可线性化回归分析

第一章——统计案例[学习目标]1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析,判断几种不同模型的拟合程度.§1回归分析1.3可线性化的回归分析1知识梳理自主学习2题型探究重点突破3当堂检测自查自纠对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型.知识点一非线性回归分析思考有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型.曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny_____________u＝c＋bv知识点二非线性回归方程y＝aebxc＝lnau＝lnyy＝aec＝lna

v＝u＝lnyu＝c＋bxu＝c＋bvy＝a＋blnxv＝lnxu＝yu＝a＋bv思考如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程.例1

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：题型一线性回归分析广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954(1)由数据易知y与x具有线性相关关系,若b＝9.4,求线性回归方程y＝a＋bx；∴回归直线方程为y＝9.1＋9.4x.(2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额.解当x＝4时,y＝9.1＋9.4×4＝46.7,故广告费用为6万元时销售额为46.7万元.跟踪训练1

为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系,某地区观察了2006年到2011年的情况,得到了下面的数据：年份200620072008200920102011x/℃24.429.632.928.730.328.9y/日19611018i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi19611018(1)对变量x,y进行相关性检验；解制表.故变量y和x存在很强的线性相关关系.(2)据气象预测,该地区在2012年3月下旬平均气温为27℃,试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天.例2

在一化学反应过程中,化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关,现收集了8组观测数据列于表中：题型二可线性化的回归分析催化剂的量x/g1518212427303336化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350解根据收集的数据,作散点图(如图),根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1ec2x的周围,其中c1和c2是待定的参数.令z＝lny,则z＝lny＝lnc1＋c2x,即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝lnc1,b＝c2)的周围.由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图(如图).由散点图可观察到,变换后的样本点分布在一条直线的附近,所以可用线性回归方程来拟合.由z与x的数据表,可得线性回归方程：z＝0.848＋0.81x,所以y与x之间的非线性回归方程为y＝e0.848＋0.81x.反思与感悟

可线性化的回归分析问题,画出已知数据的散点图,选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换,作出变换后样本点的散点图,用线性回归模型拟合.跟踪训练2

电容器充电后,电压达到100V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示,现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055试求：电压U对时间t的回归方程.(提示：对公式两边取自然对数,把问题转化为线性回归分析问题)解对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt,令y＝lnU,a＝lnA,x＝t,则y＝a＋bx,得y与x的数据如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6由y＝lnU,得U＝ey,U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x,因此电压U对时间t的回归方程为U＝e4.61·e－0.313x.题型三非线性回归模型的综合应用例3

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程.解根据题干表中数据画出散点图如图所示.由图看出,样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围,于是令z＝lny.画出散点图如图所示.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z＝0.663＋0.020x,则有y＝e0.663＋0.020x.反思与感悟

根据已有的函数知识,可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围,其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换,转化为线性相关关系.跟踪训练3

在试验中得到变量y与x的数据如下表：试求y与x之间的回归方程,并预测x＝40时,y的值.x1923273135y41124109325解作散点图如图所示,从散点图可以看出,两个变量x,y不呈线性相关关系,根据学过的函数知识,样本点分布的曲线符合指数型函数y＝c1ec2x,通过对数变化把指数关系变为线性关系,令z＝lny,则z＝bx＋a(a＝lnc1,b＝c2).列表：x1923273135z1.3862.3983.1784.6915.784作散点图如图所示,从散点图可以看出,两个变量x,z呈很强的线性相关关系.由表中的数据得到线性回归方程为：z＝0.277x－3.998.所以y关于x的指数回归方程为：y＝e0.277x－3.998.所以,当x＝40时,y＝e0.277×40－3.998≈1190.347.A123412342.某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：广告费24568销售额3040605070则广告费与销售额间的相关系数为(

)A.0.819 B.0.919C.0.923 D.0.95B3.根据统计资料,我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：1234年份1996200120062011产量12.916.119.322.3根据有关专家预测,到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右,则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种(

)A.y＝ax＋b(a≠0)B.y＝ax