新教材苏教版高中数学必修第一册第5章函数概念与性质 知识点考点重点难点归纳总结

第五章函数概念与性质

5.1函数的概念和图象...................................................1

第1课时函数的概念................................................1

第2课时函数的图象................................................5

5.2函数的表示方法.....................................................9

5.3函数的单调性.......................................................16

第1课时函数的单调性.............................................16

第2课时函数的最大值、最小值....................................19

5.4函数的奇偶性.......................................................23

5.1函数的概念和图象

第1课时函数的概念

知识点1函数的概念

一般地，给定两个非空实数集合A和集如果按照某种对应关系了,

函数

对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它

的定义

对应，那么就称A-8为从集合A到集合8的一个函数

函数的

从集合A到集合B的一个函数通常记为尸Ax),

记法

函数的在函数y=/U)，xeA中，所有的*输入值)组成的集合A叫做函数

定义域y=/(x)的定义域.

若A是函数y=«r)的定义域，则对于A中的每一个M输入值),都

函数的

有一个y(输出值)与之对应,则将所有输出值y组成的集合

值域

/U),称为函数的值域

思考kJ.有人认为‘'y=/(x)”表示的是“y等于/与x的乘积”.这种看法对

吗？

［提示］不对.符号y=/(x)是是x的函数”的数学表示，应理解为x是

自变量，它是关系所施加的对象，/是对应关系.

知识点2同一函数

(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.

(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定.

(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有

指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的

集合.

思考2.定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？

［提示］不一定是，如函数)，=%,［0,1］,和［0,1］.定义域和值

域都相同，但不是同一■个函数.

考点

□类型1函数的概念

【例1】判断下列对应/是否为从集合A到集合8的函数.

(1)A=N,B=R,对于任意的xCA,x-^±\［x；

(2)A=R,B=N,对于任意的xCA,xf|x-2|；

(3)A=R,8={正实数},对任意xGA,x—2；

(4)A={1,2,3},B=R,贝1)=式2)=3,-3)=4；

(5)A=［-1,1］,B={0},对于任意的xfO.

［思路点拨］求解本题的关键是判断在对应关系/的作用下，集合A中的任

意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.

［解］(1)对于A中的元素，如x=9,y的值为y=±V^=±3,即在对应关系/

之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数.

(2)对于A中的元素》=26，在/作用下，|26一2|建8,故不能构成函数.

(3)A中元素x=0在8中没有对应元素，故不能构成函数.

(4)依题意，-1)=贝2)=3,犬3)=4,即A中的每一个元素在对应关系/之下,

在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数.

(5)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系在集合B中都有唯---个确

定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.

厂.......展现规律.......................

判断一个对应关系是否为函数的标准是什么？

［提示］(1M、3必须是非空数集.

(2)A中任何一个一元素在B中必须有元素与其对应.

(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.

总结：函数中两变量无，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不

能是“一对多”.

G类型2求函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域.

0求》尸点学

(2求*)=寸*+1+已下

［解］(1)要使yu)有意义，则有版一2>0,

•••尤，3,

即加)的定义域为(|,+8).

x+120,

(2)要使/U)有意义，则J—1且尤W2,

.2—xWO

即於)的定义域为［-1,2)U(2,+8).

厂.......应思领悟............................

求函数定义域的常用方法

(1)若是分式，则应考虑使分母不为零.

(2)若於)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

(3)若外)是指数第，则函数的定义域是使嘉运算有意义的实数集合.

(4)若大x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

(5)若外)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

门类型3求函数的值域或函数值

【例3】已知.*x)=/—4x+2.

⑴求心),火a),/a+1)的值;

(2)求火x)的值域；

(3)若g(x)=x+l,求_/(g(3))的值.

［思路点拨］(1)将x=2,a,a+1代入危)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)

再算/g(3)).

［解］(1加2)=22—4X2+2=—2,

.*a)=/—4a+2,

；(a+l)=(a+l)2—4(a+l)+2=a2—2a—l.

(2)**)=/一以+2=(%—2)2—22—2,

•.../(x)的值域为［-2,+8).

(3)g(3)=3+l=4,

-W3))=/4)=42-4X4+2=2.

［母题探究］

在例3中，g(x)=x+l,求-g(x)),g(/W).

I解17(g(x))=g(x)2—4g(x)+2=(x+1)2—4(x+1)+2=/—2%—1,

g(*x))=y(x)+1=/—4x+2+1=JT—4A-+3.

「......”成思领悟........................

1.函数值式a)就是a在对应关系/下的对应值，因此由函数关系求函数值，

只需将/U)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得.

2.求_Xg3))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则.

3.配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求

值域.

II类型4抽象函数求定义域

【例4】(1)已知函数y=/(x)的定义域为［1,4］,则/U+2)的定义域为

(2)已知函数y=^x+2)的定义域为口,4］,则./U)的定义域为.

(3)已知函数y=fix+3)的定义域为［1,4］,则/(2x)的定义域为

尝试与发现

1.在y=/U)中，儿r)的定义域指的是什么？x是什么？

［提示］/U)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量.

2.在函数y=/U+l)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？

［提示］y=*x+l)中自变量为x,其定义域指的是x的范围.

T

(l)f-l,2]⑵[3,6]⑶[2,[(1)由题知对于人犬+2)有x+2d[l,4],

故«r+2)的定义域为

(2)由题知xG[1,4],，x+2G[3,6],.•.九0的定义域是[3,6].

(3)由题知xW[l,4],..“+3£[4,7],对于/(2x)有2xW[4,7],2,1,

即式2x)的定义域为2,1.]

厂......成思领悟.............................

抽象函数的定义域

(1)已知«x)的定义域，求/(g(x))的定义域：若兀灯的定义域为出，切，则/(g(x))

中a&g(x)Wb,从中解得光的取值范围即为_Ag(x))的定义域.

(2)已知y(g(x))的定义域，求人》)的定义域：若_/(g(x))的定义域为[a,b],即

aWxWb,求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为危)的定义域.

用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：

①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么)

②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来)

第2课时函数的图象

知识点1函数的图象

将自变量的一个值r作为横坐标,相应的函数值/Uo)作为纵坐标,就得到

坐标平面上的一个点(xo,Xxo)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，

就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,/U))|x£A),即Mx,

y)H=A>),xGA},所有这些点组成的图形就是函数y=/(x)的图象.

思考1.函数的图象是否可以关于x轴对称？

[提示]不可以，如果关于X轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量X0,

有两个值和X()相对应，不符合函数的定义.

思考2.函数y=/(x),x&A的图象与直线x=/n(垂直于x轴的直线)的交点有

几个？

［提示］0或1个，具体来说，当加WA,由函数的定义，它们有唯一交点，

当miA,它们无交点.

知识点2作图'识图与用图

(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线.

(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线,

二次函数vn/+foc+cmWO)的图象是抛物线,开口方向由a值符号决定，a＞0,

图象开口囱上，。＜0时，图象开口应£,对称轴为》=二/

考点

□类型1作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象，并求函数的值域.

(l)y=3—x(园dN*且凶＜3)；

(2)y=f—2x+2(-1Wx＜2).

［解］(l)：|x|WN*且忖＜3,...定义域为{-2,-1,1,2},

二图象为直线y=3—x上的4个孤立点，如图.

r

丁---5

.—4

：•-3

!：2

t，：I\，T*-I-.I.

-2-1012«

由图象可知，值域为{5,4,2/}・

(2)y=f-2x+2=(L1)2+l(xG［-1,2)),

故函数图象为二次函数y=(x-1/+1图象上在区间［-1,2)上的部分，如图，

x=1时，y=l;x=—1时，y=5,函数的值域为［1,5］.

［母题探究］

(变条件)将例1(2)中的定义域改为［0,3),函数的图象与值域变成怎样了？

［解］图象变成函数y=(x—1)2+1在［0,3)上的部分图象，如图.

Vx=1时，y=l;x=3时，)=5..•.值域变为［1,5).

厂...•••••现规律•.......................

怎样画函数的图象？

［提示］

1.画函数的图象，需首先关注函数的定义域.定义域决定了函数的图象是

一系列点、连续的线或是其中的部分.

2.描点作图，要找出关键“点”，再连线.如一次函数的图象描出端点或

与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、

顶点，连线即得.连线时还需标注端点的虚实.

3.函数的图象能体现函数的定义域、值域.这就是数形结合思想.

口类型2函数图象的应用

【例2】已知函数«r)=—f+2x+3的图象如图所示，据图回答以下问题:

(1)比较八-2),。0),。3)的大小;

⑵求;U)在［-1,2］上的值域；

(3)求“x)与y=x的交点个数；

(4)若关于x的方程_/^)=攵在［-1,2］内仅有一个实根，求上的取值范围.

［解］(1)由题图可得八-2)=-5,次0)=3,13)=0,

.•犹一2)£穴3)50).

(2)在xC［—l,2］时，QT)=0,川)=4,犬2)=3,

•••©@[0,4].

(3)在图象上作出直线y=x的图象，如图所示，观察可得，/(》)与y=x有两

个交点.

(4)原方程可变形为：-f+2x+3=&,进而转化为函数y=~x1+2x+3,x

G[一1,2]和函数丁=女图象的交点个数问题，移动y=k易知0Wk<3或々=4时，

只有一个交点.

.•.04<3或k=4.

厂.......•成思领悟•..........................

1.函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自

变量变化而变化的趋势.

2.常借助函数图象求解以下几类问题

(1)比较函数值的大小；

(2)求函数的值域；

(3)分析两函数图象交点个数；

(4)求解不等式或参数范围.

II类型3利用图象的平移变换作函数图象

【例31用平移图象的方式作出y=2+圈的图象，并说明函数y=2+

的值域.

一1

尝试与发现

〉=2+—三的图象与的图象有怎样的关系？

X1X

［提示］两者图象完全一样，位置不同.y=2+士可以看作先向右移

X1X

动1个单位，又向上移动2个单位得到.

［解］

反思领悟

函数图象的平移变换

(1)左右平移：。>0时，y=y(x)的图象向左平移a个单位得到y=y(x+a)的图

象；a>0时，y=/(x)的图象向右平移a个单位得到y=/(x-a)的图象.

(2)上下平移：/?>0时，y=/a)的图象向上平移Zj个单位得到y=*x)+Z?的图

象；人>0时，y=/(x)的图象向下平移。个单位得到y=/(x)—/?的图象.

5.2函数的表示方法

知识点1函数的表示方法

函列表法用列表来表示两个变量之间函数关系的方法

数

的

表

解析法用笠式来表示两个变量之间函数关系的方法

示

方

法

图象法|一用圉塞来表示两个变量之间函数关系的方法

g£l.函数三种表示法的优缺点是什么？

［提示］

知识点2分段函数

⑴在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫

做分段函数.

(2)分段函数定义域是各段定义域的在集，其值域是各段值域的注集.

(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所

对应的解析式的图象.分段函数是一个函数,因此应在回二坐标系中画出各段函

数图象.

思专k2.分段函数是几个函数构成的吗？

［提示］分段函数是一个函数，而不是几个函数.

考点

□类型1求函数解析式

【例1】求下列函数的解析式.

(1)已知於)为一次函数，filx+l)+/(2x-1)=-4x+6,求於)；

(2)已知犬也+l)=x+2而，求.*x)；

(3)已知加:)为一次函数，且用㈤)=4工一1,求./U)；

(4)若/(x)+»—x)=:，求|x).

［解］(1)设«x)=ox+"(aWO),

火2x+l)=a(2x+l)+"

)="(2光-1)+6,

.*2x+1)+式2x—l)=4ox+2/?=—4x+6,

4a=—4,ci=-1,

所以“解得

2b=6,b=3,

即函数/U)的解析式为於)=-x+3.

(2)令5+1=*1)，

则也=L1,X=(f—1)2,

,•./z)=(r-l)2+2(r-l)=/2-l,

1(x21).

(3)设所求函数/(x)=Air+Z?伏#0),

F=4,

所以用(>))=/(日+与=奴履+»+b=Sx+妨+人=4无一i,则V,

kb+b=—l,

k=2,[k=~2,

解得i或L1

b=_qS=l,

所以/(x)=2x—g或«x)=—2x+1.

(4)V/(x)+2/(-x)=p①

用一x替换x得人一幻+"»=一：，②

2I31

②X2一①得37U)=_最一最==一7

厂......(JS思领悟......................

求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：已知函数4犬)的函数类型，求;(无)的解析式时，可根据类型

设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系

数即可.

(2)换元法：令1=8(%)，注明/的范围，再求出7(，)的解析式，然后用x代替

所有的，即可求出於)，一定要注意t的范围即为人力中x的范围.

(3)配凑法：已知/(g(X))的解析式，要求兀。时，可从<g(x))的解析式中拼凑

出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可.

(4)代入法：已知y=*x)的解析式求y=/(g(x))的解析式时，可直接用新自变

量g(©替换y=f(x)中的x.

(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为

倒数卜》)，./(3)，互为相反数(A—X)，式X))的函数方程，通过对称构造一个对称

方程组，解方程组即可.在构造对称方程时，一般用土或一X替换原式中的X即

可.

II类型2分段函数的求值问题

pc+1,xW—2,

【例2】已知函数/+2*，—2<x<2,

121—1,xN2.

试求人-5),X—小)，/4一I))的值.

［解］由一56（—8,-2］,-V3G（-2,2）,一|G（—8,-2］,知五一5）

=—5+1=—4,

y（一小）=（一小产+2x（-4）

=3-273.

因为/（_1）=_|+1=4

3-

—2<一1<2,

9c3

4'4"

［母题探究］

1.(变结论)本例条件不变，若犬。)=3,求实数a的值.

［解］①当。〈一2时，式。)=。+1,所以a+l=3,所以a=2>-2不合题意,

舍去.

②当一2<a<2时，a2+2a=3,

即/+2”-3=0.

所以(a—l)(a+3)=0,

所以a=1或a=~3.

因为1£(一2,2),-3^(-2,2),

所以a=\符合题意.

③当a22时，2。-1=3,所以a=2符合题意.

综合①②③，当仙)=3时，。=1或a=2.

2.本例条件不变，若於)>3,求x的取值范围.

［解］①当xW—2时，％+1>3得犬>2,

又xW—2,所以x£0.

②当一2<x<2时，f+Zt*得x>l或x<—3,

又一2<x<2,所以l<r<2.

③当x22时，2x-l>3,得x>2,

又x22,所以x>2,

综上有x的取值范围是l<x<2或x>2.

「......••延思领悟............................

1.分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现欢如))的形式时，应从

内到外依次求值.

2.已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通过解方程求出字母的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各

段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验.

，类型3分段函数的图象及应用

【例3】已知函数«x)=-f+2,g(x)=尤，令夕(x)=min伏x),g(x)}(即人尤)

和g(x)中的较小者).

(1)分别用图象法和解析式表示如)；

(2)求函数矶x)的定义域，值域.

［解］(1)在同一个坐标系中画出函数.*x),g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数9。)的定义，可得函数9。)的图象如图

②.

令一f+2=x得x=—2或x=1.

结合图②，得出s(x)的解析式为

1―f+2,xW-2,

8（x）=，x,—2<x<\,

I—f+2,

(2)由图②知,s(x)的定义域为R,-1)=1,

.,.8㈤的值域为(-8,1］,

厂.....•“反思领悟”......

分段函数图象的画法

(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不

管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别

注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝

对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.

类型4分段函数的实际应用

【例4】如图所示，已知底角为45。的等腰梯形ABC。，底边长为7cm,

腰长为2/cm,当垂直于底边3C(垂足为F)的直线/从左至右移动(与梯形A8C。

有公共点)时，直线/把梯形分成两部分，令BF=x,试写出左边部分的面积y

关于x的函数解析式，并画出大致图象.

［解］过点A,O分别作AGLBC,DH±BC,垂足分别是G,H.

因为四边形ABC。是等腰梯形，底角为45。，AB=2jcm,

所以BG=AG=DH=HC=2cm,

又BC=7cm,所以AO=G”=3cm.

(1)当点尸在BG上,即xW[0,2]时，)=%；

1-x-2

(2)当点/在G”上，即xC(2,5]时，y=:~：—X2=2x-2;

(3)当点F在HC上，即xG(5,7]时，y=S&迎杉ABFED=S样方ABC。—SRSCEF=；(7

+3)X2-g(7-x)2

=—2(X-7)2+10.

综合(1)(2)(3),得函数的解析式为

%,x£[0,2],

y=<2x~2,xG(2,5],

-1(X-7)2+10,XW(5,7].

图象如图所示.

厂.......版思领悟.............................

分段函数图象的画法

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型

来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.

(2)用分段函数解决实际问题时要注意两点

①确定好分段的标准，正确的写出分段函数的表达式;

②考虑自变量的实际意义，注意自变量的取值范围.

5.3函数的单调性

第1课时函数的单调性

知识点1单调增（减）函数的概念

设函数y=/U）的定义域为A,区间

如果对于区间/内的任意两个值汨，X2.当汨42时，都有

⑴面）＜晶）

①称y=/（x）在区间/上是增函数.

②/称为y=/W的增区间.

（2如1）＞依2）

①称y=/U）在区间/上为减函数.

②/称为y=Ax）的减区间.

思考1.增（减）函数定义中的XI、X2有什么特征？

［提示］定义中的XI、X2有以下3个特征.

（1）任意性，即“任意取XI、尤2”中“任意”二字绝不能去掉.证明时不能以

特殊代替一般.

（2）有大小，通常规定X］＜X2.

（3）属于同一个单调区间.

知识点2函数的单调性与单调区间

如果函数y=/U）在区间/上是增函数或减函数，那么称函数y="r）在区间/

上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.

思考2.函数），=（在定义域上是减函数吗？

［提示］不是，)，=:在(一8,0)上递减，在(0,+8)上也递减.但不能说y

=’在(-8,0)U(0,+8)上递减.

X

考点

类型1利用函数图象求单调区间

【例1】作出下列函数的图象，并写出单调区间.

2((X—2产，x20,

(l)y=f-4；(2)y=一;；(3)/U)=J

I4,x<0.

［解］三个函数图象如图⑴(2)(3).

(l)y=f—4的单调递减区间为(-8,0］,递增区间为［0,+°°).

2

(2)y=一二的单调增区间为(-8,0),(0,+°°),无递减区间.

(3次x)的单调增区间为(-8,0］,［2,+8),递减区间为［0,2］.

厂...•••••现规律•.......................

应用图象确定单调性的关键是什么？

［提示］应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或

“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间.但应注意端点是否在定义域内.当

函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用“和”连接.但不能用“或”

和“U”连接.

类型2函数单调性的判定与证明

【例2】证明函数_/O)=x+(在(01)上是减函数.

［证明］设X|,X2是区间(0,1)上的任意两个实数，且X1VC2,则於1)一/2)=

=3-X2）（l-£

（汨+£|一（尤2+£|=（即-%2）+=（X|—X2）+且二3

、X1xzX\X2

（XI—X2）（—1+九1X2）

X]X2

0<X\<X2<l,

.*.X1—X2<O,O<T1X2<1,贝“-1+xi%2<0,

（X1—X2）（—1+/1X2）

>0,即於1)次X2),

X\X2

••・於)=犬+(在(01)上是减函数・

厂..••••••思领悟........X

利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值：设Xl,X2是该区间内的任意两个值，且无1〃2.

(2)作差变形：作差Ari)—凡心)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手

段，转化为易判断正负的式子.

(3)定号：确定/Ui)—7(X2)的符号.

(4)结论：根据兀q)-/U2)的符号及定义判断单调性.

提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.

口类型3函数单调性的应用

【例3】已知函数次X)是定义在［-2,2］上的增函数，且/(X—2)勺U—X),则

x的取值范围为.

0,1j「.•於)是定义在［-2,2］上的增函数，且加一2)勺(1—x),

.".%—2<1—x,

.3

又於)的定义域为

—2Wx—2W2,

,V

、-2W1—xW2,

0WxW4,

,V

、一1WxW3,

3

・・・0Wx<3,综上，

「........成思领悟•...........................

1.利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y=«r）在给

定区间上是增函数，则当幻<%2时，y（Xl）勺（X2）,当X1>X2时，/（尤1）4%2）；另一方面

是逆向应用，即若y=*X）在给定区间上是增函数，则当八X1）勺（X2）时，Xi<X2,当

.*X1）之穴X2）时，X1>X2.当y=*x）在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论.

2.根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上

的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围

推出参数的范围.

第2课时函数的最大值、最小值

知识点函数的最大值与最小值

（1）函数的最大值

一般地，设y=/u）的定义域为A如果存在光使得对于任意的xea,

都有/U）W/Uo）,那么称凡的为y=/U）的最大值，记为Vmax=/Uo）.

（2）函数的最小值

一般地，设y=/u）的定义域为A.如果存在使得对于任意的XGA,

都有ZU）2/Uo）,那么称1Axo）为y=/（x）的最小值，记为ymin=/to）.

思考，函数的最值与值域是一回事吗？

［提示］不是.最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集

合中的一个元素.

考点

口类型1利用图象求函数的最值

x1,一iWxWl,

【例1】已知函数y（x）="1求的最大值、最小值.

一,X>1.

［解］作出函数yu)的图象(如图)・

由图象可知，当x=±i时，取最大值为

y(i)=A-i)=i.

当x=0时，於)取最小值为贝0)=0,

故/(x)的最大值为1,最小值为0.

反思领悟

图象法求函数最值的一般步骤

类型2利用单调性求函数的最值

【例2】已知函数人》)=昔:

(1)用函数单调性定义证明/(》)=士Y在(1,+8)上是单调减函数；

X1

Y

⑵求函数八》)=一二在区间［3,4］上的最大值与最小值.

［解］⑴证明：设Xl,X2为区间(1,+8)上的任意两个实数，且1al42,

,XlX7te-X1)

则以『)一-%2)=用一］一及一］=(汨一］)(1一］)'

因为1<¥1<X2.

所以及―Xl>0,-1>0,%2—1>0,

所以7Ul)—/(X2)>。，即爪汨)/九2).

X

故函数在(1,+8)上为单调递减函数.

X

(2)由上述(1)可知，函数凡r)=W在［3,4］上为单调递减函数，

所以在x=3时，函数段）=不、取得最大值,；

X4

在x=4时，函数取得最小值不

X1D

［母题探究］

Y

（变条件）求函数_/（》）=曰在［—4，-3］上的最值.

［解］任取Xl,X2G［—4,—3］且X1<X2,

~、XIX2（X2-X\）

则«ri）—/（X2）=r-r=

八'八'X\—\X2—1z（X［—］1V）（X2—1）

x\,尤2G1-4,—3］,

•*.xi—1<0,xi—1<0.

又X\<X2,

".X2—Xl>0,

•；穴》）一外2）>0,

二仙）如2）,

.•JU）在［-4,一3］上单调递减，

4

.,.y（x）max=y（-4）=5,

.*X）min=/（—3）=（,

43

在［―4,-3］上最大值为5，最小值为7

〔.....成思领悟••.......................

1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值.

2.函数的最值与单调性的关系

（1）若函数在闭区间［a,句上是减函数，则/（x）在［a,旬上的最大值为4a）,最

小值为胆）;

（2）若函数在闭区间侬，句上是增函数，则1x）在口，句上的最大值为人加，最

小值为4a）；

（3）求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小）

值.

G类型3二次函数的最值

【例3】求二次函数_/U)=f—2ax+2在［2,4］上的最小值.

尝试与发现

二次函数火x)的对称轴在区间［2,4］可能存在几种位置关系？

［提示］对称轴在［2,4］的左侧即a<2,在区间［2,4］内即2Wa<4,在区间［2,4］

的右侧即a>4.

［解］..•函数图象的对称轴是x=a,...当a<2时，./U)在［2,4］上是增函数，

.•g)min=/(2)=6—4a.

当。>4时，/U)在［2,4］上是减函数，

，/(x)min=A4)=18—8a.

当2W&W4时，.*x)min=*a)=2—a?.

6—4a,a<2,

2—a2,2WaW4,

{18-8a,a>4.

［母题探究］

i.在本例条件下，求的最大值.

［解］..•函数图象的对称轴是x=a,

当aW3时，Xx)max=X4)=18-8a,

当a>3时，/U)max=A2)=6—4a.

J18—8a,aW3,

/.y(X)max=］

(6—4a,a>3.

2.在本例条件下，若兀r)的最小值为2,求。的值.

6~4a,a<2,

2—a2,2WaW4,

{18—8a,a>4.

当。<2时，6—4a=2,a=1;

当2WaW4时，2一层=2,a=0(舍去)；

当a>4时，18-8a=2,a=2(舍去).

：.a的值为1.

厂.......成思领悟.........................

求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R,这时只

要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为

某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛

物线的开口方向和对称轴的位置（在区间内，在区间左侧，在区间右侧）来决定，

当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.

5.4函数的奇偶性

知识点1奇函数与偶函数的概念

（1）偶函数

一般地，设函数y=/（x）的定义域为4如果对于任意的都有一xGA,

并且外一x）=/U）,那么称函数是偶函数.

（2）奇函数

一般地，设函数y=/（x）的定义域为A,如果对于任意的xGA,者隋一xGA,

并且八一X）=—/（x）,那么称函数y=/U）是奇函数.

如果函数/U）是奇函数或偶函数,我们就说函数兀v）具有奇偶性.

周道良具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

［提示］定义域关于原点对称.

知识点2奇、偶函数的图象性质

⑴偶函数的图象关于y轴对称,图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.

⑵奇函数的图象关于原点对称,图象关于原点对称的函数一定是奇函数.

考点

□类型1函数奇偶性的判断

【例1】（1）若函数“r）的图象如图所示，则,心）为

函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）

(2)判断下列函数的奇偶性

2

w)=亩;

②/(x)="+1+ln(l—x)；

③/(x)=、4—；

④危尸奉.

［思路点拨］(1)观察图象的对称性.

(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看式外与犬一x)的关系.

(1)偶［因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数.］

(2)［解］①因为函数的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称.

22

又人一”尸亏二百寸6所以函数1x)是偶函数.

x+120,

②定义域要求＜

J-x>0,

所以一1WxV1,所以Xx)的定义域不关于原点对称,

所以/U)是非奇非偶函数.

4—feo,

③由'

,X2—4^0,

得xS{2,-2},定义域关于原点对称，且八±2)=0,

所以7U)既是奇函数又是偶函数.

1—x22。，f—iWxWl,

④由〈得〈

1|x+2|—2WO,［x#0且x#—4,

所以函数的定义域为［-1,0)U(()/］.

此时於尸售W=尸，gT,0)U(0,l］,所以人—X尸亚尸

I乙|乙人A

qi-w

+^=fx)，

所以函数人x)是奇函数.

厂......成思领悟.............................

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法

/电义城是否、

/(-工)=加)财T)

关于原点对称是否成立:

|奇函数或偶函薮］

(2)图象法

若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，

则函数为偶函数.此法多用于选择题中.

D类型2奇偶函数的图象问题

【例2】已知奇函数凡r)的定义域为［-5,5］,且在区间［0,5］上的图象如图

所示.

⑴画出在区间［-5,0］上的图象；

(2)写出使/U)<0的x的取值集合.

［解］(1)因为函数五x)是奇函数，所以y=/@)在［-5,5］上的图象关于原点对

由y=/(x)在［0,5］上的图象，可知它在［-5,0］上的图象，如图所示.

(2)由图象知，使函数值)，<0的x的取值集合为(-2,0)U(2,5).

［母题探究］

(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题.

［解］(1)如图所示.