数学模型建模引言

数学模型建模引言第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六预备知识高等数学线性代数概率论与数理统计运筹学大学计算机基础第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六教材和参考资料高等教育出版社《数学模型》姜启源编浙江大学出版社《数学模型》杨启帆编湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导教材》叶其孝编工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学建模竞赛》叶其孝

编江苏教育出版社《数学建模竞赛教程》李尚志主编《运筹学》任何一本本科教材第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六计算机革命时代

（ComputerRevolutionEra）

or

信息时代

（InformationTimes）我们处在：第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六时代特点①计算机的迅速发展——高速、智能、小型、价廉；②数学的应用向一切领域渗透——各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；③数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了“数学无用论”的观点

第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六为什么会出现“数学无用论”？

①数学的语言比较抽象，不容易掌握；②数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模的重要性

①数学建模不是新东西（比如欧式几何、微积分都是很好的数学模型！）②用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程。第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模的重要性③问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，大量的计算令人生畏（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮。第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模的重要性④从科学、工程、经济和管理等角度看：数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。⑤数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。

第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模步骤了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（建模准备）；抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设（提出假设）；利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立模型）;第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模步骤模型的求解和检验。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六数学建模步骤框图实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用，从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六例1：万有引力定律的发现

万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一,牛顿在研究力学的过程中发明了微积分,又成功地在开普勒三定律的基础上运用微积分推出了万有引力定律．这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一．第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现

背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的日心说，这是科学上的一大革命。当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也包含了一些缺陷（地球围绕太阳作圆周运动）。此后，丹麦天文学家第谷·布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现第谷·布拉赫的学生开普勒（Kepler）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上有8度的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设——Kepler三定律。第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上；（2）行星在单位时间内扫过的面积A不变；（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现假设：（1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程

其中a长半轴，b短半轴，e离心率；

第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现（2）（3）k为比例系数，T为周期

（4）牛顿第二定律：第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六万有引力定律的发现结论：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六例2：传染病模型

背景：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型符号假设：t时刻病人数为i(t)模型一：设单位时间内一个病人能传染的人数（传染率）为k0

求解并分析第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型哪里出错了？第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型模型二：设人群分为两类：已感染者（Infective）i(t)

易感染者（Susceptible)s(t)

所考察地区的总人数为n，i(t)+s(t)＝n，易见传染率应该和s(t)成单增关系，为方便，设为正比例关系，比例系数用λ表示（称为传染系数或日接触率），则方程变为

第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型模型三：假设（1）人群分为三类:已感染者i(t),易感染者s(t),免疫移出者（含死亡）r(t),则

i(t)+s(t)+r(t)＝n（2）传染率和s(t)成正比,比例系数用λ表示;（3）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人数成正比，比例系数用l表示.第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六传染病模型第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六模型分类

依据变量的特征：确定型和随机依据变量的取值：连续型和离散型依据数学式子：线性和非线性依据物理状态：静态和动态依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱模型依据数学方法：初等，方程，优化，控制论等等依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等等第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六搜集建模案例搜集一个与自己专业有关的建模问题，读懂并把它复述出来（写到16开的纸上，在3～5页之间，手写）将姓名、学号和班级写在第1页的第1行正文内容至少包含：问题的提出（或描述、引言）；建模（包括假设、符号、模型建立和求解过程等）；检验（或分析、验证、讨论）。

第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模例1：（物体冷却过程）将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C，10分钟后测量得温度为u1=1000C，求物体的温度u和时间t的关系,假定空气的温度始终保持在ua=240C，热力学的一些基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；一个物体的温度变化速度与温度差成比例。第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模设物体在时刻t的温度为u=u(t)，则温度的变化速度可表示为du/dt，由刚才的物理知识得如下等式（k为比例常数）：第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模求解并分析将已知数据代入求得本题的u(t)第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模例2：（R-L电路）如图的R-L电路，它包含电感L，电阻R和电源E（均设为常数）.设t=0时，电路中没有电流.建立：当开关K合上后，电流I应该满足的微分方程.第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感L的电压降是LdI/dt，由上述定律得，第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模假设电源电动势为，则方程解为第一项叫暂态电流，随t的增大逐渐衰减趋于零第二项叫稳态电流，是个正弦函数.第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模例3：（R-L-C电路）如图的R-L-C电路，它包含电感L，电阻R和电容C(均为常数).电源e(t)是时间t的已知函数.建立：当开关K合上后，电流I应该满足的微分方程.第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感L的电压降是LdI/dt，经过电容C的电压降是Q/C，由基尔霍夫第二定律得，第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模例4：(电容器的充电和放电)如图所示的R-C电路，请找出充、放电过程中，电容C两端的电压u随时间t的变化规律。第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模

开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压为零.我们把开关K合上“1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压u逐渐升高.经过相当时间后，电容充电完毕，我们再把开关合上“2”，这时电容就开始了放电过程.第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模充电过程时，有电容上的电量Q=Cu

逐渐增多，且第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模例6：(探照灯反射镜面的形状)在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，请问反射镜面的几何形状？建立平面直角坐标系xoy

，取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向.设该镜面(曲面)由xoy坐标面上的曲线y=f(x)绕x轴旋转而成.如图第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模光的反射定律：入射角=反射角第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六某些物理过程的数学建模根据光的反射定律：入射角=反射角，可得旋转抛物面第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学几个常见的经济函数1.单利：设初始本金为p元，银行年利率为r，则第n年末本利和为

Sn=p(1+nr)2.复利：设初始本金为p元，银行年利率为r，则第n年末本利和为

Sn=p(1+r)n第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学3.贴现：票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为贴现。第n年后价值为R元钱的现值为其中：R表示第n年后到期的票面(据)金额，r表示贴现率，p表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额。

第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学4.需求函数：商品的需求量Q可以看成是商品价格p的函数——需求函数，记作

Q=f(p),p≥0需求函数一般是单调减少的，其图像称为需求曲线，其反函数称为价格函数。需求函数一般有线性函数，二次函数，指数函数，幂函数。第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学5.供给函数：商品的供给量S可以看成是商品价格p的函数——供给函数，记作

S=f(p),p≥0供给函数一般是单调增加的，其图像称为供给曲线。如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学6.成本函数：费用总额与产量(销量)之间的关系，记作

C=C(x)=C1+C2(x)C1称为固定成本，C2(x)称为可变成本。C'(x)称为边际成本，它描述了从生产第x个到生产第x+1个单位的产品时，总成本的近似增值。第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学7.收益函数：生产者出售产品的全部收入与产品的销量之间的关系，记作

R=R(x)R'(x)称为边际收益，它描述了当销售量为x单位时，再增加1个单位的销售量，总收入的近似增值。第五十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六经济学中的数学8.利润函数：收益函数与成本函数之差，记作

L=L(x)L'(x)称为边际利润，它描述了当销售量为x