第五章点的运动学

第五章点的运动学教学要求：1、 掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法。2、 能求平面运动点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。当物体的几何尺寸和形状在运动过程中不起主要作用时，物体的运动可简化为点的运动，如空中飞行的飞机，当研究其飞行轨迹时，可将其简化为点的运动。当物体内各点的运动情况完全相同时，只需分析其中某一点的运动就够了，这样的物体也可简化为点的运动。研究点的运动具有独立的应用意义，也是研究一般物体运动的基础。本章研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的几何位置随时间的变化规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度等。§5-1矢量法矢径r——自参考系坐标原点O向动点M所作矢量矢径r随时间变化的函数。运动方程 r=r(t)以矢量表示的形式运动轨迹：矢径r的矢端曲线速度 v=dr/dt矢径r对时间的一阶导数。动点的速度矢沿轨迹的切线，并与点的运动方向一致。单位m/s加速度 a=dv/dt=d2r/dt2 速度对时间的一阶导数，矢径r对时间的二阶导数。单位m/s2§6-2直角坐标法建立一个直角坐标系，动点任意瞬时在空间的位置可用矢径表示，还可用三个直角坐标表示。直角坐标与矢径之间的关系：r(t)=xi+yj+zk运动方程：x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)轨迹方程：消去运动方程中的时间to*.*r=xi+yj+zk速度：v=dr/dt=dx/dti+dy/dtj+dz/dtk=vxi+vyj+vzkdzv=一zdt,dxdydzv=一zdt,v=一v=一xdtydt， ，xa=ai+aj+xa=ai+aj+ak,速度的大小和方向余弦：v=\Vx+Vy+Vzcos(v,i)=vx/v,cos(v,j)=vy/v,cos(v,k)=vz/v加速度:加速度的大小和方向余弦:*2+a2+a2_dv _d2x_dv _d2y_dv _d2zxdt dt2，ydtdt2，zdtdt2cos(acos(a，i)=aJa，cos(a，j)=ay/a，cos(a，k)=az/a例1、已知椭圆规机构，OC=例1、已知椭圆规机构，OC=AC=BC=l，MC=a，件切t。求：动点M的运动方程、轨迹、速度与加速度。解：1、动点 M坐标系 oxy运动方程：x=(l+a)cos中=(l+a)cos切ty=(l-a)sin中=(l-a)sin切t轨迹方程：消去运动方程中的时间t得：x12、3、(2=1 椭圆4、速度：Vx=dx/dt=-(l+a)刃sin如，Vy=dy/dt=(l-a)刃cos如,速度的大小和方向余弦：v速度的大小和方向余弦：v=:V2+V2I=①".12+a2-2alcos2①t((l-a)cos①t-(l+a)sin①tcoscos#,0=j)=、.:l2+a2—2alcos2①、.:l2+a2—2alcos2①tcos#， Icos(“，icos(“，i)=(l+a)cos①taa \!l2+a2+2alcos2wtcos(aa —(l—a)sin①t=,j)=a 12+a2+2alcos2®t5、加速度a=dv/dt=d加速度的大小和方向余弦：aK+。2*2罚2+a2+2alcos2⑪x/dt2=-(l+a)切2cos切，ay=dvy/d加速度的大小和方向余弦：aK+。2*2罚2+a2+2alcos2⑪例2、正弦机构如图所示，。曲柄OM长为r绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为w=3t+0,①为常数，已知动杆上A,B两点间的距离为b,求A和B的运动方程及B点的速度和加速度。

解，A,B两点都作直线运动。取坐标轴如图所示，则A,B两点的坐标分别为x=b+rsin甲，x=rsin甲即A,B的运动方程为x=b+rsin(①t+0),x=rsin(①t+0)B点的速度和加速度=r①cos(tot+0)=-r④=-r④2sin(tot+0)=-④2xBB周期为T周期为T，例3、如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度a=-kv,初速度为v0，求活塞的运动规律。dv7・.•a=一=-kvdt解.J空=-kftdtVov oVln—=-kt,v=ve-kto由v=空=ve-kt—fXdx=ftve-ktdtdt0 x0.V,x=X+危(1—e-kt)

§6-3自然法自然法一一利用点的运动轨迹建立孤坐标及自然轴系来描述和分析点的运动。一、弧坐标S在轨迹上任取一点为参考点，设点的一侧为正，另一侧为负，动点M在轨迹上的位置可由孤坐标确定。运动方程：s=f(t)(-)二、自然轴系ni主法线切线单位矢T一沿切线指向与弧坐标正向一致密切面一M］无限接近动点M，将M1点的切线单位矢T1移至1M点，与M点的切线单位矢T确定的平面。ni主法线法平面一与M点的切线垂直的平面主法线一密切面与法平面的交线主法线单位矢n一沿主法线，指向曲线内凹一侧。副法线一过动点垂直于切线与主法线的直线副法线单位矢b b=TXnrrArAtAsAtrrArAtAsAtdsdt速度的大小等于动点的弧坐标对时间的T阶导数的绝对值。ds dsV|—limAt项—limAt项dt是代数量，以v表示：v=dtdsdt>0时，则s值随时间增加而增大，点沿轨迹正向运动;dsdt<0时，点沿轨迹负向运动。绝对值表示速度的大小，正负号表示点沿轨迹运动的方向。dsV=VT=dtT四、点的切向和法向加速度dv dv dra————t+v—dt dt dt上式右端两项都是矢量，第一项反映速度大小的变化，第二项反映速度方向的变化。dv1、aT=dtT——切向加速度，反映速度大小的变化显然aT沿轨迹的切向，因此称切向加速度。dv dv当dtN0时，aT指向轨迹正向，当dtV0时，aT指向轨迹负向。2、an=(v2/p)n——法向加速度，反映速度方向的变化

|△T||△T|e△中v—气=出——它反映了速度方向T的变化。dTds °dTv =v2——a=dsdtds当^s—0时，△中一0,△t与t垂直，△在密切面内，指向轨迹内凹的一侧，即沿主法线的正向。d At A® 1一——=lim =lim n=一np—ds As项As ast0As p—曲率半径v2naT=dv/dt，an=v2/p，ab=0・.・an=p〃，大小：an=(v2/p)，方向：沿主法线，指向曲线内凹的一侧3、全加速度：anaT=dv/dt，an=v2/p，ab=0，所以全加速度也在密切面内，加速度沿副法线方向的分量为零。全加速度的大小：a=气驾*弋方向，与法线间夹角的正切：tg0=aT/an当aT=恒量，动点作曲线匀变速运动当aT=0，动点作曲线匀速运动。例、已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。解：列车作曲线加速运动，取孤坐标如上图。v=atv15m/sa=—= =0.125m/s2tt120s由at常数,v0=0，则1、t=0,a=0,a=a=0.125m/s22、t=120s,a=—=0.281m/s2

nRa=「a2n+"21=0.308m/s2例、已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm，求：点运动轨迹的曲率半径。解：点的速度和加速度沿x、y、z轴的投影分别为x=8cos4t,x=-32sin4ty'=-8sin4t,y=-32cos4tz=4,Z=0v=v2+v2+v2=侦80刀/s,'xyZa=xa2+a2+a2=32m/s2,Xyz.八v（*;丽）2m/sa=v=0,a=一= ,Ia=."2+a2=32m/s2,p=2.5m例、已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角甲=以+0为常值），如图所示。求用直角坐标和孤坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。由纯滚动条件OC=MC=爬=r^tx=OC—OMsin甲=r(ot—sinot)1y=OC-OM