时间序列及其模型

时间序列及其模型第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六时间序列的统计特性

一维分布函数和概率密度函数

其中表示一随机变量，表中的一个可能取值，表示概率一维概率密度函数第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六二维联合概率分布函数和概率密度函数设时间和的状态为和，则

称为随机变量和的联合概率分布函数。其联合概率密度函数为第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六

N维概率分布函数和概率密度函数如果,则称N个随机变量之间是统计独立的。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六对时间序列，若且，其中，则称为广义平稳时间序列。第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六时间序列的数字特征一、数字期望（均值）实随机序列的数学期望：二、均方值与方差均方值表示随机序列的总平均功率。方差：第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六均值,方差与均方值的关系对于平稳随机序列有若随机序列满足平稳性，则，，与n无关。即，对所有整数n和m，有：第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六三、时间序列的相关性实随机序列在时刻i和时刻j之间的自相关函数若平稳：第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六自协方差函数：

若平稳：

3.实随机序列和的互相关函数若和是平稳的：

第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六4.互协方差函数：若和是平稳的：若对所有的m有：，则称与互为正交第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六若有，即，则称与互不相交。注：统计独立必不相关，但反之不一定成立。性质：第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六四、时间序列的各态历经性时间均值时间自相关函数：

如果平稳随机序列的集平均与集自相关函数依概率1趋于平稳样本序列的时间平均与时间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态历经性。第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六各态历经序列的功率谱若绝对可积：定义：,T为采样间隔。此式为的离散傅里叶变换。可设：第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六若令T=1，令m=0,有：

可见为随机序列的功率密度函数。第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六时间序列模型思路：用各种随机差分方程表示时间序列信号的模型，一般一个平稳离散随机信号可视为白噪音序列，通过某一离散时间线性系统所产生的，即h(n)系统w（n）x（n）白噪声序列平稳随机序列第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六一、自回归模型（AR模型）设为具有零均值，方差为的平稳白噪声序列。若随机序列可表示为：（4-73）则称上式为p阶自回归模型（auto-regressive），简称AR模型，用AR（p）表示。AR（p）模型表示：是它的p个过去值和白噪声的线性组合。第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六“自回归”的意思：（该模型的）现在的输出以随机误差线性回归于它的p个过去值。AR（p）模型传递函数由（4-73）式设其中

两边取Z变换：第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六(4-110)可见AR模型是全极点模型，有p个极点。第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六AR模型的功率谱密度函数：AR模型的参数与相关函数的关系（Yule-walker方程）第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六（滤波器是物理可实现的，时，）由Z变换的定义：第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六写成矩阵形式或（4-115）（4-116）写为矩阵形式：（注意到）第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六（4-117）式（4-115）和式（4-117）称为AR模型的正则方程。也称为尤里-沃克（yule-walker）方程。系数矩阵称为Toeplitz矩阵。如果选定了AR模型，则可根据观测数据计算自相关函数，由方程（4-117）就可求解模型参数。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六二、滑动平均模型（MA模型）设为零均值，方差为的白噪声序列，若随机序列可表示为：（4-118）其中为实常数，且，，则称上式为q阶滑动平均（mowing-average）模型，简记为MA（q）模型。第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六MA（q）模型的传递函数：对式（4-118）取Z变换：（4-122）可见MA(q)模型为全零点模型，有q个零点。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六MA(q)模型的功率谱密度函数：令，第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六MA(q)的自相关函数：（4-125）第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六且当m>q时，，q为相关长度。

的方差为：第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六三、

自回归滑动平均模型（ARMA模型）设为零均值，方差为的白噪声序列，若随机序列可表示为：（4-130）则称上式为自回归滑动平均模型，简称为ARMA模型。说明：ARMA模型是由一个p阶自回归模型和一个q阶的滑动平均模型组成。第三十页，共三十二页，编辑于20