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文档简介
第07讲抛物线(精练)A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1.抛物线的焦点坐标为(
)A. B. C. D.【答案】C由题意,抛物线的焦点坐标为故选:C2.若抛物线上的点P的横坐标为3,则点P到焦点的距离是(
).A.7 B.6 C.5 D.4【答案】C抛物线的焦点,准线为,由P的横坐标为3,所以P到准线的距离为5,故点P到焦点的距离是5.故选:C.3.直线过抛物线的焦点,且与交于两点,则(
)A.6 B.8 C.2 D.4【答案】B因为抛物线的焦点坐标为,又直线过抛物线的焦点F,所以,抛物线的方程为,由,得,所以,所以.故选:B4.已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,若的外接圆D与抛物线的准线相切,则圆D与直线相交得到的弦长为(
)A. B.4 C. D.【答案】D因为的外接圆与抛物线的准线相切,所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,又因为圆心在的垂直平分线上,,所以圆的半径为,圆心的横坐标为,所以圆心的纵坐标为,所以圆心到直线的距离,所以圆与直线相交得到的弦长为.故选:D.5.已知点是抛物线的焦点,点M为抛物线上的任意一点,为平面上定点,则的最小值为(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B由题意得,准线方程为,设点在准线上的射影为,根据抛物线的定义可知,要求取得最小值,即求取得最小,当三点共线时最小,即为.所以的最小值为.故选:B.6.已知抛物线:焦点为,是抛物线上一点,且点到抛物线的准线的距离为3,点在抛物线上运动,则点到直线:的最小距离是(
)A. B. C.1 D.【答案】D抛物线的准线为,由到抛物线的准线的距离为3,知,所以抛物线的方程.设点,点到直线:的距离为,,当且仅当时,点到直线:的距离有最小值.故选:D.7.已知点是抛物线上一点,是抛物线的焦点,是圆的圆心,则的最小值为(
)A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B解:设抛物线的准线方程为,为圆的圆心,所以的坐标为,过作的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值,就转化为求的最小值,由平面几何的知识可知,当,,在一条直线上时,此时,有最小值,最小值为,故选:B.8.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点(在的右边),为上一点,,则的最小值为(
)A.3 B. C. D.5【答案】A由题意,抛物线,可得焦点,又因为直线的倾斜角为,可得斜率,故直线的方程为,联立方程组,整理得,设,解得,,因为,所以可得,过点作垂直于准线于点,根据抛物线的定义,得,当三点共线且与轴平行时,有最小值,最小值,所以的最小值为3.故选:A.二、多选题9.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足.若直线的斜率,则下列结论正确的是(
)A.准线方程为 B.焦点坐标C.点的坐标为 D.的长为3【答案】BC由抛物线方程为,焦点坐标,准线方程为,A错B对;直线的斜率为,直线的方程为,当时,,,,为垂足,点的纵坐标为,可得点的坐标为,C对;根据抛物线的定义可知,D错.故选:BC.10.抛物线的焦点为,点都在抛物线上,且,则下列结论正确的是(
)A.抛物线方程为B.是的重心C.D.【答案】ABD对于A,由在抛物线上可得,即抛物线方程为,正确;对于B,分别取的中点,则,,即在中线上,同理可得也在中线上,所以是的重心,正确;对于C,由抛物线的定义可得,所以.由是的重心,所以,即,所以,不正确;对于D,,;同理,,所以,正确.故选:ABD.三、填空题11.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线的一部分.该桥的高度为米,跨径为米,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米.(结果用,表示)【答案】如图所示,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为轴建立直角坐标系,结合题意可知,该抛物线经过点,则,解得,故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为:.12.已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且,若,则的准线方程为______.【答案】抛物线的焦点,为上一点,轴,所以,将代入抛物线的方程可得,不妨设,因为为轴上一点,且,所以在的右侧.又,得,即点,所以,,因为,所以,,,所以抛物线的准线方程为.故答案为:.四、解答题13.若,为抛物线的焦点,为抛物线上任意一点,求的最小值及取得最小值时的的坐标.【答案】最小值为,点的坐标为.解:将代入抛物线方程,得,因为,所以点在抛物线内部,设抛物线上的点到准线的距离为,由抛物线的定义可得,由图可知,当时,最小,最小值为,此时点的纵坐标为2,代入,得,所以P点的坐标为.14.图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水面下降1m后,水面宽多少?(精确到0.1m,参考数据).【答案】解:建立如图所示的坐标系,根据题意知点的坐标为,设抛物线解析式为,将点代入,得:,解得:,,当时,有,解得:,水面的宽度为.B能力提升1.已知抛物线:的焦点为,准线为,点在上,直线交轴于点,若,则点到准线的距离为(
)A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B解:如图,过点作轴的垂线,垂足为,由题知,即因为,所以所以,所以点到准线的距离为.故选:B2.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,点,则的最小值为(
)A. B.2 C. D.3【答案】D抛物线的准线l:,显然点A在抛物线C内,过A作AM⊥l于M,交抛物线C于P,如图,在抛物线C上任取不同于点P的点,过作于点N,连PF,AN,,由抛物线定义知,,于是得,即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时,取最小值,所以的最小值为3.故选:D3.已知点M(0,4),点P在曲线上运动,点Q在圆上运动,则的最小值是(
)A. B. C.4 D.6【答案】C抛物线的焦点坐标,该点就是的圆心,设,要使最小,则取得最大,的最小值即的最小值,令即,当时取得最小值,此时.故选:CC综合素养1.已知抛物线,是抛物线上一点,设点(),求||的最小值,并指出此时点的坐标.【答案】见解析.设,因为,所以又,所以,当时,,在上是增函数,所以当时,最小值为,此时;当时,,在上是减函数,在是增函数,所以当时,最小值为,此时.2.已知椭圆C1:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.(1)求椭圆C1的方程;(2)点P是椭圆上一点,且,求的面积.【答案】(1)(2)(1)设,,.由抛物线定义,,,,,,∵M在C1上,∴又,,或(舍去).,∴
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