2022-2023学年福建省漳州重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省漳州重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数f(x)=x2−x，则fA.2 B.Δx+3

C.(2.过点P(0,2)作曲线A.(1,1) B.(2,3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x)，直线l2的方向向量bA.−3或1 B.3或−1 C.−34.某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为(

)A.313 B.413 C.145.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，ex−1x的极限即为00型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法A.0 B.12 C.1 D.6.已知函数f(x)=12A.{a|a<−2或a>2} B.7.海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立，已成为海口的最重要的标志性与象征性建筑物之一．如图所示，海口钟楼的主体结构可以看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为60°的次数为(

)A.2

B.4

C.6

D.88.已知e为自然对数的底数，f′(x)为函数f(x)的导数.函数f(x)A.e2f(2)>f(0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知v为直线l的方向向量n1，n2，分别为平面α，β的法向量(α,β不重合A.n1//n2⇔α//10.以下在区间(0,1)A.f(x)=lnx−x11.以下四个命题中错误的是(

)A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.已知函数f(x)=lnx+x2−ax在定义域上为增函数，则实数a的取值范围是a≤22

C.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP=2OA−2O12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱A.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD

B.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段

C.当且仅当Q点落在棱三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=l14.已知空间向量a=(1,n,12)，b=(−15.已知函数f(x)=ex+16.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c恰有两个零点x1，x2和一个极大值点x0(x1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(18.(本小题12.0分)

目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业．小李大学毕业后在同一城市开了A，B两家小店，每家店各有2名员工．五一期间，假设每名员工请假的概率都是12，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．

(1)求有员工被调剂的概率；

(19.(本小题12.0分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点．

(1)求点20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx21.(本小题12.0分)

如图(1)，菱形ABCD中，∠ABC=120°，动点E，F分别在边AD，AB上(不含端点)，且EF=λDB(0<λ<1)，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex−x+e3a，其中−65≤a<3e3−1，函数f(x)在(0,+∞)上的零点为x0，函数g(x)=x+a答案和解析1.【答案】B

【解析】解：函数f(x)=x2−x从2到2+△x的平均变化率为：2.【答案】A

【解析】解：设切点的坐标为(m,n)，

y=1x的导数为y′=−1x2，

可得切线的斜率为k=−1m2，

又切线过P(0,2)，可得3.【答案】A

【解析】解：由已知得|a|=4+16+x2=6a⋅b=4+4y+2x=0，

解得x=−4，4.【答案】A

【解析】解：设事件A={学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场}，事件B={学生丙第一个出场}，

所以P(AB)=3A33A55=320

P(A)=A44+35.【答案】B

【解析】解：x→1limx2lnx6.【答案】C

【解析】解：∵函数f(x)=12x2−ax+lnx−2有两个极值点，∴函数的定义域为(0,+∞)，

且f′(x)=x−a+1x7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角，属于中档题．

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，设矩形AA1B【解答】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设矩形AA1B1B的对角线的交点为E，矩形AA1D1D的对角线的交点为F，分针长为a，

考査8：00到9：00这个时间段，设t时刻，侧面AA1B1B、AA1D1D内的钟的分针的针点的位置分别为M、N，

设EM=(asinθ,0,acosθ)，其中−360°≤θ≤0

8.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

构造函数F(x)=exf(x)，对F(x)求导，根据已知条件可得F(x)在[1【解答】解：设F(x)=exf(x)，则F′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]，

∵对任意的x≥1都有f′(x)+f(x)>0，

∴F′(x)>0，则F(x)在[1,+∞)上单调递增，

9.【答案】AB【解析】解：对于A，平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，故A正确；

对于B，平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，故B正确；

对于C，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，故C错误；

对于D，直线的方向向量垂直于平面的法向量等于直线平行于平面或直线在平面内，故D错误．

故选：AB．

法向量垂直于平面，根据两向量的位置关系分别进行判断求解．

本题考查线面平行、线面垂直、平面的法向量等基础知识，是基础题．10.【答案】BC【解析】解：f(x)=lnx−x，f′(x)=1x−1，

x∈(0,1)，f′(x)=1x−1>0，故f(x)=lnx−x在(0,1)上单调递增，故A错误；

f(x)=11.【答案】AD【解析】解：对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，

A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；

对于B，函数f(x)=lnx+x2−ax(x>0)，则f′(x)=1x+2x−a(x>0)．

因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，

所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即1x+2x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，

所以1x+2x≥a在(0,+∞)上恒成立，因为当x>0时，1x+2x≥22，当且仅当1x=2x，即x=22时等号成立．

所以a的取值范围是(−∞,22]，故B正确；

对于C，因为OP=2OA−2OB+OC，所以OP−OC=2(OA−OB)，即CP=2BA，所以CP与BA共线，即P、A12.【答案】BC【解析】解：选项B，分别取B1C1，CC1中点E，F，连接D1E，D1F，EF，PF，

由PF与B1C1，A1D1平行且相等得平行四边形A1PFD1，所以D1F//A1P，

又因为D1F⊄平面A1DP，A1P⊂平面A1DP，所以D1F//平面A1DP，

连接B1C，EF//B1C，B1C//A1D，所以EF//A1D，同理EF//平面A1DP，

又因为EF∩D1F=F，EF，D1F⊂平面D1EF，所以平面D1EF//平面A1DP，

当Q∈EF时，D1Q⊂平面D1EF，所以D1Q//平面A1DP，即Q点轨迹是线段EF，B正确；

选项A，以D1为原点，D1A1，D1C1，DC据直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

A1(1,0,0)，D(0,0,1)，P(1,1,12)，

设Q(x,1,z)(0≤x,z≤1)，A1D=(−1,0,1)，A1P=(0,1,12)，D13.【答案】(1【解析】解：函数f(x)=lnx+1x的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1x−1x214.【答案】6【解析】解：根据题意，空间向量a=(1,n,12)，b=(−2,1,−1)，则2a−b=(4,2n−115.【答案】(−【解析】解：函数f(x)=ex+e−x+cosx的定义域为R，且f(−x)=e−x+ex+cosx=f(x)，则f(x)是偶函数，∵

f′(x)=ex−e−x−s16.【答案】4

4

【解析】解：因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有一个极大值点x0，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于x0，

又f(x)恰有两个零点x1，x2，且x1<x0<x2，因此x2也是f(x)的极小值点，

则f′(x)=3x2+2ax+b，即x0，x2是方程f′(x)=0的二根，有x0+x2=−2a3x0x2=b3，

则a=−3(x0+x2)2b=3x0x2，

显然f(x)=(x−x1)(x−x2)2=x3−(x1+2x2)x217.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，f′(1)=3+2a+b．

∴k=f′(1)=3+2a+b=−4

①

曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y−f(1)=−4(x−1)，

即y=−4x+4+f(1)=−4x【解析】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中档题．

(1)由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；

(2)18.【答案】解：记事件Ai=“A家小店有i名员工请假”，Bi=“B家小店有i名员工请假”，其中i=0，1，2，

题设知，事件Ai，Bi相互独立，且P(A0)=P(B0)=(12)2=14P(A1)=P(B1)=2⋅(12)2【解析】(1)由题意可知，记事件Ai=“A家小店有i名员工请假”，Bi=“B家小店有i名员工请假”，事件C=“有员工被调剂”，则C=A0B2+19.【答案】解：(1)以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，E(2,0,1)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，

则DE=(2,0,1)，DF=(0,1,2)，DB1=(2,2,2)，【解析】(1)以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，可求得平面DEF的一个法向量为n=(−1,−4,2)，DB1=(220.【答案】解：(1)f′(x)=(x−2)(x−a)x，x>0，

当a=2时，f′(x)≥0⇒x∈(0,+∞)，

∴f(x)的单调增区间为(0,+∞)，

当0<a<2时，由f′(x)>0⇒x∈(0,a)∪(2,+∞)，

∴f(x)的单调增区间为(0,a)，(2,+∞)，

由f′(x)<0⇒x∈(a,2)，∴f(x)的单调减区间为(a【解析】(1)求函数的导数和定义域，结合函数的切线方程建立方程关系进行求解，

(2)21.【答案】解：(1)由题意易知△ABD是等边三角形，

又EF=λDB，故EF//BD，故△PEF也是等边三角形，

取EF的中点O，连接DO，则PO⊥EF，平面PEF⊥平面BCDEF，PO⊂平面PEF，

平面PEF∩平面BCDEF=EF，故PO⊥平面BCDEF，BF⊂平面BCDEF，

故PO⊥BF，由BF⊥PD，而DO∩PO，故BF⊥平面POD，OD⊂平面POD，

故BF⊥OD，

延长DO交AB于点N，则DN⊥AB，AO⊥BD，故O为△ABD的重心，

又O点在EF上，EF//BD，故【解析】(1)证明BF⊥OD，延长DO交AB于点N，确定

O为△A22.【答案】证明：(1)①∵f′(x)=ex−1，当x>0时，ex>1，

∴f′(x)>0，

∴f(x)在(0,+∞)单调递增，