数学选修推理与证明

数学选修推理与证明第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六一、合情推理与演绎推理1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.

第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.(2)对合情推理的认识:归纳推理合情推理类比推理第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理).(2)特点：由一般到特殊的推理.(3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式.演绎推理的一般模式——“三段论”：①大前提：已知的一般原理(M是P);②小前提：所研究的特殊情况(S是M);③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六二、综合法和分析法1.综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．又叫顺推证法或由因导果法.第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)其推理方式可用框图表示为：其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1,Q2,…表示中间结论．综合法常用的表达格式为：∵P，∴Q1;又∵Q1，∴Q2;…;又∵Qn，∴Q.第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.又叫逆推证法或执果索因法.(2)其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论．第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【辨析】综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程.第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六三、反证法1.反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.反证法的证明过程包括以下三个步骤第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六四、数学归纳法1.数学归纳法的含义证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.对数学归纳法的几点认识(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题.(2)两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立.(3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换.(4)完成第(1)和(2)证明后，要对命题成立进行总结.

第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧！第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六AGCFEDBH【备选答案】A.归纳推理B.间接证明C.演绎推理D.分析法E.由因导果F.结论G.由特殊到特殊的推理H.数学归纳法第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六一、合情推理1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类比，用于寻找方法.常见的类比有平面空间，等差数列等比数列，实数复数，向量点乘积实数积等.2.合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性.第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【例1】(1)设f(x)=又记f1(x)=f(x),f(k+1)(x)=f［fk(x)］,k=1,2,…，则f2012(x)等于()(A)(B)x(C)(D)(2)已知数列{an}为等差数列，若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*)，则类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0,n∈N*)，若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*)，则可以得到bm+n=__________.第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，_________，___________，成等比数列.第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【解析】(1)选B.计算归纳得f4k(x)=x,k∈N*，从而f2012(x)=x.第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)观察等差数列{an}的性质：am+n=则联想nb-ma对应等比数列{bn}中的而{an}中除以(n-m)对应等比数列中开(n-m)次方.答案：(3)根据类比原理知此题顺次应填答案：第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【例2】写出用三段论证明f(x)=x3+sinx(x∈R)为奇函数的步骤.【解析】满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数.(大前提)因为f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x).(小前提)所以f(x)=x3+sinx是奇函数.(结论)第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六二、直接证明综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用.【例3】已知数列{an}和{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设Tn=S2n-Sn，求证：Tn+1＞Tn.第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【解析】(1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1.整理得bn-bn+1=bnbn+1,由题意知，bn≠0(否则an=1与a1=2矛盾),从而得∵b1=a1-1=1,∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列.∴=n,即第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)∵Sn=方法一(综合法):∵Tn+1-Tn=∴Tn+1＞Tn.第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六方法二(分析法)：Tn+1＞Tn⇔S2n+2-Sn+1＞S2n-Sn⇔S2n+2-S2n＞Sn+1-Sn⇔⇔⇔2n+2＞2n+1⇔2＞1,显然成立，故Tn+1＞Tn.第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六三、间接证明——反证法1.用直接法证明，较难入手，用反证法证明则简洁明了.题目中如果有“不是”“至少”“不可能”等词语时，通常考虑反证法.第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.反证法.反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误.既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立).第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【例4】等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+S3=9+3(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解析】(1)由已知得∴d=2,故an=2n-1+Sn=n(n+).第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)由(1)得假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等，且p,q,r∈N*)成等比数列，则即∵p,q,r∈N*,∴∴∴=pr,∴(p-r)2=0,∴p=r，这与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六四、数学归纳法1.归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想，一般是先根据通项的递推关系或者前n项和公式写出数列的前几项，根据前几项的联系猜测其通项公式，猜测要合理，然后根据已知条件对猜测的公式给出证明，其证明方法一般是数学归纳法.第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.数学归纳法解题步骤(1)当n取第一个值n0(例如n0=1)时，证明命题成立；(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，并证明当n=k+1时，命题也成立.于是对一切n≥n0，n∈N*,命题都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的.第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【例5】在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明：①当n=1时，由以上知结论成立.②假设当n=k(k≥1)时，结论成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.所以当n=k+1时，结论也成立.由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)当n=1时，当n≥2时，由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n.故综上，原不等式成立.第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【例6】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)，证明对任意的n∈N*,不等式成立.第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【解析】(1)由题意：Sn=bn+r,当n≥2时，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b＞0且b≠1,所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即解得r=-1.第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为①当n=1时，左式=右式=左式＞右式，所以结论成立,②假设n=k(k∈N*)时结论成立，即则当n=k+1时，第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六要证当n=k+1时结论成立，只需证即证由基本不等式得成立，经验证等号不成立.所以，当n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*时，不等式成立.第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六1.用反证法证明“如果a＞b，那么”，假设内容应是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.假设结论不成立，即的否定为第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2.在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为()(A)1∶2(B)1∶4(C)1∶8(D)1∶16【解析】选C.∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六3.若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比如图，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为______________.第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六【解析】考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1-OR1Q1及三棱锥P2-OR2Q2的底面面积之比为又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为故体积之比为答案：第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六4.观察下列等式：(1+x+x2)1=1+x+x2,(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19