第07讲抛物线精练（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第07讲抛物线(精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C由题意，抛物线的焦点坐标为故选：C2．若抛物线上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是（

）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C抛物线的焦点，准线为，由P的横坐标为3，所以P到准线的距离为5，故点P到焦点的距离是5．故选：C.3．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．故选：B4．已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若的外接圆D与抛物线的准线相切，则圆D与直线相交得到的弦长为（

）A． B．4 C． D．【答案】D因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，又因为圆心在的垂直平分线上，，所以圆的半径为，圆心的横坐标为，所以圆心的纵坐标为，所以圆心到直线的距离，所以圆与直线相交得到的弦长为.故选：D.5．已知点是抛物线的焦点，点M为抛物线上的任意一点，为平面上定点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B由题意得，准线方程为，设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，即为.所以的最小值为.故选：B.6．已知抛物线：焦点为，是抛物线上一点，且点到抛物线的准线的距离为3，点在抛物线上运动，则点到直线：的最小距离是（

）A． B． C．1 D．【答案】D抛物线的准线为，由到抛物线的准线的距离为3，知，所以抛物线的方程.设点，点到直线：的距离为，，当且仅当时，点到直线：的距离有最小值.故选：D.7．已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，是圆的圆心，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B．8．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．5【答案】A由题意，抛物线，可得焦点，又因为直线的倾斜角为，可得斜率，故直线的方程为，联立方程组，整理得，设，解得，，因为，所以可得，过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，所以的最小值为3.故选：A.二、多选题9．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（

）A．准线方程为 B．焦点坐标C．点的坐标为 D．的长为3【答案】BC由抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为，A错B对；直线的斜率为，直线的方程为，当时，，，，为垂足，点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；根据抛物线的定义可知，D错.故选:BC.10．抛物线的焦点为，点都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（

）A．抛物线方程为B．是的重心C．D．【答案】ABD对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，正确；对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；对于C，由抛物线的定义可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，不正确；对于D，，；同理,，所以，正确.故选：ABD.三、填空题11．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示）【答案】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为．故答案为：．12．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．【答案】抛物线的焦点，为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．又，得，即点，所以，，因为，所以，，，所以抛物线的准线方程为．故答案为：．四、解答题13．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．【答案】最小值为，点的坐标为．解：将代入抛物线方程，得，因为，所以点在抛物线内部，设抛物线上的点到准线的距离为，由抛物线的定义可得，由图可知，当时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以P点的坐标为．14．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m，参考数据）．【答案】解：建立如图所示的坐标系，根据题意知点的坐标为，设抛物线解析式为，将点代入，得：，解得：，，当时，有，解得：，水面的宽度为．B能力提升1．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则点到准线的距离为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题知，即因为，所以所以，所以点到准线的距离为.故选：B2．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，由抛物线定义知，，于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，所以的最小值为3.故选：D3．已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．6【答案】C抛物线的焦点坐标，该点就是的圆心，设，要使最小，则取得最大，的最小值即的最小值，令即，当时取得最小值，此时.故选：CC综合素养1．已知抛物线，是抛物线上一点，设点（），求||的最小值，并指出此时点的坐标.【答案】见解析.设，因为,所以又,所以，当时，，在上是增函数，所以当时，最小值为，此时；当时，，在上是减函数，在是增函数，所以当时，最小值为，此时.2．已知椭圆C1：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.(1)求椭圆C1的方程；(2)点P是椭圆上一点，且，求的面积.【答案】(1)(2)(1)设，，.由抛物线定义，，，，，，∵M在C1上，∴又，，或（舍去）．，∴