高考试题--数列(含详解)

高考数学试题分类汇编—数列

一、选择题

1.(2009年广东卷文)已知等比数列｛%｝的公比为正数，且的•。9=2%2，%=1，则。产

1V2q

A.-B.——C.V2D.2

22

【答案】B

【解析】设公比为4,由已知得a“2.%q8=2(%q4)[即/=2,又因为等比数列｛%｝的公比为

।B

正数，所以q=J2,故q=歪=一产=——，选B

qV22

2.(2009广东卷理)已知等比数列｛。〃｝满足%〉0,〃=1,2,…，且牝・。2“-5=22"(〃23),

则当〃之时,a

1log2a｛+log2%+…+log?2n-\=

A.H(2/2—1)B.(〃+1)~C./D.(〃—1)，

【解析】由为・出〃.5=22〃("N3)得端=22"，4>0,则%=2〃，log?。1+10g2%+.♦・+

logo=1+3+,,,+(2/?—1)=〃~,选C.

3.(2009安徽卷文)已知为等差数列，,+■+%=13吗+.+%=99,则〜等于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】•:即初同理可得%=••公差

Q[+/+%=1053=105:%=3533・d=a4—ay=—2

。20=4+(20-4)xd=1.选B。

【答案】B

4.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列｛%｝的前〃项和为S”.若%是。3与%的等比中项，

§8=32,则%等于

A.18B.24C.60D.90

答案：C

【解析】由得(％+3d)2=(q+2d)(q+6d)得2%+3d=0,再由

得贝所以

58=8a,+yJ=322q+7d=8ijd=2,q=-3,

90

S2=10q+二d=60,.故选C

2

5.(2009湖南卷文)设S“是等差数列｛q｝的前n项和，已知々=3,&=U，则S7等于[C]

A.13B.35C.49D.63

解：S：=73+%)=7(%+《)=7(3+11)=49.故选c

7222

a=%+d=3Cl1—1

2,a-,=1+6x2=13.

+5d=ll=7

4=4d=2

n,〃7(4+%)7(1+13),c

所以S7=要——-=-------=49.故选C.

722

6.(2009福建卷理)等差数列｛4｝的前n项和为S“，且邑=6，卬=4,则公差d等于

5

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析S3=6=5(q+?)且％=。1+2d%=4.td=2.故选C

7.(2009辽宁卷文)已知｛《,｝为等差数列，且的-24=-1，％=°，则公差d=

(A)-2(B)--(C)-(D)2

22

【解析】a：—2a.i=a：i+4d—2(a3+d)=2d=—1=>d=——

2

【答案】B

8.(2009辽宁卷理)设等比数列｛4｝的前n项和为S“，若显=3,则区=

S3S6

78

(A)2(B)一(C)-(D)3

33

【解析】设公比为q,则兴="+；23=l+q3=3=q3=2

工曰S91+/+/1+2+47

J=Z==一

S,1+/1+23

【答案】B

9.(2009宁夏海南卷理)等比数列｛%｝的前n项和为s“，且4q,2a2,的成等差数列。若

。1=1,则54=

(A)7(B)8(3)15(4)16

解析：：4%,2a2，生成等差数列

4%+%=4a2,即4q+qq2=4qq,；.q2-4q+4=0,:.q=2,=15,选C.

10.(2009四川卷文)等差数列｛%｝的公差不为零，首项q=1,。2是%和生的等比中项，

则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】设公差为d，则(l+d)2=L(l+4d).：d关0,解得d=2,.*.SK)=100

11.(2009湖北卷文)设xeR,记不超过x的最大整数为[x],令｛x｝=x-[x],则｛殍!•｝,

r石+1।币+1

A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列

【答案】B

【解析】可分别求得」避「史]=巫」，[在土3=1.则等比数列性质易得三者构成等比

I2J22

数列.

12.(2009湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

13610

图I

1d916

图2

他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;

类似地，称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方

形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

【答案】C

【解析】由图形可得二角形数构成的数列通项〃〃=二5+1),同理可得正方形数构成的数列

2

通项与=〃2,则山丸=〃2(〃eN+)可排除A、D,又由优'=—(〃+1)知％必为奇数，故选

2

C.

13.(2009宁夏海南卷文)等差数列｛4｝的前n项和为S“，已知。”一+。,向-晨=0，

Sag=38,则加=

(A)38(B)20(C)10(D)9

【答案】C

【解析】因为｛可｝是等差数列，所以，区“_1+4“+1=2%,，由4,_|+册+|=0,得：2aM

2所以，又即殳二等口以)即

-am=0,am=2,S2,“T=38,1=38,(2m-l)X2

=38,解得m=10,故选.C。

14.(2009重庆卷文)设｛4｝是公差不为0的等差数列，q=2且q,%,4成等比数列，则｛q｝

的前“项和S〃=()

n27〃n25nn23n

A.-----1-----B.-----1-----C.-----1-----D.n2~+n

443324

【答案】A

解析设数列｛《,｝的公差为d,则根据题意得(2+2d)2=2•(2+5d),解得d=：或d=0

—1)1rT7n

(舍去)，所以数列｛%｝的前〃项和S“=2〃+"f、］=亍+彳

15.(2009安徽卷理)已知｛%｝为等差数列，6+43+%=105,/+%+。6=99,以S"表示｛”“｝

的前〃项和，则使得S“达到最大值的〃是

(A)21(B)20(C)19(D)18

［解析］:由％+%+%得即为得即

=1053%=105,=35,a2+a4+a6=993/=99

a>0

4=33,：.d=-2,a“=%+(〃-4)x(—2)=41—2",由！"得〃=20,选B

—<0

riJTH冗

16.(2009江西卷理)数列｛4｝的通项q=〃2(cos23--sin23-),其前〃项和为S“，则S30

为

A.470B.490C.495D.510

答案：A

【解析】由于｛cos??—sii??｝以3为周期，故

,12+22...42+52,..282+292

§c30=(------------+322)+(-------------+6~2)+…+(-----------------+30-)

222

=鬟_叱空皿at+（3.2］之印』=型型1-25=47。故选A

A=I2*=i22

17.（2009四川卷文）等差数列｛%｝的公差不为零，首项q=1,&是4和。5的等比中项，

则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】设公差为d,则（l+d）2=l.（l+4d）.•."〃（）,解得d=2,.•.SK）=100

二、填空题

1.（2009全国卷I理）设等差数列｛《,｝的前n项和为S“，若S9=72,则

a2+a4+a9=。

解：•••｛«„｝是等差数列，山S9=72，得；.S9=9%,%=8

/.4+%+%=（出+旬）+%=（%+%）+a4=3a$=24.

2.（2009浙江理）设等比数列｛4｝的公比q=,，前〃项和为S“，则邑=_________.

2a4

答案：15

【解析】对于s'='a"•.包=厂.=15

"q«4八1-4）

3.（2009浙江文）设等比数列｛凡｝的公比q=L,前〃项和为S“，则邑=_________.

2a4

【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考

查充分体现了通项公式和前〃项和的知识联系.

【解析•】对于s4=%（I-4',&=qq3,..9=｝工一=1§

1一。/。（1一。）

4.（2009浙江文）设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,则Ss-S4,Si2-Ss,46-42成

等差数列.类比以上结论有：设等比数列｛〃,｝的前〃项积为雹，则Z,,,G

式2

成等比数列.

答案：【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数

列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力

"刀246

【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列也｝的前〃项积为则乙,

7；,工元'工

成等比数列.

北京文)若数列满足：则氏=：前

5.(2009｛4“｝at=1,«„+)=2a„(neN*),8

项的和Sg=

.（用数字作答）

【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考

查.

a.—=2a.—2,a,—2a、4,a,—la-.=8,=2aA=16,

1*7Z1jN'SjJ4

28-1

易知Sg=--------=255，，应填255.

82-1

6.（2009北京理）已知数列｛4“｝满足：。4"-3=1，。4"-1=°，。2"=%，"GN*,则4009=

02014=--------------,

【答案】1,0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题目，得«2009—04x503-3=1，“2014—42*1007-%007-“4x252-1=°•

二应填1,0.

7.（2009江苏卷）设｛4｝是公比为q的等比数列，必1>1,令2=《,+1（〃=1,2,…），若数

列也｝有连续四项在集合｛-53,—23/9,37,82｝中，贝iJ6q=.

【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

｛叫有连续四项在集合｛-54,-24,18,36,81｝,四项-24,36,-54,81成等比数列，公比为

3,

q=-->6q=-9

8.（2009山东卷文）在等差数列｛%｝中,。3=7,牝=g+6,则牝=.

【解析】：设等差数列｛%｝的公差为d,则由已知得《,解得1।，所以

ai+4d="|+d+6[d=2

&=%+5d=13.

答案：13.

【命题立意】：本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

9.（2009全国卷n文）设等比数列｛%｝的前n项和为S“。若%=1,$6=4$3,则。4=_____士

答案：3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由6=1,”=4力得d=3故a4=aiq%3。

10.（2009湖北卷理）已知数列｛与｝满足：a=m（m为正整数），

''当""为偶数时'若4=1，则m所有可能的取值为

氏+t

3勺+1,当a“为奇数时。

11.【答案】4532

【解析】（1）若q=加为偶数，则幺为偶，故a3="='

222324

①当巴771仍为偶数时，171……&=△772故2/77=1=机=32

4863232

q——HlT1

②当'为奇数时，a4=3a,+1=—m+1....a,=-.....

444

—m+1

故—.....=1得m=4o

4

故％='詈必为偶数

（2）若4］二加为奇数，则的=3q+1=3团+1为偶数,

3m+1所以网上1=1可得m=5

1616

12.（2009全国卷H理）设等差数列｛%｝的前n项和为5"，若生=5%则&=9.

解：•.•｛4｝为等差数列，.•.,=符=9

13.(2009辽宁卷理)等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且6s5-5S?=5，则4=

【解析】•.,Stl=nai+gn(n—l)d

:.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d

.,.6S5-5S3=30ai+60d-(15ai+15d)=15ai+45d=15(ai+3d)=15a4

【答案】I

14.(2009宁夏海南卷理)等差数列｛2｝前n项和为S,。已知册_1+册+「。2“=0,=38)

则m=

解析：由+4川-«2„,=°得到

2生“-a；=0,a,“=0,2X5,,,,.,=⑵"D（：+—，，一）=—1）册=38:.团=10。

答案10

15.（2009陕西卷文）设等差数列｛”,｝的前n项和为s“，若％,=邑=12,则

«„=-----------------：

答案：2n

解析：由4=$3=12可得｛%｝的公差d=2,首项q=2,故易得a“=2n.

16.(2009陕西卷理)设等差数列｛4｝的前n项和为S“，若&=S3=12,则

S

hmgn=.

答案：1

LL&=12[a,+5d=12[a.=2S〃+lSn+1

解析：<=z>=>\=>5n=n(n+1)=>-y=----=>lim—7=lim----=1

53=121q+d=12\d=2nnn~〃f°n

17.（2009宁夏海南卷文）等比数列｛〃〃｝的公比q>0,已知。2=1，4+2+4+1=6%，则｛%｝

的前4项和S4=______________

【答案】—

2

【解析】由勺+2+a0M=6%得:qN+q"=6qZ,即才+…=。,q>0,解得：q

-150—2’15

=2,又〃2=1，所以，4=—»SA------------------=--O

21241-22

18.（2009湖南卷理）将正/ABC分割成〃2（〃22,n£N）个全等的小正三角形（图2,图3

分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ZABC的三遍及平行

于某边的任一直线匕的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C

处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f（n）,则有f（2）=2,f（3）=—,f（n）=

3

-^(n+l)(n+2)

6

4(。)

风b)匕('(c)

【答案】：—,—(7?—1)(/1+2)

36

【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知

Q+/?+C=1,玉+%=。+〃,必+为=〃+,，Z]+Z2=C+。

X[+々M+>2+Z]+=2(a+〃+c)=2,2g=X]+>2=工2+Z|=X+Z2

6g=X]+々+M+>2+Z[+Z2=2(a+b+c)-2

即g=§(3)=6f+/?+c4-X|+x2+y1+y24-z1+z2+g=14-—+—=—

进一步可求得/(4)=5。由上知/⑴中有三个数，/(2)中有6个数，/(3)中共有10个数

相加，/(4)中有15个数相加....，若/(〃—1)中有4一(〃>1)个数相加，可得/(〃)中有

(4一+〃+1)个数相加，且由

363+3"⑴+%⑶*"⑵+"(4)=5"(3)+1.

/(1)=1=-,/(2)

33

〃+1

可得/(〃)=/(〃一1)+，所以

3

〃+1〃+1n〃+1nn-\3『小

/(〃)=/(〃一1)+/(〃—2)+----+—----+—++-+/(!)

333333

〃+1nn-\3211(/7+1)(/2+2)

----+—+----+—+—+—=

333333O

2%+2

19.(2009重庆卷理)设%=2,%b.nwN*,则数列也｝的通项

4+1

公式瓦=

【答案】：2n+l

2+2

%+i+2%+2

【解析】由条件得%+l=22a且4=4所以数列｛b,,｝是首项

a

n+l~1

%

为4,公比为2的等比数列，则"=4-2"T=2"+I

三、解答题

1.（2009年广东卷文）（本小题满分14分）

已知点（1,；）是函数/（x）=/（a>0,且awl）的图象上一点，等比数列｛%｝的前〃项

和为了（”）—c,数列也｝也,>0）的首项为c,且前〃项和S“满足5„-S„_,=向+瓦

（n>2）.

（1）求数列｛%｝和｛a｝的通项公式；

（2）若数列｛」一｝前〃项和为7；，问，>史”的最小正整数〃是多少？

b,b.+12009

【解析】（1）Q/（l）=a=1,.-./（x）=W

।2

%=/(l)-c=§_c,a2=[/(2)-c]-[/(l)-c]

%=[/⑶-。]一[〃2)-。]=-9.

20]

又数列｛4｝成等比数列，===,所以c=l；

-27

又公比(?=%•=—,所以a“~23

QS「S,T=(底一匹)(底+匹卜疯+历(«>2)

又为>0,厩>0,卮=1；

数列{点}构成一个首相为1公差为1的等差数列，S=l+("T)xl="，S"=”2

当〃N2,〃,=S“_S“T=,2_(“_1)2=2“_]；

bn=2n-l(nGN")；

(/2)、T=--1----1---1----1-1-----TFL4---l-----=---1----1-1-------11------r-FK74-----------1-----------

"b}b2b2h3b3b&bnbn+}1x33x55x7(2n-l)x(2n+l)

+K+-

22〃-12n+1

2（2n+\）2n+l

ITn1000,.10005口,I。。。，为以।「awq

由=----->-----得">-----，满足北>-----的最小正整数为112.

2.（2009全国卷1理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

在数列｛《,｝中，q=1,«„+1=（1+-）«„+黑

n2

（I）设2=5,求数列｛a｝的通项公式

n

（II）求数列｛%｝的前〃项和S〃

分析：（I）由已知有乌以=%+1，£+1-£=]

n+ln2""+l"2"

1*

利用累差迭加即可求出数列｛"｝的通项公式：2=2-k（〃wN）

n

（II）由（I）知。”=2〃-----,

2"

S"工（2%-而）=9（2攵）-内产

k=]乙k=\k=l乙

而£（2k）=n（n+1）,又£刍是一个典型的错位相减法模型，

A=I2=12

口4H/k+2//?+2

易得=干=4_^7r：•pS“="（〃+flx）--4

评析:09年高考理科数学全国（一）试题将数列题前置，考查构造新数列和利用错位相减法求前n

项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线

教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意

识降低难度和求变的良苦用心。

3.（2009浙江文）（本题满分14分）设S,,为数列伍“｝的前n项和，S„=kn2+n,nGN",

其中火是常数.

（I）求生及a“；

（II）若对于任意的机GN*,a,„,a2m,a4l„成等比数列，求k的值.

解析：（I）当〃=l,q=S|=女+1,

22

n>2,an-Sn—S“_]=kn+n-[k（n-1）+（n-1）]-2kn-七+1（*）

经验，n=\,（*）式成立，/.an=2kn-k+1

2

(II)vam,a2m，a4m成等比数列，a2m=am.aim,

即(4左加-&+1>=(2后加一4+1)(肽加-1+1),整理得:mk(k-l)=O,

对任意的机eN*成立，左=0或%=1

4.(2009北京文)(本小题共13分)

设数列｛《,｝的通项公式为a“=p〃+q(〃eN*,P>0).数列｛〃｝定义如下：对于正整数

m,粼是使得不等式4>m成立的所有n中的最小值.

(I)若p=g,<?=一；,求4；

(H)若p=2,q=—1,求数列｛超｝的前2m项和公式；

(III)是否存在p和q,使得髭=3m+2(meN*)?如果存在，求p和q的取值范围；

如果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.

(I)由题意，a=—n——,—n——>3,得〃之■^.

23233

A-n-->3成立的所有n中的最小整数为7,即伉=7.

23

(11)由题意，得a“=2〃—1,

,774-1

对于正整数，由a>m,得〃2----.

n2

根据黑的定义可知

当m=2%一1时，bm=k(kGN*\当m=2k时，b,”=k+l(kwN*).

.•.仇+82+…+闻"=(仇+4+…+坛"-|)+92+/+,,•+%")

=(1+2+3+…+〃?)+[2+3+4+…+(〃z+l)]

=--------H---------=m2+2m.

22

(III)假设存在p和q满足条件，由不等式p〃+q2m及p>0得〃N丝二幺.

P

•••bm=3m+2(meN*),根据超的定义可知，对于任意的正整数m都有

1m-q

3om+1<----<3m+2,即—2p-q4(3p—1)〃?<—p-q对任意的正整数m都成立.

P

当3p—1>0（或3p—1<0）时，得m<-正旦（或〃女士幺），

3P-13p-l

这与上述结论矛盾！

12121

当3p—1=0,即p=1时"，得一q（0<一]一4，解得一

工存在p和q,使得bm=3m+2（加£N*）；

121

P和q的取值范围分别是

5.（2009北京理）（本小题共13分）

已知数集A=｛〃[,/，…%｝（14。1<>・,。”,〃22）具有性质2；对任意的

z,j（l<z<j</2）,《勺与巴两数中至少有一个属于A.

ai

（I）分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由;

（H）证明：6=1,且『竽…+,=%

4+。2+,,,+〃〃

（III）证明：当〃=5时，4,。2，。3，%，。5成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

4

（I）由于3x4与§均不属于数集｛1,3,4｝,...该数集不具有性质P.

由于1x2,1x3,1x6,2x3,292,±3,都属于数集｛1,2,3,6｝,

231236

・,・该数集具有性质P.

（II）A=｛%,W，…〃〃｝具有性质P，，4M〃与空中至少有一个属于A,

%

由于<的<•••<%，'a"％,%，故

从而1=%G4,，%=1.

:1=qv出<…v，**•>%，故为。〃仁4(%=2,3,・・・，〃).

由A具有性质P可知%eA仅=1,2,3,…,n).

ak

乂.<---<<••<<,

4%%q

aaaa

=a，-=a»

—=L—-=«2'-----n-\n

%an-\-〃2%

,,一〃aaa

从而—=——+・・・+。+==©+%+・・•+a,+an,

4an-Xa24

6Z.+Q,+…+Q

•­—T~7]-----------^=an-

Q[+〃2+…+%

(III)山(II)知，当X=5时，有"=%，以=%，即。5=。2。4=。〉

。4~。3

1=q<。2〈…<。5，**,。3。4>。2a4=a5，'。3〃4任人，

由A具有性质P可知幺£A.

。3

a2a4=〃；，得幺=幺£斗，且1<幺=。2，*>•—=—=»

a2a3a2a3a2

・..2=幺=2=£1=%，即％，4，。3，%，。5是首项为1，公比为4成等比数列.

a4%a,a｝

6.(2009江苏卷)(本小题满分14分)

设｛怎｝是公差不为零的等差数列，S“为其前〃项和，满足的2+%2=42+%2,57=7。

(1)求数列｛4｝的通项公式及前n项和S,,；

(2)试求所有的正整数机，使得&风也为数列｛怎｝中的项。

am+2

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分

14分。

(1)设公差为d,则a；-a；="；-a；,由性质得一3d(%+a3)=4(4+“3)，因为

7x6

dwO,所以。4+。3=0，即2%+5d=0,又由§7=7得7%+,4=7,解得

a=_5,d=2所以的通项公式为《=24一7,前月项和用=/一6冏.

⑵A=（2加-7）（2-5）,设2〃-3=人

（方法—）—2时3

则%£』（"4）（1-2）=［+§_6,所以/为8的约数

a“1+2，t

因为2是奇数,所以才可取的值为±1,

当1=1,机=2时，1+：—6=3,2X5—7=3,是数列1%}中的项；

当£=—1,m=1时，t+一一6=75,数列1%}中的最小项是一5,不符合.

所以满足条件的正整数愕=2.

（方法二）因为&&旦=（限-4）（限-2）=%+2-6+/一为数列{%}中的项，

6n+20"1+2

Q

故一2一为整数,又由⑴知:4+2为奇数，所以册+2=2m-3=±1,即加=1,2

am+2

经检验，符合题意的正整数只有团=2。

7.（2009江苏卷）（本题满分10分）

对于正整数〃N2,用7；表示关于x的•元二次方程/+2以+6=0有实数根的有序数组

（。力）的组数，其中a,6w{l,2,…,〃}（a和b可以相等）；对于随机选取的a,6w{l,2,…,〃}

（a和6可以相等），记与为关于x的一元二次方程/+2ax+b=0有实数根的概率。

（1）求却和；

（2）求证：对任意正整数”22,有%>1——%.

【解析】［必做题］本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

(1)解:因为方程/+2«+6=0有实数根，所以4=4屋-4b=。.即bW.a'.

(i)当nWaWn’时.有n’Wa'.又6€[1.2,n]，故总有bWa•.此时,a

有J-n+1种取法,6行/种取法,所以共有(n'-n+组有序数组

(a,6)满足条件；

(ii)当ISaWn-I时,满足IW6WJ的b有/个.故共有

「+/+3。…+(n-1-=Mn].2n|)组有序数组力)满足

条件.

，2.、JFl(rt-~1)Md/l'-4/♦3fl+I)

由(1)(“)可得%=(n2-n+l)n2-------*--------L=----------g------------J

.I=cQ6/-4n2*3n+1

从而=—-------T-j----------♦

non

(2)证明:我们只需证明:对于随机选取的a.6e|1.2,…,n],方程/+23+6=0无

实数根的概率I-匕<.若方程/+2ax+6=0无实数根，则

A=4a'-46<O,RPa*<6.由6Wn知a<笈.因此.满足a，<6的有序数

组(a,8)的组数小于。石，从而.方程/+2ax+6=0无实数根的概率

I-P,<所以P,>1-=r-

nJnJR

8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

等比数列｛。“｝的前n项和为5.，已知对任意的“WN+，点(〃,S“)，均在函数

y="+r(b>0且bW1,仇r均为常数)的图像t.

(1)求r的值;

(11)当b=2时，记=2(log2a“+1)(”eN+)

证明：对任意的〃eN+,不等式叱1.411……空生>〃71成立

“b2b„

解:因为对任意的〃wN+,点(〃,S“)，均在函数y=//+"b〉0且bN均为常数的图像上.

所以得S〃=A"+r,当n=l时,q=S]=/?+r,当n>2

时,%=s„-S,,^=b"+r-(b"-'+r)=bn-b"-'=(b—l)"i,又因为｛a“｝为等比数列，所以

r=—1,公比为b,a“=3—lM"T

(2)当b=2时，an=(b-l)〃i=2'-',bn=2(log,an+1)=2(log2T-'+1)=2”

+12〃+14+1h+1b„+\_3572n+l

则」一二-----，所以-V=2-4'6

b“2nb\b22n

下面用数学归纳法证明不等式"■•也已……%士1=9.2.工…生1>V^+T成立.

h1b72bn2462n

①当〃=i时，左边N，右边=/，因为」>收，所以不等式成立.

22

②假设当〃=k时不等式成立，即叱、生土!•b+1_357

k丝出■AJITT成立,则

b

A2bk2k

当〃=攵+1时，左边='+1•%+14+1%+1_3572A+12