极射赤平投影CAD图解

极射赤平投影CAD图解一、序言

岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理

（一）投影要素

极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：

1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上

餐的投午影称尸为上济半球穗设影屠。一耻般采拜用下果半球葵投影委。渔

佣

让7樱.挡极点统：通洗过球但心的茄直线藏与球汇面的专交点好称为桑极点融，一兵条直堵线有辞两个将极点竟。铅剃直线侦交球交面上壤、下染两个程点（巨也就养是极续射点骂）；筝水平魔直线碎交基哄圆上渐两点乎；倾陪斜直诞线交衬球面宝上两测点（障如图公五芒中娇A俊、枯B胆）。洗（二偷）平赢面的愈赤平穴投影自

类

隔承平面脆与球遭面相微交成桐大圆物或小鸦圆，臂我们鬼把大吃圆或普小圆韵上各裙点和犹上极扒射点寺（定P率）的洗连线滤与赤晶平面货相交陶各点播连线绑称为遵相应羞平面贵的赤革平投饮影。恳

库

字1击.进过球绪心平岛面的细赤平蛛投影破随平槽面的葬倾斜阴而变佳化：栏倾斜赔平面财的赤倘平投钢影为悲大圆非弧（厦如图第二中碰的柴N绍B破′秆S侄）；鞋直立槽平面反的赤尤平投谈影是念基圆言的一勺条直柳径（搅如图肺一愈（令a凶）中湖的绣N至S萝）；拒水平缠面的案赤平商投影锯就是宽基圆毛（如语图一订中怒的妇NE阁S澡W同）。捕

坑

符2册.蚕不过锣球心文平面邪的赤横平投石影也暑随平屈面倾棒斜而灿变化阴：直末立平泥面的育赤平孩投影索是基压圆内丑的一游条圆麦弧（央如图趣三喇K倘D忌′该H美）；摘倾斜旺平面能的赤宋平投阳影有掉以下辆三种城情况或：鹊⑴艇当倾叛斜小瓜圆在比赤平勒面以栽下时盖，投愚影是京一个珠圆，灾且全扛部在格基圆滋之内蓄（如衫图刻三跌F巾G坑）撇；黎⑵畏当倾舟斜小装圆全皮部位叔于上扎半球丙时，柱投影镜也是萍一个剧圆，危但全潜部在酿基圆钉之外钳；键⑶醉当倾飞斜小烂圆一位部分煎在上菌半球盖，另背一部支分在现下半邻球时师，赤绢平面百以下丸部分巨的投裂影在拾基圆顷之内疼，以捉上部帝分的随投影炊在基涌圆之研外。戴当球幕面小方圆通楚过上壮极射探点时宫，其畏赤平毕投影极为一蜜条直惧线（愿如图蚀一耍（控c睡）植中星PA矛C挂B桑的投洒影却为尊A用B蜜）；吗水平固小圆乎的赤吼平投尝影在门基圆牌内（驰如图纪四竹中煌A外′渠B体′圣）剩，客A秀′俯B恼′怀是一硬个与敲基圆笔同心亿的圆暗。吐（三超）直寿线的杆赤平任投影睁

箩

饰备直产线塌A舒B棍的投甜影点霞就是高其极因点辽A康、朗B订和极拳射艺点泡P挡的连慕线与悠赤平衡面的竞交茄点倒A吴′犬、职B膜′娘。铅规直线禾的投迟影点余位于绝基圆抖中心外；过锁球心叛的水瓜平直棋线的革投影咬点就筝是基劈圆上焦两个优极点枣，两凳点间颠距离彻等于狸基圆奋直径国；倾燕斜直缸线的透投影矩点有蹈两个彼，一暮点在素基圆仿内，览另一茧个在丝基圆鲜外，廉两点小呈对蠢蹼点倾，在完赤平片投影硬图上肠两点勒的角轻距相每差腔18圆0臭°翠（如告图五仔）。榴（四环）吴乱氏网仅及唇其武CA私D忆制作族

漏

淘泛目前爱广泛狱使用康的极饭射赤歪平投水影有旬等角蜜距投弓影网辰和等朱面积永投影粮网。昏等角轿距投疼影网寺是由陕吴尔怪福发会明的兄，简交称吴愧氏网从；等辨面积炎投影斧网是穿由施自密特墙发明霜的，歉简称拨施氏占网。糊两者妄的主捧要区积别在亚于：居球面忍上大歌小相轧等的筒小圆络在吴致氏网义上的照投影组仍然滤是圆梢，投斜影圆跨的直龙径角凯距相较等，营但由怪于在像赤平栗面上柱所处蚂位置墓不同仙，投勾影圆移的大啦小不璃等，彻其直支径随恢着投筝影圆帆圆心完与基盯圆圆某心的握距离浊增大要而增雷大。翻而在窝施氏无网上专的投干影则毛呈四涝级曲日线，瞧不成杏圆，进但四孝级曲姓线所冻构成银的图诵形面制积是编相等轰的，夫且等耐于球山面小第圆面胡积的蝇一半检。使绳用吴首氏网议求解齿面、痛线间滚的角饿距关抹系时碍，旋危转操区作显劫示其慢优越放性，商不仅肌作图榨方便激，而品且较研为精狡确。截而使傍用施非氏网蛙时，哨可以绍作出令面、州线的幕极点义图或乌等密听度图赛，能型够真服实反驰映球塞面上坝极点职分布域的疏慢密，守有助洒于对满面、舟线群荒进行棒统计台分析涛，但碎其存馅在作叙图麻旨烦等座缺点如。湖

粮

镜1将.债吴氏氧网的香结构傻及成鹿图原棍理脊

种

汪煎吴氏啦网（慎图六析）由职基圆星、南肃北经喊向大孩圆弧幸（纷NG睁S谱）、欧东西季纬向壳小圆意弧情（椅AC抢B决）等挨经纬索线组仆成。适标准辅吴氏千网的邪基圆辫直径伟为首20讨c欠m锹，经营、纬椅线间绪的角历距止为议2刑°佣。鬼

卷

值(裳1充)抹基圆板，由边指北联方向钞（虫N悉）意为域0°锡,成顺时伟针方么向刻浊出做36贝0厕°烟，这约些刻截度起祥着量吊度方度位角贸的作微用；送

检

方(亿2件)明经向辽大圆途弧是词由一悔系列腐通过春球心肯，走短向南榨北，春分别忘向西适和向够东倾遮斜，岭倾角属由夏0压°酿到巾90覆°茎（角收距间驱隔白为品2存°昂）的劝许多评赤平终投影循大圆王弧所仆组成干。这照些大铲圆弧光与东冻西直豪径菊线深E累W驴的交批点到脾端点奔（窗E困点哥和燥W贴点）粪的距决离分净别代加表各鬼平面凡的倾喉角。抚如图物六斤中怒G拿W渗表示便的大现圆右弧斯NG敌S织所代晋表的倾平面惜向西兴倾斜兔，倾挖角聋为担30廉°菌。哗

咸

诱(抄3破)从纬向热线是无由一持系列坝走向辱东西庆的直栋立平荷面的招赤平蛋投影饮小圆刺弧所奸组成湾。这预些小价圆弧提离基按圆的裕圆牛心退O涌愈远巧，其汇所代愧表的扛球面朱小圆窃的半意径角即距就抹愈小勺，反锦之离删圆拣心计O省愈近狸，则介半径爪角距边就愈参大。它相邻雁纬向隶小圆袜弧间火的角宫距也拐是的2颈°赖，它报分割哑南北担直径韵线的归距离碧，与隔经向浆大圆坊弧分捎割东久西径终线的祝距离副是相巾等的帐。如迫图六嚼所示恢，炼E驴D功＝狱S碌H险＝吐W门G掏＝谎N侨F孕，角群距都凑为榆30跃°愈。戏

北

错2挥.衔吴氏拣网就的腐CA服D散图解贸

奥

摧团绘制店吴氏浇网，蹈其实刻质就洽是在肝赤平浑大圆三上画啦出经秘向大瓜圆弧阁和纬惹向小厅圆弧短。那内么这思些大脂圆弧姻和小桶圆弧都都是胶怎样的是绘知制出球来的海呢？级在没炕有治CA黄D全制图钩系统繁软件咽以前匀，人薯们通丛过平旅面几过何关肾系利镰用圆默规、径直尺袭等原嗓始工贝具绘踩制，蚀其绘彻制过拼程很滤复杂理。而鸡在滤CA爱D挣制图盾系统申软件仅下，读绘制射大圆烂弧和默小圆叹弧是武非常薄简的绒，下廊面就宣介绍龙它们哈的原爬理和纱绘制想过程桌。社

券

惭(拥1狱)国绘制阿大圆纲弧的献原理日与步违骤户

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乳书要绘狭制大嘴圆弧饶，应虹至少压知道占大圆灯弧上侨的三蹲个健点却N靠、屈S拼、挺B委′秆（如膜图二束所示日），是其坚中紧N踩、宏S晋点是全每条显大圆第弧都撑必须士经过岔的，矛是已鹿知点棕。现姑在只豆要能属确定径经向疗大圆丝弧与辣东西碎径治线缴E险W夜的交面点匙B云′仰，问引题就自迎刃俘而解景。央

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航筛①不伶计筛算诊O克B忍′坝长度屿

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刊先根据鄙倾斜事平面涛的倾泻角、猛基圆徒的直挺径，策可按革下式仙计算沈点刺O飘与彼点爪B乒′纸之间枕的距擦离赖昨（公带式一爪）描式瓦中饥摘R乖—锈—防基圆戚的半氧径；蜜α—膛—位大圆难弧所骗代表芽平面惕的倾肌角糟（烧°土）。孙

矩

弦悔②绒以基桨圆的晴圆心程为圆堤心尺，忙O姓B桐′埋长为屡半径柏画一辆个圆宅，该煮圆与喝基圆者的东挨西径常向驻线文E意W安交桐于按B凯′弄点。屿

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浑理③头过与N超、氏S燃、抓B絮′描三个半点画苦一个祥圆，蓄并剪哄掉基值圆外透部分吧，大围圆弧嫩也就龟绘制外完成腰。堂

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金(扰2亿)变绘制柜小圆怒弧的殖原理准与步顿骤投

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脚肾要绘棵制半随径角轨距裤为剑膜的小录圆弧极，同潮样也捕应至屿少知揉道小给圆弧逐上的痕三个第点（吓如图员六所偏示母的悄A殃、死C劝、然B透三个递点）敞。根亮据吴给氏网坛的结他构与贱原理浪，可氧以通挨过宜CA趣D再制图袖确脸定疤A匪、司C题、克B弄三个枯点的邮位置信。兵

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聚持①化确定舰点擦C税，首侍先用碗公式致一计秀算季点潮O厨与疗点痒C寸间距尤离，织但其兔中妙掉为小彼圆弧蜻的半懒径角议距；停然后委以基闷圆的原圆心剖为圆翠心崖，用O卫C谢长为袭半径喝画圆锡，该缩圆与氧基圆禁的南市北径融向解线炉N原S链交胡于避C贞点。草

另

凭公②暮以基牵圆的咳圆心赛为基哪点，章将南垒北径誓线鸽O今N培分别画逆时场针和芦顺时耗针旋熟转角喊度肆狠，得均两条贺直线视，分逐别与慰基圆录交咬于兄A只、聋B退点挨

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鲁浇③宽过通A厌、津C到、眨B呆三个搁点画盼一个逐圆，筋并剪甚掉基才圆外沙部分增，小贱圆弧堂也就导绘制少完成故。

陕三、谣赤平胖投影俊网亚CA骨D咽图解霸的应转用

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梳彩利用院传统割标准技吴氏盟网对突平面办、直辫线进拢行投梦影时困，一浅般步提骤是烫：把蒙透明训纸（逃或透户明胶央片等前）蒙摄在吴透氏网铅上，挖画基危圆积及旧“狭十忌”冻字网旱心，暴并用溪针固样定于机网心饿上，乌使透渴明纸猜能够爷绕网婶心旋跨转。上然后繁在透蔬明纸感上标雨出源E抛、顶S悦、忠W述、愉N闲，以携正北池（腹N从）唤为铲0街°赖，顺拘时针堆数阶到肠36民0贺°叶。东参西直后径宝E届W钓确定夸倾角览，一喷般是杰圆周抢为赤0雅°取，至全圆心鸭为赚90朱°杂。这副样做掠具有甜以下骂缺点三：一吐是较烈麻烦耳，二及是当畏旋转棍透明没纸时只，容绒易从黄针孔退处发卸生破伸裂而间移位适；三及就是糕准确觉性不滔高；使四是今效率情低。妨如果撒用跨CA遗D鸦制图骨，则具可避剥免上足述不胸足，酿且使陕作图爽更简暮化，迫用不台着吴凡氏网梯中的崖那么皂多的膛经、册纬线饭，只仍需要育画出狗基圆效及其迷南北乖径线豪和东码西径闸线。陵

另

村1元.兔平面彼赤平追投影萍的猪CA艇D累图解马（如爸图七幼）雪

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乔微例订1钻：一稿平面望产洽状巷12奉6镇°神∠啄30段°集，绘是制其搁赤平凳投影披图。切

杆

箱(椒1董)席绘制倦一直搬径红为康20贫c旁m碰的基泉圆，势同时意画出凑铅直臂和水沙平两何条直啦径，居并标捏出难E赴、蜂S钉、朝W粮、矮N妈。后栋面的蛮例子膛均需箩要这青一步混，画铜法与升之相渡同，刚所以失不再扩重复漂。辽

帽

猎(叹2猪)哑平面侵的倾乖向鸣是段12辱6碑°氏，则羊其走浮向荡为进36席°典。将鱼南北事径线犁绕基悄圆的包圆倚心伏O仁顺时捧针旋殃转丙36并°外到承达臂A编B辩位置月，与退基圆腿交命于辅A钓、扎B吃两点状，浆则饭A崇B业就是浓平面帅的走躬向线转。狱

每

采(戏3阵)议以基森圆的主圆哨心携O季为基洁点，驾将射班线庄O外N崭顺时掘针旋胆转垒12谱6袍°拦到较达事O秃D元位置纵，与艺基圆纲相交卸于庄点也D台，剧则郊O本D小即为持该平听面的钻倾向连线。扰

划

队(蔽4逆)赚用公距式一恋计算锅线贴段控O它C投长度颠。以补基圆惊的圆兽心勿O译为圆垫心界，页O淘C哄为半带径画许圆，码交丹O口D治于缓C膏点。贿

怕

洋(请5诞)矿采用使三点圆法，罗即围过法A午、泳C辟、垫B制三点麻画圆帽，并传切掉迫基圆束外部棚分，踢所得孕大圆藏弧谋AC家B掩即为甩该平蛇面的亿赤平舌投影扔。捎

辅

猛2臂.求直线扮赤平浆投影古的益CA画D沈图解完（如注图八嗽）刘

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耽顶例枝2抹：一纱直线缸产欧状绸33情0牙°喘∠杏40秩°说，绘最制其扣赤平费投影秀图。没

兵

施(兴1泼)誓将键O拢N绩绕圆乓心蹲O姜顺时宫针旋征转扛33版0蛛°繁后到雷达译O紫A对位置日，与宾基圆饼交于学点幅A农，龟则货O偷A饱即为蚀该直碍线的遵倾伏奉向。冻

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岁(狭2沸)绞用公延式一殃计菌算礼O就A联′划值。招以基寸圆的遥圆纳心震O笑为圆骆心净，辫O势A翅′访为半链径画兽圆，唇交荡O午A美于讽A药′掀点，吵则茄点苍A氧′箱即为辰该直童线的卷赤平钱投影教。役

寸

倚3鸣.戚平面末法线第赤平挤投影艇的柿CA强D辉图解匪（如虚图九纵）蓄

生

圈圣例垮3堆：一京平面交产状线为霞10态5诚°贩∠球40冠°裳，绘苦制其杰法线尿的赤乞平投健影。旷

何

舍(拆1余)狐按眨例俗1侨所述观方法无，绘搭制产味状蛾为稀10运5炒°赛∠廉40厚°石平面淡的赤机平投崇影大居圆错弧闭N练B砌′任S仓。默

穴

企(钓2准)开平面限法线畅的倾蕉角与鄙平面书的倾象角之捞和等顾于既90山°胶，因嫁此平若面法区线的摆倾角蕉为芹50睁°熟。用订公式阅一计武算猎O塞A版′姻。以知基圆钥的圆诱心全O泉为圆输心茂，包O秩A雅′蝶为半躺径画棕圆，屡交愤B拍′昌O辰的延颂长线哄于鞭A否′洋点，阀则犹A剥′两点为毅该平考面法片线的因赤面嫁投影滋，也絮称其损为平法面的蔑极点殿。火

丢

而堤由于眠平面骡法线材倾向芝与平无面倾钢向相娘反，芒相批差吼18窗0该°蜜，平达面法糕线的缎倾角惑与平歌面的胆倾角俗之和嫌等锈于痰90乓°锄，因餐此也托可根洽据平晓面法话线产躬状与催平面版产状题间的俘这种秒关系疼，首愿先计醉算法值线的秋产状歼为届28揭5格°歉∠千50盗°申，然嗓后再棒按预例仇2胆方法斜绘制包法线珍的赤龄平投公影。攀

苗

笔4跨.姐相交过两条日直线称所构祖成平疗面的帖产状必

妄

敢束例驶4赵：已蹲知两螺直质线域18量0监°货∠性20完°嫁和施90贯°载∠屈32榆.3贤°购相交成，用进赤平蕉投影锻法求继解这槽两条桨直线蓬所构眨成平驰面的佳产状今（如醋图十广（岭a狱）、雄（百b贝））永。齐

绢

钻(颤1留)窄为很穴好地窝利北用坟CA唱D杂制图屠解决翁这个访问题沾，引算入两追条直带线倾由角与辨平面培倾角锁间的乒关系掉式：盘

盆

机t既an据2昨β疫si涛n变2味γ抖=t灿an筝2倍α文1+晕ta军n革α墙2-割2t腔a突n惜α绸1t余a产n旷α羊2c命o融s亮γ哈授（公躺式二秀）序式君中披β—栋—挡两条翼相交狡直线指所构稀成平绍面的沿倾角乡（塔°刑）；秒α揭1请、猛α耽2份—伶—放分别因为两衰条直共线的东倾伏宜角袄（得°番）；屠γ—仆—腰两条右直线眼倾向街夹角呈（桨°敏）。生用公所式二方计算有两条尘直线宿所构救成平和面的印倾角犬为替β裕=3腔6.记13钻°雄。策

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圈(甩2飞)顽确定碍投影农大圆娃弧的垮圆籍心休O菊′热，隆点唱O雪′斤应在遍线淡段把C旱′至F因′欲的垂答直平偷分线使上。奶要确住定鹅点兼O络′献的位趁置，哄需要病用下裳列公撤式计晴算平债面的蜜赤平嫩投影纠大圆拦弧的牧半馋径蛇溪。计晴算出西赤平悬投影痒大圆凑弧的蒸半晋径桥叔后，子再以熟点咏C哈′而或者段点盈F拘′叛为圆疮心画汪圆，害与线待段焰C惭′换F蚁′另的垂释直平悉分线保相交剪于葵点申O搬′足。隐（公知式三薯）赞式庄中竞R及’—赢—总赤平掩投影雷大圆粮弧的叨半爷径霸;坟R谨—橡—输基圆第的半辅径。导

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牲(删3播)断确定么平面扯的走游向夫A骑B伐：姜以珍O搭′粪为圆射心，底以椒歇为半加径画透圆，壤与基星圆相摸交于厘两御点弯A域、哥B克，区则焰A因B逮即为热所求报平面姑的走友向，帮为胳30遇°年。由逃此算愿出该累平面季的倾烛向炎为企12讲0犁°魄。狭因此挑所求塘平面嫌产状阔为躲12钢0恩°炭∠滥36服°屠。追此外鸦，两惨条直形线所返构所屑平面射的倾坦向，剩也可店由下铺式计留算确涉定：谜（公掀式四津）雨式马中截—锯—贴平面昌倾向诞与直堂线缴1恭倾向将之差旦；狠其余规符号际意义倚同公铁式二跟。恋

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梅鞋例秆5丈：用崭赤平遮投影六法求棕解停例博4岔两条披直线丝的夹锅角及咸其角状平分忽线（惭图十肺（丰c肆））冻。舟

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隐(划1由)净按恶例授4垄作法权，确血定两既条直仅线所掉构成烈平面押的赤螺平投观影，次即大眼圆摇弧木A芽F鹊′牲C顶′会B浆，其员产状揭约护为穿12投0催°尼∠戏36燥°呀。饥

鉴

插脊（调2睡）量程取大贱圆弧断上宿C仗′选与嫂F互′题间的卡角距丸为阵54模°够，即率相交恶两条生直线锡的夹斩角扬为夏54唇°工。该齿圆纹弧训C纺′击F胆′蛙段的钢角距册平分罢点幼G忘′蓝（见27务°虎）就歼是相博交两方条直泰线夹届角平斥分线欣的赤剥平投谦影，姐由此铁可以恳确定体两条康相交删直线燥夹角乎平分奔线的葛产状摸为政13猛9.倚67另°疫∠俭34宁.5逝1根°捆。药除上丸述作省图法腰外，畜还可研用下蹄式计建算两剪条相正交直绞线的浇夹角帖：羽（公娃式五动）敬式哀中特—绑—飞两条惩相交赤直线星的夹属角泼（叼°油）；攻其余尼符号崖的意柄义同偿前。断

倘

晌6纤.载平面辨上一流直线肚的倾再伏和贤侧伏阵（如货图十骂一）哨

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避艇例滔6健：已纹知平撒面产体状肃18卫0装°棉∠惕α夹躬（短峡α克＝摇36字°惯），伏平面导上一氏条直音线回A势C堡的侧放伏孝向么E群、侧赖伏屠角答β状（登畅β淹=4餐4量°呼，是次指该汤平面淋走向尽线与谨该直压线所盆夹的语锐角崇），曲用赤舱平投支影法固求解孩该直伯线的谊倾伏每向和图倾伏汪角。小

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涂长（睡1饶）按母例圆1铃做法王，绘鞭制平梦面的陶赤平密投影锋大圆黄弧吓E香D百″偷W伤。社

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竿撞（娃2咏）锦以垫E原W详为南集北向洪径线矩（假府定）燕，作趟半径懂角距个等欧于售β货（罩诚β燃=4热4°柱)晒的纬落向小轻圆文弧把G喷D傍″丈K检（应成为两资条，申另一毙条未允画出取），棋与平历面的必赤平寻投影画大圆递弧闹E艺D厌″民W耀相交若于遮C请″鞭点。句连接灰点历O帆与肃点坏C芹″倍，并炼延长丸，与睛基圆至相交遇于爆C归′叶点。贼

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株柱（贱3脆）群点否C慈″开即所树求直黑线的膨赤平沃投影饶。图即上量全得线械段出O样C犁″铅的长法度，吸然后萌用公拒式一绿求得军直线喂的倾旷伏读角丑24搜.7派1发°悔。泽

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轮慎（土4职）艳点杜C脖′页对应汪的角绞度顷为部12监7.毅64贺°就，即吓为所躁求直辈线的喂倾伏游向。颜因此粉该直条线的仁产状括为猎12罢7.趋64即°较∠欲24弃.7撇1励°程。董平面捏上一索条直祥线的授倾伏辉或侧滴伏，原可以徒相互澡换算卫，除平采用版上面疯的走CA晨D政制

留图方门法外比，也质可用疾下列驴公式肠计算我：嗓（公修式六遣）添（公肠式七齿）触式闯中驱—鲜—穷平面非倾角胁（浆°倚）；台—邀—耗平面币上直枣线的轰侧伏燕角斜（宴°晋）；她—屑—刊直线搅的倾像伏角帅（烘°声）；拢—初—乓平面拖倾向缎与直肾线倾脏向之死差热（竿°舅）。滚

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乘泻例晶7乒：已袭知两换个平谋面星70掉°吨∠深40米°支和托29委0巨°拴∠现30探°肃，用猪赤平俯投影沙法求笔解这淡两个恨平面令交线凶产状求。末

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