Q点的坐标为（4+百，0）或（4-酒，0）或（5,0）或（2+如，0）或（2-听,

0）或（1,0）.

考点类型三：几何类分类

例题3:（2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形

内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则P,A（P,A两点不重合）

两点间的最短距离为10石-10cm.

【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质.

【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PB为底.③若以边PC为底.分别求出

PD的最小值，即可判断.

【解答】解：连接BD,在菱形ABCD中，

VZABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,

AZA=ZC=60°,

.,.△ABD,Z\BCD都是等边三角形，

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化

为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA

最小，最小值PA小0；

②若以边PB为底，NPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，

则弧BD（除点B外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最

小值为10第-10；

③若以边PC为底，NPBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D

均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况

不存在；

综上所述，PD的最小值为10神-10（cm）；

故答案为：10代-1.

考点类型四：综合类分类

例题4:（2017江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=1x+2与x轴交于点A,与y

轴交于点C,抛物线y^x'+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点;

①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,Z\CDE的面积为S“ABCE的面积为员,求首■的

最大值；

②过点D作DF_LAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得4CDF中的某个角恰好等于/

BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】I1F：二次函数综合题.

【分析】(1)根据题意得到A(-4,0),C(0,2)代入y=-1x>bx+c,于是得到结论；

2

(2)①如图，令y=0,解方程得到Xi=-4,X2=l,求得B(1,0),过D作DMJ_x轴于M,过B

作BN±x轴交于AC于N,根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到aABC是以NACB为直角的直角三角形，取AB的中点P,求得P

(0),得到PA=PC=PB叠过作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延线于G,情况一：

如图，NDCF=2/BAC=NDGC+NCDG,情况二，ZFDC=2ZBAC,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1)根据题意得A(-4,0),C(0,2),

,抛物线y=--ix2+bx+c经过A、C两点，

2

•••4,

2=c

・・,2，

c=2

/.y=--多x+2；

(2)①如图，令y=0,

-~xJ-—x+2-0,

22

/.Xi=-4,x2=l,

AB(1,0),

过D作DM_Lx轴于M,过B作BN±x轴交于AC于N,

・・・DM〃BN,

AADME^ABNE,

.S]DSDI

••'-~，

&BEBN

设D(a,=-2aJWa+2),

22

M(a,~a+2),

2

VB(1.0),

AN(1,旦)，

2

J.2„

.•色理飞1J△

SgBM5_55

~2

S.

.•.当a=2时，/■的最大值是24

5

②(-4,0),B(1,0),C(0,2),

AC=2,BC=.v"g,AB=5,

.,.AC2+BC2=AB2,

...△ABC是以/ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P,

AP(-0),

2

；.PA=PC=PB互,

2

.,.ZCP0=2ZBAC,

/.tanZCP0=tan(2ZBAC)=~,

3

过作X轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,

情况一：如图，AZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,

・・・ZCDG=ZBAC,

/.tanZCDG=tanZBAC=",

/.ai=O（舍去），氏二一2,

•*XD~~—2,

情况二，AZFDC=2ZBAC,

tanZFDC=一,

3

设FC=4k,

ADF=3k,DC=5k,

,*,tanNDGC=•二工，

FG2

AFG=6k,

ACG=2k,DG=3其k,

，RC=电显，RG=-^S，k,

55

DR=3在k-曳度k,

55

11V5,

.DR-k—V

.说事+吊；

ai-0（舍去）,a?=^~,

点D的横坐标为-2或-•丝.

【真题演练】

1.（2016•贵州安顺•3分）己知实数x,y满足k-4l+4*-8=C,则以x,y的值为两边

长的等腰三角形的周长是（）

A.20或16B.20

C.16D.以上答案均不对

【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边

长两种情况讨论求解.

【解答】解：根据题意得

y-8=O,

Jx=4

解得1门名，

（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8,

不能组成三角形；

（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8,

能组成三角形，周长为4+8+8=20.

故选B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了

非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出

判断.根据题意列出方程是正确解答本题的关键.

2.（2016•广西桂林•3分）已知直线丫=-Qx+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物

线y=-（x-Q）44上，能使aABP为等腰三角形的点P的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定.

【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC,由直

线丫=-依x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛

物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分

三种情况研究AABP为等腰三角形，由此即可得出结论.

【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC,

如图所示.

令一次函数y=-V5x+3中x=0,则y=3,

.•.点A的坐标为（0,3）；

令一次函数y=-百x+3中y=0,则-依x+3,

解得：x=感，

...点B的坐标为（百，0）.

，AB=2~3・

♦.•抛物线的对称轴为x=b，

.,.点C的坐标为（2的，3）,

/.AC=2-73=AB=BC,

/.△ABC为等边三角形.

令丫=-4令-岳）2+4中y=0,则-弓（x-唐）2+4=0,

解得：X=-也,或x=3隹.

...点E的坐标为（-而，0）,点F的坐标为（:遇，0）.

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点,；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

，能使4ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.

故选A.

3..（2017湖北襄阳）在半径为1的。。中，弦AB、AC的长分别为1和依，则NBAC的度数

为15°或105°.

【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形.

【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，

故应分两种情况进行讨论.

【解答】解：分别作0D_LAB,0E±AC,垂足分别是D、E.

V0E±AC,0D1AB,

;.AE」AC=2S,AD=XAB=1-,

2222

.,.sinZA0E=-sinZAOD--=^-,

AD2AD2

AZA0E=45°,ZA0D=30°,

AZBA0=60°,ZCA0=90°-45°=45°,

/.ZBAC=450+60°=105°,或/BAC'=60°-45°=15°.

/.ZBAC=15°或105°.

故答案是：15°或105°.

4.(2017甘肃天水)如图，在等腰aABC中，AB=AC=4cm,ZB=30°,点P从点B出发，以《

cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿BA-AC方

向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x

之间函数关系的图象是()

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【分析】作AH±BC于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用/B=30°可计算出AH=^AB=2,

BH=J3AH=2/，则BC=2BH=4百，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C

需8s,然后分类讨论：当0WxW4时，作QDJ_BC于D,如图1,BQ=x,BP=J5x,DQ=1BQ=Z

22

x,利用三角形面积公式得到；当4<*忘8时，作、口，8(：于口，如图2,CQ=8-x,BP=4而

DQ=1CQ=1(8-x),利用三角形面积公式得y=-百x+8而，于是可得0WxW4时，函数图象

为抛物线的一部分，当4Vx<8时，函数图象为线段，则易得答案为D.

【解答】解：作AHJ1BC于H,

VAB=AC=4cm,

・・・BH=CH,

VZB=30°,

；.AH总AB=2,BH=V5AH=2依，

，BC=2BH=4而

•.•点P运动的速度为由cm/s,Q点运动的速度为lcm/s,

点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,

当0WxW4时，作QD_LBC于D,如图1,BQ=x,BPi/^x,

在RSBDQ中，DQ寺Q=/x,

当4VxW8时，作QDJ_BC于D,如图2,CQ=8-x,BP=4JW

在RtZkBDQ中,DQ=gcQ上（8-x）,

22

y=—（8-x），4代=-与x+8近,

亭

综上所述,y二

-V3r+8^3（4<x<E）

5.(2017•新疆)如图，抛物线y=-^^x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.

(1)试求A,B,C的坐标;

(2)将aABC绕AB中点M旋转180°,得到4BAD.

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使aBMP与ABAD相似？若存在，请直接写出所有满

足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】IIF：二次函数综合题.

【分析】(1)直接利用y=0,x=0分别得出A,B,C的坐标；

(2)①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；

②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状;

(3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案.

【解答】解：⑴当y=0时，0=--1X2+-|X+2,

解得：Xi=-1,X2=4,

则A(-1,0),B(4,0),

当x=0时，y=2,

故C(0,2)；

(2)①过点D作DE±x轴于点E,

--,^△ABC绕AB中点M旋转180°,得到ABAD,

，DE=2,A0=BE=l,0M=ME=l.5,

AD(3,-2)；

②：将AABC绕AB中点M旋转180°,得到ABAD,

；.AC=BD,AD=BC,

，四边形ADBC是平行四边形，

AC=Q12+22=2^+4^=2''/5,

AB=5,

.*.AC2+BC=AB2,

AAACB是直角三角形,

AZACB=90°，

，四边形ADBC是矩形；

(3)由题意可得：BD=JW，AD=2泥,

则等4，

AD2

当△BMPs/\ADB时，

PM_BD_1

而一而斤

可得：BM=2.5,

则PM=1.25,

故P(1.5,1.25),

当△BMP|S/\ABD时,

P)(1.5,-1.25),

当ABMP2saBDA时,

可得：P2(1.5,5),

当△BMP3s△BDA时,

可得:P3(1.5,-5),

综上所述：点P的坐标为：(L5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5),(1.5,-5).

【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨

论是解题关键.

6.(2017贵州安顺)如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两

点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形？若

存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当0<x<3时，在抛物线上求一点E,使的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出M