灰兔数量专项第13节讲义

第一讲数字特性及数列相 澎湃的一天，也是这10天中学习效率最高的一天。但是“万事开头难，大家在第一天系统学习 传统解题思维，肯定会遇到各种各的希大能坚有者事破沉百二终苦心天卧偿胆三越可吴”脚实认完书给的天学任。杀量华上！日成“！在开始“10力？如果你属于自律性不强的，则需要放权给他人，请你的今天我们学习的任务是数字特性法，众所周知，数字特性法是我们很多数量秒男朋友/数一、整除特数二、奇偶性与质合 三、公约数与公倍 四、同余问性法性法七、数列及算式一、整除特1、能被常见数字整除的数字特2333+2+8+2=181831528234252427501616427501645O5562377明这个数就能被7整除。如864192，末三位划分，864︱192864-192==672 说明864192这个数可以整除7。812539662496︱624÷8=7893235682356824÷92696被11整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。如 ,间隔相加分别是8+5+2+7=22,9+6+5=20。再相减22—20=2,2÷11余2，说明这个 不能被11整除，除以11余数是22、关于整除的其他注意事284和7整除。三个连续的自然数之和（积）能被3四个连续的自然数之和是偶数，但不能被4平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9题目精【灰兔-题目一a，b正整11a+7b=132a2015A】 【参考答案】【灰兔点拨】132=11×12b11b=1111a+7=12，a=5D【灰兔-题目二】某月请了连续5天的年假，这5天的日期数字相乘为 问他最后一天年日期是：【2015黑龙江-58】A.25 B.26 C.27 D.28【参考答案】【灰兔点拨】9倍数27CD；721AB方形，面积分别为20,28和35平方厘米。问蓝色长度是多少厘米?【2015山西-53A. B. C. D.【参考答案】【灰兔点拨】本题考查几何问题，红×黄=20红×蓝=28，黄×蓝=35，可得红=4=5，蓝=7.选B=2=37。，如果每个工人发3张球票，则富余2张，如果每个工人发7张票，则缺6张，问车间领到多少张球票？【2015， 【参考答案】【灰兔点拨】解法一：总球票数-23323.53，总人数=（3+2）/（3.5-=10，总球票数=10×3+2=32张，选【灰兔-题目五】ABAB3A和B18A12B17件的1/62014A.240B.250C.270【参考答案】【灰兔点拨】1818【灰兔-题目六】两个派出所某月内共受理160起，其中甲派出所受理的中有17%是刑事，乙派出所受理的中有20%是刑事，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事？【201373】 B.60C.72【参考答案】【灰兔点拨】数字特性法，甲所受理应为100倍数，总数为160，故甲为100件，乙为60件，刑事60×80%=48.秒杀A。【实战蒙杀】根据题干刑事比例80%，而AB选项正好，A=80%B，大胆蒙杀A【实战点拨】有多少本？【2009 【灰兔-8306%53201-】 【参考答案】【灰兔点拨】694%447A。【实战点拨】94%应该约成最简47/503.57/27份。今年必然是7的倍数。但是你无法判断它是55二、奇偶性与1、奇偶奇数：不能被2偶数：能被2整除的整数（需特别注意的是：0是偶数2、奇数和偶数的运算规律3、质合质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫（质数也称素数），如、、、、、l、689、114、方法技巧及两个连续自然数之和（或差）如：a（偶数），则an（n）为奇数（偶数）（4）2或差）；2。题目精【灰-题目一】加五百制测，门绩是数其语文94分，的分外多2分且五中二的分问的理了少203国考-7】 C. 【参考答案】【灰兔解析】294BDA9语是9化也是94296学则9，题学二高错，杀。【灰兔-实战秒杀】【灰兔-题目二】367132013浙江 【参考答案】【灰兔解析】abca×b×c=10221022=2×7×732，秒B（7呢？22-1=217）【灰兔-题目三】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6所有的钢琴学员和拉丁舞学员共7643【2012A. B. C. D.【参考答案】【灰兔解析】XY5X+6Y=76，XY6Y5X2X=2，Y=11，后来4×2+11×3=41，选D。【灰兔-实战点拨】住迅识考。针血本要以“数这息为破。三、公约数与公倍1、知ababba1，最大约数是它本身。2、B如：求243624、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3)=72A（除1）B如：求24、36、9024、36、90的最大公约数是6，最小公倍数是360题目精【灰兔-题目一】有甲、乙、丙三辆车于上午8:00同时从部站出发，三辆车再次回到总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟,假设这三辆车中途不休息，请问它们下次同时到达总站将会几点？【2011年421联考-9】A.11B.1120分C.1140D.12【参考答案】【灰兔解析】40、2550数，20032011点20B。灰兔-实战点拨多学断底是最公数是大约时比迷茫，数数题独一车后到都周的数故最【灰-题目二】、、三个职参植活，个人植分为4,,6棵个植总彼相这个总至有少工204山东-5】A.37B.53C.74D.【参考答案】灰兔解析职最且个植相等么为6小倍数这三人分为1、1、1共计3选A。【灰兔-实战点拨】每隔n天，我们需要转化成周期问题，也就是每 天【灰兔实战秒杀】求出最小公倍数 【灰兔-题目三】甲、乙、丙三人从星期一开始上班，甲每工作3天就休息一天，乙每工作5天休息一天，丙每工作7天才休息一天，那么三人第一次同时休息是在星期（ 【2014A. B. C. D.【参考答案】【灰兔解析】468此求4、6、8的最小公倍数为24，上次一起休息是周日，因此再一起休息是周三。因此正确C。四、同余问基本形式：被除数=除数×商+余数（都是正整数1、定两个整数a、bm(m>1)，所得余数相同，则称整数a、bm同余，例如：2353，1853231852、考试中的四种常考形经典口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍做周期余同取余，公倍数做周期3余14余1，除以10余160+，60是、410n=01,5余4，除以6余3，除以8余1120+9120是、689=54=63=81，n=01,3余14余210余860n260是34、102=-1=-2=0-，n=12题目精【灰兔-题目一】一批战士平均分成若干小组执勤。如果每3人一组则剩2人，果每4人一组则剩3人，如果每5人一组则剩4人。这批战士至少有()人。【2011 【参考答案】【灰兔解析】324353，而且满足“差同减差”口60n-1，n=159.【实战技巧】当然本题亦可以采用代入排除法，迅速秒杀B。问“至【灰兔-题目二】一有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是51000433A. B. C. D.【参考答案】【灰兔解析】同余问题，相413121，余同取12n+1.也就是说答案-112.A。【灰兔-题目三】975243【2006 B.6 C.7 D.8【参考答案】【灰兔解析】5243形式，因此这个数可以表达为20n+7,又与除以9余7符合余同加余的形式，因此可以表达为180n+7，又是三位数，n1-5A。【灰兔-实战秒杀我们知道95、4最小公倍数为180，那么这个数表示形式为1000，n5.A五、乘方尾数尾数变化规律（n为正整数经典口诀：底数留个位，指数除4余数为0转成4题目精【灰兔-题目一 的个位数是？【山西2008-41 【参考答案】【灰兔解析】口诀转化：84+91，尾数分别6、9和尾数5，秒杀B【灰兔-题目二 的末位数字是（【2013-6 【参考答案】【灰兔解析】口诀：24尾数6，秒杀C六、不定方组奇偶性质合性整除特性、尾数法、余数特性、题目精【灰-题目一】公的6员一去餐他各自了种同食中的种且人只了份已盖饭15一，饺7一，条9一，们一60202年山东-5】 【参考答案】【灰兔解析】XYZ15X+7Y+9Z=6060315X、9Z37Y3C。】个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为（）个。【2014-46】】A1、6B2、4C3、2D.4、【参考答案】【灰兔解析】不定方程7x+4y=29，29奇数，4y偶数，7x奇数，排除BD，带入可知【灰兔-题目三】甲3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙买了4支同样的签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共用去43元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需多少元钱？【2009国考-112】A.21B.11C.10【参考答案】【灰兔解析】XYZ3X+7Y+Z=32,4X+10Y+Z=4339X+21Y+3Z=96，第二个式子乘以28X+20Y+2Z=86，两式相减得X+Y+Z=10，选择C【灰兔-实战秒杀】0XYZ则有3X+7Y+Z=32,4X+10Y+Z=43Y03X+Z=32,4X+Z=43，变成二元一次方程，解出XY【灰兔-实战点拨】在这个题目当中，我们可设签字笔、圆珠笔x、y、z，列方程可以得到，3x+7y+z=32，4x+10y+z=43x+y+z=？，但是所列方程组为32x+y+z=？这个等式，故我们只需要得到此方程组的一个特解就可以，可以令y=03x+z=32，4x+z=43。解得x=11，z=-1，x+y+z=10A七、数列及算式相（一）等差数dan=1+(-1)d等差数列求 特别注意：（2,34,53.534,25或差7aaaaa+a=+a=+=a+。题目精【灰兔-6044205山东-51】 【参考答案】【灰兔点拨】等差数列，中位数60/3=20，第三题20+4=24，秒杀C【实战点拨】利用中位数可以帮助我们迅速确定某一项的数值，进而确定其他任一项【灰兔-题目二】a21a、3、…、a、…，若an51n【江苏A205】 【参考答案】【灰兔点拨】公差=（31-21）/2=516516【灰兔-题目二】某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，986546072012-13】A.602B.623C.627【参考答案】【灰兔解析】等差数列特性，9人中位数是5，也就是第五人得分86分，5人中位数是第三名，是92，也就是第三名和第五名中间差6，公差为3，7名的中位数是第四名，第四89，89×7B。【灰兔-实战秒杀】77D.A60÷7=8,与题干9人的平B（二）等比数比列在试出难一小等数列此于比列们需要通 求 等比中项：a,b,cbacb2=ac题目精【灰兔-题目一火树银花楼七层,层层红灯倍加增（陕西2008- 【参考答案】【灰兔解析】第一层X，第四层表示为23X=8X，答案8的倍数，秒杀灰兔-实战点拨】比列和难一不接因我学技。字特【灰兔-题目二】一个细胞一小时三个，9小时可以把一个容器装满，多少时间使的细胞装到容器的1/9【2008年】A. B. C. D.【参考答案】【灰兔解析】等比数列，939391/9377C。灰兔优酷网 /u/UNjExMDgwMjg0/ 专项班学 ，自 ，严禁转播第二天计数模

天的学习和第一次训练后，心情一定无比复杂，没有第一天的澎湃，但似乎又看到了 计数模型之一、鸡兔同：鸡数=）÷；兔数=）÷。兔笼题已各分平值总量总中部的数实是平(3)））=第鸡兔同笼原理推导：现已知鸡兔共35只，脚共94列方程法：设鸡的个数为X35-X2X4×(35-X)=94，解X=2323123535×270212233535×4=1402（140-94）2=23（假设鸡得出兔，假设兔得出鸡）题目精【灰兔-例题一】某高校学生宿舍实行用电制，每个月内每度电0.5元，超过后每度电涨价60%。某寝室上月用电35度，交费22元。问每个宿舍的用电是每个月多少度？【201559】A.16B.20C.26D.【参考答案】【灰兔点拨】假设全部为额定，0.5×35=17.5（22-17.5）÷0.3=1535-15=20B【灰-例题二】村年分的俗将160肉给里110家，困庭户得3肉其家每分得1肉那该的困庭（ 户。【201】 【参考答案】【灰兔点拨】110110160-110=501250/2=25D【灰兔-例题三】510927次，每次培训均座无虚席，当月培训1290（）2010-3 【参考答案】【灰兔思路二5045人数培训，2713506060/5=121215D思路三：奇偶特性法，甲乙分别举办XY，50X+45Y=1290,1290是偶数，50X也是偶数，YXD。思路四：弃九法，50X+45Y=1290,129093,45y9050x9数为3.D【实战蒙杀】蒙杀1：C+D=27CDD。蒙杀2：D。正确。【灰兔-例题四】甲乙两人参加射击比赛，规定每中一发记5分，脱靶一发倒扣3分，两人各打了10分后，分数之和为52，甲比乙多得了16分，问甲中了多少发？【2012 【参考答案】【灰兔点拨】5216521÷2=3450-4）（5+=28发，选。【灰兔-例题五】甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用x时、yx、yA.6 B.7 C.4 D.5【参考答案】45、5y5的倍数，那么3x5x=5，y=6，甲零件为33，乙26，相差7.方法二：A(3+2)×8=40,实际59，多出192天。甲加工零件数=3×5+6×3=33乙加工零件数=2×6+7×2=26相差=33-26=7B。【实战蒙杀】5BDRP504选靠谱。计数模型之二、植树问所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系1、两端栽树，棵树比段数多1，棵树=线路总长2、一端栽树，棵树与段数相等；棵树=线路总长3、两端都不栽树，棵树=段数-1；棵树=线路总长÷株距-4、双边植树需要在1条路的基础上乘以25、封闭型植树，棵树=线路总长÷株两端植 一端植 两端都不植封闭植6、类似于“两端不植树”的还有“上楼梯问题NMM/(N-1锯木头、剪绳子N（N-1）站NMM×(N-1)米。通常植树问题有的时候会结合差值比例法或者最小公倍数1不加，............题目精【灰兔-例题一】在长581路口15米范围内最多植14【2015 【参考答案】58115*=555514+113140280棵，选D【灰兔-例题二】在一条公路的两边植树，每隔352.5115A. 【参考答案】【灰兔点拨】15152120长度120215=900.【实战秒杀】秒杀，3倍数，秒杀C900，【灰-例题三了把2008年奥办绿奥运地在强保树60042754，若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗 A、8500 B、12500 C、12596 D、13000【参考答案】【灰兔点拨】【实战秒杀】思路一：最小公倍数法：马路一边植树，20米差1棵树，现在两条马路是4个边也就是20米差4棵树前后差了396 =3150棵树总长度=3150×20=63000，按第一种每隔4米植树方式，需要树苗=63000÷4+4=15754，实际比这少2754，因此实际有=15754-2754=130004：5，路的长度不变，间隔数（即段数）5：4，差值1,13150，在第二种植树方式总数，3150×4=12600，44396，12600+4+396=13000。【灰兔-【灰兔-例题四】如图，街道XYZ在Y处拐弯，XY=1125米，YZ=855离装路灯要求XYZ处各装一盏路灯这条街道最少要安装多少盏路灯 2012-68 【参考答案】【灰兔点拨 最大公约数,（1125+855)÷45+1=45,秒杀【实战秒杀】【灰兔-例题五】搬运工人负重徒步上楼，刚开始保持匀速，用了30秒爬了两层楼（间不休息之后每多爬一层多花5，多休息10秒那么他爬到七楼一共用了多少秒 【2014年国考 【参考答案】【灰兔点拨】开始一层为15，还需要爬4层。20253035共110秒，休息3次102030计数模型之三、方阵问概念解方问中的叫行的叫列果数列都等好灰兔方阵万能思维方阵的是一个等数列，可以方阵的每一层做是一项，一层边长之差是2，每一层周长之差为8（没有任何思路时，万能思维！通杀！方阵特①方28。②每边人（或物）每层总数=[每边人数-1]×4=每边人数×4-4（4214）每边人数=每层总数÷4+1③实心方阵：总人数=每边人数④空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人数-层数）⑤取消m行、n列的方阵，人数减少=边长×（m+n）-⑥增加m行、n列的方阵，人数增加1）点维若边边的情，各点相时计了次因需再去个，是终全数；2题目精20A. D. D.【参考答案】C、【灰兔点拨】【灰-例题二】围子成个层空方阵.果外每有棋子5 D.【参考答案】【灰兔点拨】1515-×4=65648,014。4414。【灰兔-例题三】有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共6044人，则该方阵士兵总数是 D.【参考答案】【灰兔点拨】外层60，中间44，等差数列，可知一共5层。总人数【实战秒杀】数字特性法，等差数列中位数44，总数为44（11）倍数，秒杀B【灰兔-例题四】有若干人排成一个空心的41648 D.【参考答案】【灰兔点拨】法，根据空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4X，则有（X-4）×4×4=（X-16-8）×4×8，解得X=44，总数,40×4×4=640，选C计数模型之四、剪绳问一、题二、经典：2N×M+1(一根绳子连续对折N次，剪M刀，问绳子被剪成几段三：实战秒杀：据我可知。后段一是个数特情下【灰兔-例题一】被成多段【200-】 【参考答案】【灰兔点拨】对折3次，剪一刀，绳子变成【灰兔-例题二】把一根锯成5段需要8分钟，如果把同样的锯成20段需要多2007-12】 【参考答案】【灰兔点拨】重点在切口。锯成5段，则有4个切口，共需要8分钟，因此每个口需要2分钟。由此把锯成20段，有19个切口，需要时间38分。秒杀B【灰兔-6206-3】A.18 B.49 C.42 D.52【参考答案】【灰兔点拨】36【秒杀思路】最后是奇数，秒杀B计数模型之五、过河问一、题目表述为一条船只能运送N个人，现在M二 知1.MN

MN

分母分别减“1”是1nn);3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回题目精【灰兔-例题一】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5)A.7B.8C.9D.10【参考答案】【灰兔点拨】根据，过河次数=（37-1）÷（5-1）=36÷4=9次【灰兔-例题二】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟?( 【参考答案】【灰兔拨据部过要(491)(7-)=4÷6=8次七渡需往15345分钟。【灰兔-例题三】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天这只青蛙跳上5米晚3跳出?() 【参考答案】【灰兔点拨】看作“过(20-3)÷(5-3)=8.5，所以需要9计数模型之六、空瓶换一、二、经典及推导MM-11等价示例4空瓶可以换到一瓶水----4空瓶=1水+1空 3空瓶=1题目精【灰兔-例题一】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶2012年421A.10 B.11 C.8 D.9【参考答案】【灰兔点拨】由12空瓶换1瓶酒，得到等 11空瓶=1酒。则101÷11=9...2，【灰兔-例题二】喝汽水，2.3元一瓶，喝完了瓶子卖0.13元/个，问100瓶？【2011-43A.44B.46C.48D.50【参考答案】【灰兔点拨】11=2.3，1=0.131=2.17,100÷2.17=46B【灰兔-例题一“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红浙江2009-50】A.296B.298C.300D.302【参考答案】6

酒的瓶数不能是小数，因此进一位，为298(瓶)。选B第三天星期日期、、钟 一、日期1、包括月大天2、4、6、9、30备注：1、2年为28292、星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每(N+1)天”2星期推移口诀平年就是1,闰年再加1,就是2,大月要补加1,7天一循环,283、闰年判定口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰，即①年4100（20112012年②年数能被100400③平228365229全366天。平年是521天，闰年是522天1。包括月2平4整36528闰4整366294、紧邻的两日：多的，垫后；多在后，垫前看多，前后相）。解释：5445灰兔老师解读75成答题。6、解决此类问题，只用记住一句话：每过一年星期数增加1，过闰日再加1.也就是说，每过一年，星期数就在原来的基础上加1，如果这个时间段包含“2月29日”这一天，则需要1（有几229就加1。解决此类问题，同样只用记住一句话：每过一个月，星期数增加（前月总天数-28此类问题非常简单，记住口诀：星期数增加（日期之差除以7所得余数题目精【灰-精讲一】天公桌历示一前日，台的期到天正162013年山东】 【灰兔-精讲二】20082009A.星期 B.星期 C.星期 D.星期【灰兔-精讲三】AB2A市到B2014412联考-67】A.星期 B.星期 C.星期 D.星期【灰兔-精讲四根据部分节假日安排某年8月份有22个工作日，81201370】A.周一或周 B.周三或周C.周一或周 D.周四或周【灰兔-温馨提示】预习不懂，辅 【灰兔-精讲五】甲、乙、丙、丁四个人去馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在馆相遇，问下一次四个人在馆相遇是几月几号？【国考2008-59】月18 B.10月14 C.11月18 D.11月14二、问一、题型特数量关系，求他们的等。这种题统称为“问题。二、问题的主要特点是随着时间的推移，两个人 增加，且增加的数量相等，亦 差始终变随着的增加，两个人的倍数关系也会发生变化，且会变小三、问题三大必杀方程法：根据差不变或题目中的其他已知等量关系建立方程画图法或列表法：项代入排除法：灰兔万能思路：问题的是差不变，不论你贫富贵贱，肥瘦丑美你和另一个人差不变。因为时间对每个人都是公平的，珍惜每一刻题目精【灰兔-精讲一】哥哥3年后与弟弟2