微分几何第二章

微分几何第二章第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六第二章内容概要本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质．内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等．重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用．如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论．返回章首第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算返回章首第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-伏雷内标架设平面曲线C:r=r(s)以弧长为参数，则其切向量

a

(s)=r∙(s)是一个单位向量，即

a

(s)∙a

(s)=1．两边求导数得a

(s)⋅a∙(s)=0，所以

a

(s)垂直于

a∙(s)，这说明a∙(s)是曲线的法向量．令

b

=a∙/|a∙|，则对于每一个

s，[r(s);a

(s),b(s)]构成平面曲线C

上的一个幺正标架，我们称之为曲线C

上的伏雷内标架．返回章首第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六由导数的定义我们可知b

总是指向曲线弯曲的那一侧．Ca(s)a(s+Ds)a(s+Ds)2.1

平面曲线-b的指向返回章首第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-伏雷内公式由

b

的定义有a

∙(s)=|a∙(s)|b

(s)．令

k(s)=|a∙(s)|，则有a∙(s)=k(s)b

(s).我们把

k

(s)叫曲线C

在

r(s)处的曲率．定理.（伏雷内公式）我们有

a∙=kb

,

b∙=–ka

.以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．返回章首第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零．如果曲线方程为y=y(x)，取

x

为参数，则曲线的参数表示为

r

=(x,y(x))，其曲率为定理.设曲线C:r(t)=(x(t),y(t))，则其曲率为返回章首第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-例子例.

求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．解：椭圆可参数化为r(t)=(acost,bsint)，参数方程为x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六练习题1．求曲线y=sinx的曲率．2．求曲线x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-标准伏雷内标架前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架[r(s);a

(s),b(s)]．但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）．但我们总可以在曲线上选取一单位法向量n(s)，使

[r(s);a(s),n(s)]构成正标架，这个标架叫平面曲线的标准伏雷内标架．a

b

a

n

返回章首第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-相对曲率与伏雷内公式因

a∙//n，所以可令

a

∙(s)=kr(s)n(s)．我们称kr为曲线的相对曲率．注意：相对曲率可正可负．定理.我们有下述形式的伏雷内公式：a

∙=krn

,n∙=–kra

.返回章首第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-相对曲率计算公式如果曲线由y=y(x)给出，则相对曲率为kr=

x∙y∙∙–

y∙x∙∙；特别地，当用自然参数时，相对曲率为定理.在一般参数下，相对曲率为返回章首第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六1．求曲线x=t2,y=t3的相对曲率．2．求曲线y=2px2的相对曲率．练习题返回章首第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.1

平面曲线-在一点附近的结构设曲线C:r

=r(s)．则当

k(s)不为

0时，曲线近似于抛物线．当

k(s)=0，但

k∙(s)不为

0时，曲线近似于一条近似立方抛物线．（看证明）返回章首第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2空间曲线内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-密切平面过曲线C

上一点P

处的切线和曲线上位于

P

点附近的另一点Q

作一平面s(Q)．当

Q沿曲线趋向于P时

s(Q)的极限位置s

称为曲线C

在

P

点的密切平面．过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在P

点附近最贴近于曲线的平面．平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面．返回章首第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-密切平面方程用坐标把密切平面方程表示为：(R

–

r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.设曲线C:r

=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲线上一点，其参数是t0．设

R

=(X,Y,Z)是

P

点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：返回章首第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六例.求螺旋线r=(cost,sint,t)在点

P(1,0,0)处的密切平面方程．解：直接计算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).

在给定点P

处的参数t=0，所以有

r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.2

空间曲线-例子返回章首第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-基本向量与伏雷内标架设有空间曲线C:r=r(s)，s是弧长参数单位切向量

a=r∙单位主法向量b

=a∙/|a∙|（设

r∙∙不为零）单位副法向量g=a×b

曲线

C

的伏雷内标架[r;a

,b

,g

]CabgrO返回章首伏雷内标架第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六法密切从切CPbag主法向量和副法向量决定的平面是法平面切向量和副法向量决定的平面叫从切平面切向量和主法向量决定的平面就是密切平面2.2

空间曲线-三棱锥返回章首第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-基本向量的计算公式设

C:

r

=

r(t)

由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为

a

=

r'

/

|

r'

|

,

g

=

(r'

×

r'')

/

|

r'

×

r''

|

,

b

=

g

×a

.返回章首第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-例子例.求螺旋线r

=

(cost,

sint,

t)

在点

P(1,0,0)

处的三个基本向量．解：直接计算得r'

(t)

=

(–sint,

cost,

1),r''

(t)

=

(–cost,

–sint,

0).在给定点P

处的参数t

=

0，所以有

r'

(0)

=

(0,1,1)，r''

(0)

=

(–1,0,0)．代入上面的基本向量计算公式得

返回章首第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六练习题1．求曲线x

=

acost,

y

=

bsint,

z

=

et

在t

=

0点的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程．2．证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关．返回章首第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-曲率与挠率设

C:

r

=

r(s)

是空间曲线，称k

(s)

=

|a

∙

(s)|为曲线C

在点

r(s)

处的曲率，而

a

∙

叫曲率向量．空间曲线除了弯曲外，还有扭转．为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念．我们把

t

叫曲线的挠率，这里返回章首第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-伏雷内公式定理.（伏雷内公式）

a

∙

=

kb,

b

∙

=

–ka

+

tg,

g∙

=

–tb.返回章首第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-曲率与挠率计算公式挠率：曲率：用一般参数表示的曲率与挠率计算公式返回章首第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-曲率与挠率为零的曲线曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线．曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线．返回章首第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-曲率和挠率计算举例

解：直接计算得：

r

=

(–asinq,

acosq,

b),

r''

=

(–acosq,

–asinq,

0),

r'''=

(asinq,

–acosq,

0),|r'|

=

(a2

+

b2),

r'×r''

=

(absinq,

–abcosq,

a2),|r'×r''

|

=

(a2b2

+

a4)1/2,

(r',

r'',

r'''

)

=

a2b,

所以有k

=

a/(a2

+

b2),

t

=

b/(a2

+

b2).例：求圆柱螺旋线r

=

(acosq,

asinq,

bq)

的曲率和挠率．返回章首第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六练习题1．求曲线r(t)

=

(acosht,

asinht,

at)的曲率和挠率，这里a

>

0．2．求曲线r(t)

=

(a(3t

–

t3),

3at2,

a(3t

+

t3))的曲率和挠率，这里a

>

0．3．求a、b，使曲线r(t)

=

(acosht,

asinht,

bt)上每一点的曲率和挠率相等．返回章首第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-一般螺旋线定理.设有曲线C:r=r(s)，（假定kt≠0）则下列条件等价：

C

是一般螺线；

C

的主法向量与固定方向垂直；

C

的副法向量与固定方向成定角；

C

的曲率与挠率之比是常数．如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为一般螺线．看证明返回章首第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六证：由伏雷内公式得

r

∙∙

=

a

∙

=

kb，

r

∙∙∙

=

(kb

)

∙

=

–k

2

a

+

k

∙

b

+

k

t

g

,

r

∙∙∙∙

=

–3k

k

∙

a

+

(

k

∙∙

–

k

3

–

k

t

2

)b

+

((k

t

)

∙

+

t

k

∙

)g

.所以，(r

∙∙

,

r

∙∙∙

,

r

∙∙∙∙

)

=

k

5

(t

/

k

)

∙,由此即得结论．例.曲线

r

=

r(s)

是一般螺线的充分必要条件是(

r

∙∙,

r

∙∙∙,

r

∙∙∙∙

)

=

0．2.2

空间曲线-例子返回章首第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.2

空间曲线-曲线在一点附近的结构空间曲线在一点附近的形状（设kt

≠

0

）：在法平面上的投影