拉普拉斯变换连续时间系统的域分析

拉普拉斯变换连续时间系统的域分析第一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.1 引言FT的优点在于：物理概念清楚FT不足之处:(1)只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，其分析信号的范围受到限制；(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。第二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏变换法(LT拉普拉斯Laplace)优点：将微积分方程求解问题转化为代数方程求解。进行变换时，初始条件被自动计入，无需计算从0－到0＋状态的跳变。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章的学习方法：注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。第三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.2拉普拉斯变换的定义、

收敛域一.拉氏变换的定义

——从傅氏变换到拉氏变换二．拉氏变换的收敛域三．一些典型信号的拉氏变换第四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一、从傅氏变换到拉氏变换有一些信号不满足狄里赫利条件，FT不存在：u(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，满足狄里赫利条件乘一衰减因子第五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．拉普拉斯变换定义则1．拉普拉斯正变换（LT)第六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六2．拉氏逆变换(LT－1）第七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏变换对双边拉氏变换单边拉氏变换自动包含0－条件第八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六FT:

实频率是振荡频率LT:复频率S是振荡频率，控制衰减的速度FT:LT:第九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏变换已考虑了初始条件初值，若有跳变则为证明：第十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．拉氏变换的收敛域收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域；记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件。数学描述：图形表示：第十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。第十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号第十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六4．tnu(t)第十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六常用信号的拉氏变换第十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.3拉普拉斯变换的基本

性质主要内容线性性质时域微分时域积分 延时（时域移位）s域平移（频域移位）尺度变换初值定理 终值定理卷积定理 s域微分s域积分第十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．线性性质已知则同理例题：第十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．时域微分推广：证明：零状态条件下，时域微分一次，频域乘一个s第十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六电感元件的s域模型电感元件的s模型应用时域微分性质设当iL(0－）＝0时，第十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．时域积分证明：①②②①零状态条件下，时域积分一次，频域除一个s第二十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六电容元件的s域模型电容元件的s模型当vc(0-)=0时，第二十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六四．延时（时域平移）证明：第二十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六时移特性、例题【例4-1】已知【例4-2】见书例4-5P185第二十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例求半波正弦函数的拉氏变换0T/2tf1(t)E0T/2TtE0T/2TtE0T/2Ttf(t)E？第二十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六五．s域平移(频域移位）证明：第二十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-3据频域移位性质第二十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六六．尺度变换时移和标度变换都有时:证明：见书P187第二十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六七．初值第二十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六初值定理证明由原函数微分定理可知第二十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六八．终值证明：根据初值定理证明时得到的公式第三十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六说明第三十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-4

即单位阶跃信号的初始值为1。例4-5第三十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六九．卷积定理（时域、频域）证明：第三十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六十．对s微分第三十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移第三十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值定理卷积定理初值定理第三十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.4拉普拉斯逆变换主要内容查表法部分分式展开法留数法两种特殊情况第三十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六简单函数利用典型信号的变换对及性质查表例1:一、查表法例2:第三十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六求逆变换f(t)：解：得：第三十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点(m<n)第四十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二、部分分式展开法1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重极点存在共轭极点出现在第四十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六1.第一种情况：单阶实数极点展开：公式推导第四十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六部分分式展开法

求拉氏逆变换的过程第四十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六(1)求极点(2)展成部分分式(4)逆变换(3)求系数例：求逆变换解：k2=-5，k3=6第四十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六2.第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在第四十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六求f(t)第四十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例题第四十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式公式推导3.第三种情况：有重根存在第四十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六求k12?例：求逆变换第四十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六如何求k2?第五十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六求逆变换所以：第五十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．F(s)两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式第五十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六1.非真分式——真分式＋多项式作长除法第五十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六2.含e-s的非有理式第五十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路第五十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。拉氏变换分析法拉氏分析法第五十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一、用拉氏变换法分析电路的步骤

列时域微分方程，用微分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。列s域方程（可以从两方面入手），得到时域解答。求解s域方程（代数方程）。第五十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六(1)输入信号x(t)为有始信号二、拉氏分析法（微分方程）(2)系统响应y(t),初始状态已知为：第五十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质......右边：第五十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六......左边：输入信号x(t)为有始信号第六十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六整理成A0(s)A1(s)An-2(s)An-1(s)......第六十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六系统函数第六十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏分析法（复频域分析法）解：方程两边作拉氏变换例4-5-1：求系统响应y(t)。已知第六十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六第六十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六拉氏分析法的优点1.把微分方程转化成代数方程求解。3.当已知电路时可直接由电路的s域模型求解，无需列写电路的微分方程。2.0-

到作单边拉氏变换，0-状态自动包含其中，自动引入初始条件。第六十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三、利用元件的s域模型分析电路1.各电路元件的s域模型2.电路定理的推广线性稳态电路分析的各种方法都适用。第六十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六电阻元件的s域模型电感元件的s域模型电容元件的s域模型第六十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六零状态条件下：(s)电阻电感电容第六十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六利用元件的s域模型求响应的步骤

由时域电路模型画s域等效模型；据KCL和KVL列s域方程（代数方程）；解s域方程，求响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。第六十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例列s域方程:对应的s域模型如图:第七十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六结果同例4-13，但不需要列写微分方程第七十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六小结：拉氏分析法解电路问题的方法：

由微分方程或电路求解由复频域电路模型求解第七十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.6系统函数(网络函数)H(s)系统函数H(s)LTI互联网络的系统函数并联级联反馈连接第七十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六系统函数—零状态条件下系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。1.定义：第七十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六系统函数H(s)的含义

设系统的单位冲激响应为h(t),激励为x(t),零状态响应为yzs(t)，则有：一对拉氏变换对系统时域特性h(t),频域特性H(s)从频域反映系统的特性第七十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六2.H(s)的分类策动点导纳策动点阻抗策动点函数：激励与响应在同一端口时转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口第七十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六3．H(s)的求法微分方程两端在零状态条件下取拉氏变换→利用网络的s域元件模型图，列s域方程求解。第七十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换例4-6-1第七十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-6-2列s域方程:零状态条件下，系统对应的s域模型如图如左:R第七十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六4.应用：求系统的零状态响应由H(s)判断系统的时域特性、频响特性、稳定性第八十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-6-1(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)因为所以所以第八十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联第八十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六3．LTI系统的反馈连接第八十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-6-2已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。第八十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性H(s)零、极点与h(t)波形特征H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应第八十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．H(s)零、极点与系统零极点图1．系统函数的零、极点第八十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六4-7-1画出如下系统的零极点图极点：零点：2.系统函数的零极点图在s平面上，极点：用×表示，零点：用○表示，画出的图形为H(s)的零极点图。第八十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡2.H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应第八十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二阶极点第八十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六几种典型情况图示第九十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六极点于S面左半平面h(t)呈衰减形式极点于S面右半平面h(t)呈增长形式极点于S面虚轴上h(t)等幅振荡或等值H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应关系：第九十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：系统函数：自由响应分量＋强迫响应分量响应：第九十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六结论：自由响应的响应形式由H(S)的极点决定。强迫响应的响应形式由E(S)的极点决定。H(S)和E(S)的零点只是影响响应的幅度和相位。第九十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.8由系统函数零、极点分布

决定频响特性

定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线第九十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．系统频响特性定义系统的前提：稳定的因果系统。一般有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。

时域条件：频域条件：H(s)的全部极点落在s左半平面。

系统稳定的条件：第九十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

H(S)e(t)ymm(t)第九十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六系统的稳态响应系统的稳态响应为：由(1)：在频率为ω0的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H0，相位变化φ0。由(2)：H0和φ0是系统函数H(s)在jω0处的幅值和相位。

H(S)e(t)ymm(t)同理：在频率为ω1、ω2、…ω的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，幅度被乘以系数H1、H2、…H,相位变化φ1、φ2…φ。第九十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六——系统幅频特性——系统相频特性（相移特性）理解系统频响特性意义所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。记为：

定义：第九十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六O()wjHw2w1w3wH1H2H3幅频特性：系统的频响特性由系统自身的结构决定，与激励没有关系。低通滤波器（LPF)Oφ3φ1φ2相频特性：第九十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六系统函数：H(s)，H(jω)和h(t)的关系拉氏变换对：h(t)↔H(S)傅氏变换对：h(t)↔H(jω)第一百页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．几种常见的滤波器的频响特性第一百零一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线第一百零二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六令分子中每一项令分母中每一项S平面第一百零三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六w变化时，jw沿虚轴移动时，各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定频率响应特性第一百零四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-8-1由系统函数的零、极点画出系统的频响特性。第一百零五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六频响特性分析辐频特性相频特性第一百零六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.8小结：

频响特性的定义与含义由H(s）的零、极点确定系统的频响特性

H(s）、H(jω)、h(t)的关系第一百零七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.9全通函数与最小相移函数的零、极点分布

全通网络最小相移网络非最小相移网络第一百零八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．全通网络

所谓全通是指它的幅频特性为常数，对全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。

极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像全通网络的特点：第一百零九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六频率特性幅频特性——常数相频特性——不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。

由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即

第一百一十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二．最小相移网络

●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。

ψ3ψ1θ3θ1第一百一十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．非最小相移网络非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。

非最小相移网络最小相移网络全通网络+第一百一十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六§4.10线性系统的稳定性

引言定义（BIBO）证明由H(s)的极点位置判断系统稳定性第一百一十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应h(t)、和H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。第一百一十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六一．系统的稳定性

一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足则称该系统是稳定的。式中，数学描述：第一百一十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六二、系统稳定性的判定从频域：要求H(s)的极点位于S平面左半平面h(t)绝对可积：系统稳定的充分必要条件第一百一十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六三．系统稳定性分类及判断H(s)的极点位于s左半平面H(s)的极点位于s右半平面1．稳定系统2．不稳定系统3．临界稳定系统H(s)极点位于s平面虚轴上为非零数值或等幅振荡

频域时域第一百一十七页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4-10-1当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？如图所示反馈系统，子系统的系统函数加法器输出端的信号输出信号第一百一十八页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六为使极点均在s左半平面，必须则反馈系统的系统函数为第一百一十九页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六连续时间系统稳定性判断罗斯-霍尔维兹准则（本部分内容自修）第一百二十页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是实常数。H(s)的分母多项式为第一百二十一页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。

A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai＞0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。第一百二十二页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则

(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。第一百二十三页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：第一百二十四页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

罗斯判据(罗斯准则)

指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。第一百二十五页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六

综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。第一百二十六页，共一百四十四页，编辑于2023年，星期六例4.8-2

已知三个线性连续系统的系统函数分别为判断三个系统是否为稳定系统。第一百二十七页，共一百