函数单调性的判断和证明

函数单调性习题课

（约3课时）

2021/5/91函数单调性的判断和证明2021/5/92用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1＜x2,并是某个区间上任意二值;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判断

f(x1)－f(x2)的符号:(4).作结论.①分解因式,得出因式(x1－x2②配成非负实数和。方法小结③有理化。

2021/5/93例2：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.

证明：设x1,x2是R上任意两个

实数，且x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=x13-x23

=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]

因为x1<x2，则x1-x2<0

又(x1+x2)2+x22>0

所以f(x1)-f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

所以f(x)=x3在R上是增函数.2021/5/94单调函数的运算性质：若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性则在区间D上具有以下性质：1：2：3:4：5：2021/5/95

函数单调区间的求法例4求函数f(x)=x+（k>0）在x>0上的单调性解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=(x1x2-k)因>0X12-k<x1x2-k<x22-k故x22-k≤0即x2≤时，f(x2)<f(x1)同理x1≥时，f(x2)>f(x1)总之，f(x)的增区间是，减区间是2021/5/96用定义求函数单调区间的步骤:(1).设x1＜x2,并是定义域上任意二值;(2).作差

f(x1)－f(x2);方法小结2021/5/97点评：单调区间的求法1、定义法2、图像法2021/5/98点评1、定义法2、图像法2021/5/99含参数函数的单调性的判断2021/5/9102021/5/911抽象函数单调性的判断2021/5/9122021/5/9132021/5/9142021/5/915小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。三.复合函数单调性

增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数2021/5/916小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。2021/5/917分段函数的单调性例10：已知函数，，（1）当a=0,b=2时，求f(g(x))和g(f(x))的解析式，并判断哪一个函数在其定义域上单调。（2）当a,b满足什么条件时，f(g(x))在定义域上单调。2021/5/9182021/5/9192021/5/920点评分段函数的单调性，首先判断各段函数的单调性，若每段函数的单调性一致，再判断分界点处函数值的大小关系，符合单调性的定义，则在整个定义域上是单调函数。2021/5/921函数的单调性的应用1、比较数（式）的大小2、解函数不等式3求参数的取值范围4、求函数值域（最值）2021/5/922题型一、比较大小：例1：函数f(x)在(0,+)上是减函数,求f(a2-a+1)与f()的大小。解：因为f(x)在(0,+)是减函数因为a2-a+1=(a-)2+≥>0所以f(a2-a+1)≤f()2021/5/923解（1）1（2）2/3,1/2(3)1(4)当a>0时，b≤0或当a<0时，b≥0(5)当a<0时，最大值为3-4a最小值为-1

当0<a<1时，最大值为3-4a,最小值为-a²-1当1≤a≤2时，最大值为-1，最小值为-a²-1当a>2时，最大值为-1，最小值为3-4a2021/5/924题型二、解不等式：例2：解：因为函数f(x)在定义域上是增函数2021/5/925(1)已知函数是定义在上的增函数且,解不等式(2)已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A、B、C、D、练习2021/5/9262021/5/927题型三、求参数范围：例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，求a的取值范围。解：函数f(x)图象的对称轴为x=1-a当x1-a时，函数单调递减已知函数在上是减函数

所以41-a,即-3a2021/5/928练习(1)已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、（2）已知在上是增函数，求实数a的取值范围.（3）已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。2021/5/929四、利用函数单调性确定函数的值域或最值.（1）求二次函数上的最值.(2).函数在区间[2，4]上的最大值为最小值为（3）已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（4）若函数在上为增函数，则实数的范围是.(5)求在区间上的最大值和最小值2021/5/9301.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在，使得；2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．3.如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数