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文档简介

高考大题研究课二利用导数研究函数的零点问题

题后师说利用导数确定函数零点个数的方法

题型二利用函数的零点个数求参数范围例2[2023·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)．(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点，求a的取值范围．

题后师说利用函数的零点个数求参数范围的方法

题型三与零点有关的证明例3[2023·河北邯郸模拟]已知函数f(x)＝x－alnx(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)＝xex－a(lnx＋x)，且a>e，证明：g(x)有且仅有两个零点．(e为自然对数的底数)

(2)证明：g(x)＝xex－a(lnx＋x)＝xex－aln(xex)(x>0)，令t＝xex，则t′＝(x＋1)ex>0在x>0时恒成立，所以t＝xex在x>0时单调递增，且t∈(0，＋∞)，所以g(x)＝xex－aln(xex)有两个零点等价于f(t)＝t－alnt有两个零点．因为a>e，由(1)知，f(t)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，所以f(t)min＝f(a)＝a－alna＝a(1－lna)，因为a>e，所以f(a)<0.下面证明当a>e时，f(ea)＝ea－a2>0，设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，令m(x)＝ex－2x，又m′(x)＝ex－2，当x>e时，m′(x)＝ex－2>0恒成立，所以m(x)单调递增，得h′(x)＝ex－2x>ee－2e>0，故h(x)＝ex－x2在(e，＋∞)上单调递增，得ex－x2>ee－e2>0，即f(ea)＝ea－a2>0，又因为f(1)＝1>0，所以f(t)在(1，a)，(a，ea)上各存在一个零点，所以a>e时，函数f(t)有且仅有两个零点，即当a>e时，函数g(x)有且仅有两个零点．题后师说解决证明此类问题的思路一般对条件等价转化，构造

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