概率与统计专题19题练习含答案

1．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码123456市场占有率111316152021（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的，两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数；回归直线方程为，其中，．1．【答案】（1）见解析；（2），23%；（3）见解析．【解析】（1）散点图如图所示：···········1分，∴，∴，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2），···········4分又，∴，···········5分∴回归直线方程为．···········6分2018年2月的月份代码，∴，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分（3）用频率估计概率，款单车的利润的分布列为：∴（元）．···········9分款单车的利润的分布列为：∴（元）．······11分以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择款车型．········12分故随机变量X的分布列为:X01234P···········7分（2）随机变量X服从超几何分布：，···········9分随机变量，．···········11分．···········12分19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得，线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，（1）若用线性回归模型，求的回归方程（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.18．(1)第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）的所有可能取值是0，1，2，3，，，的分布列为0123.19.某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数252530由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.19.解：（1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为.设所求概率为，而消费额在的概率为.故消费额在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）根据题意，，.设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为420500200100故（元）.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据，．19.解：（1）由已知数据可得，，因为，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，故的分布列为：200060000.20.8所以元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．18．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．【解析】（1）由题意知之间的频率为：，···········2分，∴获得参赛资格的人数为．···········4分（2）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人

分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分（3）的可能取值为0，1，2，则：···········7分；···········8分；···········9分；···········10分故的分布列为：012∴．··········12分19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户非支付宝用户合计中老年90青年120合计300(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用X表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X的分布列与数学期望.附:0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828QUOTEK2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，19.(1)列联表补充如下支付宝用户非支付宝用户合计中老年6090150青年12030150合计180120300QUOTE,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以QUOTEXX的取值依次为0,1,2,3，且QUOTEXX服从二项分布QUOTEB(3,35)B(3,35)所以QUOTEXX的分布列为X0123P836542719.某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．18.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：（Ⅱ）当时，当时，所以（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当时，，当时，，当时，，当时，，所以的分布列为：455361650.10.20.30.4所以，万元．18.(本小题满分12分）某市共有户籍人口约400万，其中老人(60岁及以上）约66万,为了解老人们的身体健康状况，相关部门从这些老人中随机抽取600人进行健康评估.健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两