高中数学北师大版选修12讲义复习课（一）

复习课(一)统计案例回归分析(1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的推断，求解回归方程并进行预报估量，题型多为解答题，有时也有小题消失．(2)把握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要把握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题.eq\a\vs4\al([考点精要])1．一个重要方程对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为y＝bx＋a.其中b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).2．重要参数相关系数r是用来刻画回归模型的回归效果的，其肯定值越大，模型的拟合效果越好．3．两种重要图形[典例](2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.96抽取次序910111213141516零件尺寸经计算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)))≈0.212,eq\r(\i\su(i＝1,16,)i2)≈18.439，eq\i\su(i＝1,16,)(xi－eq\x\to(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并答复是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(假设|r|＜0.25，那么可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，假如消失了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能消失了特别状况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估量这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(0.008)≈0.09.[解](1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数为r＝eq\f(\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)i,\r(\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,16,)i2))＝eq\,×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估量值为10.02，eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)＝16×2＋16×2≈1591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为eq\f(1,15)2－15×2)≈0.008，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估量值为eq\r(0.008)≈0.09.[类题通法]求线性回归方程的根本步骤[留意]对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．eq\a\vs4\al([题组训练])1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的回归系数为b，回归截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反解析：选A正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0.2．为讨论某种图书每册的本钱费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))表中ui＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(u)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i.(1)依据散点图推断：y＝a＋bx与y＝c＋eq\f(d,x)哪一个更相宜作为每册本钱费y(元)与印刷数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出推断，不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)假设每册书定价为10元，那么至少应当印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线v＝a＋βω的斜率和截距的最小二乘估量分别为β＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)2)，α＝eq\x\to(v)－βeq\x\to(ω))解：(1)由散点图推断，y＝c＋eq\f(d,x)相宜作为每册本钱费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y关于u的线性回归方程，由于d＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)＝eq\,0.787)≈≈8.96，∴c＝eq\x\to(y)－d·eq\x\to(u)×≈1.22，∴y关于u的线性回归方程为yu，从而y关于x的回归方程为y＝1.22＋eq\,x).(3)假设印刷x千册，依题意：10x－eq\,x)))·x≥78.840.x≥87.8，解得x≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78840元.性检验(1)近几年高考中对性检验的考查频率有所降低，题目多以解答题形式消失，一般为简单题，多与概率、统计等内容综合命题．(2)性检验的根本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系〞这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系〞成立，在该假设下构造的随机变量K2应当很小，假如由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，那么在肯定程度上说明假设不合理，依据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系〞这一结论成立的可信程度约为99%.eq\a\vs4\al([考点精要])性推断的方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[典例](2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示大事“旧养殖法的箱产量低于50kg〞，估量A的概率；(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)依据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比拟．附：P(χ2≥k0)k0，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，大事A的概率估量值为0.62.(2)依据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466依据表中数据及χ2的计算公式得，χ2＝eq\f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图说明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．[类题通法]性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地推断两个变量的相关性．(2)χ2统计量法：通过公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)先计算χ2，再与临界值表作比拟，最终得出结论．eq\a\vs4\al([题组训练])1．假如有99%的把握认为变量A和B有关系，那么χ2()A．χ2≥3.841 B．χ2C．χ2≥6.635 D．χ2解析：选C将χ2的值与临界值比拟，可知假设有99%的把握认为变量A和B有关系，那么χ2≥6.635.应选C.2．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计洁净水52466518不洁净水94218312总计146684830(1)能否有99%的把握认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由．(2)假设饮用洁净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不洁净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否有95%的把握认为这种疾病与饮用水有关．解：(1)把表中的数据代入公式得χ2＝eq\f(830×52×218－466×942,146×684×518×312)≈54.21.∵54.21＞6.635，所以有99%的把握认为该地区这种传染病与饮用水不洁净有关．(2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计洁净水55055不洁净水92231总计147286此时，χ2＝eq\f(86×5×22－50×92,14×72×55×31)≈5.785.由于5.785＞3.841，所以有95%的把握认为该种疾病与饮用水不洁净有关．1．为了讨论气温对某种饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的比照表：摄氏温度－1381317饮料瓶数3405273122依据上表可得回归方程y＝6x＋a，据此模型猜测气温为30℃时销售饮料瓶数为()A．140 B．190C．210 D．240解析：选B依题意得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(－1＋3＋8＋13＋17)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3＋40＋52＋73＋122)＝58，那么回归直线必经过点(8,58)，于是有a＝58－6×x＝30时，y＝6×30＋10＝190，应选B.2．以下说法中正确的有：()①假设r>0，那么x增大时，y也相应增大；②假设r<0，那么x增大时，y也相应增大；③假设r＝1或r＝－1，那么x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：选C假设r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．有以下数据：x123y3以下四个函数中，模拟效果最好的为()A．y＝3×2x－1 B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2解析：选A分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好，应选A.4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954依据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()解析：选Beq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，∵数据的样本中心点(3.5,42)在线性回归直线上，回归方程y＝bx＋ax＋a，∴42＝a×3.5，∴a＝9.1，∴线性回归方程是yx＋9.1，∴×6＋9.1＝65.5(万元)．5．为了评价某个电视栏目的效果，在前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，依据这一数据分析，以下说法正确的选项是()A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为该栏目是否优秀与有关系C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与有关系解析：选D只有χ2>6.635时才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与有关系．而即使χ2“电视栏目是否优秀与有关系〞这个论断成立的可能性大小的结论，应选D.6．在两个学习根底相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，那么试验效果与教学措施()优、良、中差总计试验班48250比照班381250总计8614100A．有关 B．无关C．关系不明确 D．以上都不正确解析：选A随机变量χ2＝eq\f(100×48×12－38×22,50×50×86×14)≈8.306>6.635，那么有99%的把握认为“试验效果与教学措施有关〞．7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程yx＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发觉表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由表格知eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字〞为a.那么a＋62＋75＋81＋89＝75×5，所以a＝68.答案：688．某学校对课程?人与自然?的选修状况进行了统计，得到如下数据：选未选总计男40545450女230220450总计635265900那么，认为选修?人与自然?与性别有关的把握是______．解析：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝163.794>6.635，即有99%的把握认为选修?人与自然?与性别有关．答案：99%9．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，那么r1，r2的大小关系为________．解析：对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2r2＜0＜r1.答案：r2＜r110．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好〞．下表是一次针对高三文科同学的调查所得的数据，试问：文科同学总成果不好与数学成果不好有关系吗？总成果状况数学成果状况总成果好总成果不好总计数学成果好47812490数学成果不好39924423总计87736913解：依据题意，χ2＝eq\f(913×478×24－399×122,490×423×877×36)≈6.233>3.841，因此有95%的把握认为“文科同学总成果不好与数学成果不好有关系〞．11．某班主任对全班50名同学的学习乐观性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：乐观参与班级工作不太主动参与班级工作总计学习乐观性高18学习乐观性一般19总计50(1)假如随机抽查这个班的一名同学，那么抽到乐观参与班级工作的同学的概率是eq\f(12,25)，请完成上面的2×2列联表．(2)在(1)的条件下，试运用性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为同学的学习乐观性与对待班级工作的态度有关？并说明理由.P(χ2≥k)k解：(1)假如随机抽查这个班的一名同学，抽到乐观参与班级工作的同学的概率是eq\f(12,25)，所以乐观参与班级工作的同学有24人，由此可以算出学习乐观性一般且乐观参与班级工作的人数为6，不太主动参与班级工作的人数为26，学习乐观性高但不太主动参与班级工作的人数为7，学习乐观性高的人数为25，学习乐观性一般的人数为25，得到：乐观参与班级工作不太主动参与班级工作总计学习乐观性高18725学习乐观性一般61925总计242650(2)χ2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)≈11.538，由于11.538>6.635，所以有99%的把握可以认为学习乐观性与对待班级工作的态度有关系．12．如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，猜测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\