陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答

习题与思考题二解答简述光学谐振腔的作用CO2激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985，r2=0.8。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的 &t解答1衍射损耗：、c10.610J、c10.610J1(0.7510-)210.1883108-0.188=1.7510」s输出损耗:niV2=-0.5In(0.9850.8)=0.11980.11931080.1193108510s解答2:(解答2:(1)输出损耗由腔镜反射不完全引起。初始光强为衰减为I1，则:I0在无源腔内往返一次后光强R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二•R1(2)衍射损耗:a2R2R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二•R1(2)衍射损耗:a2R2100cm0.12*3*108m/s「2.7810S8cV*108m/s

-10「6»m*2.78*10上s=4.94*106腔的菲涅耳数D24L4L4*100cm*10.6」mD2(1.5cm)21m二0.188；dC0.188*3*108m/s二1.77*10Q2二2二R2cc=2二—R2二3.15*10*利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明如下：(共焦腔的定义一一两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。)根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是尺和R2，腔长为L,根据对称共焦腔特点可知：R=R2二R=L因此，一次往返转换矩阵为

T二A]c2LR22LR2-2LT二A]c2LR22LR2-2L-Ri2L1-I1-.Ri人2LR2丿把条件R1=R2二R=L带入到转换矩阵T,得到:共轴球面腔的稳定判别式子一1::1AD:::121—(A+D)=-1 —(A+D)=1如果2 或者2 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中，因此可以断定是介稳腔(临界腔)，下面证明对称共焦腔在2近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式 T，坐标转换公式为:坐标转换公式为:其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。分别按下图3-48(a)(b)中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵图3-48图3-48习题4图(a)t=『12CR12011飞101Ca」R2(a)t=『12CR12011飞101Ca」R24L2R1R2—R1R24L24L4L2R1R2R1R2(b)t二IR2丫1lL〔ab)j01丿飞D丿A」24L4LR1D二R1R2 R22L1R1A"乂-竺-竺2R1R2 R1 R2激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成,工作物质长0.5m，其折射率为1.52.求腔长L在什么范围内是稳定腔？解答如下：设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R^-IM R2=2M Lo=0.5Mn1=1n2=1.52根据AD=1 旦AD=1 旦2R1R2 R1R2代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到:TOC\o"1-5"\h\z2L 2L丄A D=1仝 2L1M 2M 1M 2M因此，这里 L因此，这里 L应该是光程的大小（或者说是.L.L1一L0一―L1-0.5 0.51.52代入上式，得到:0.52AD八八0.52AD八八1T1.52-0.5 0.51 1.52要达到稳定腔的条件，必须是-1:1AD<1按照这个条件，得到腔的几何长度为：1.17：：J：：2.17单位是米。解答完毕。设光学谐振腔两镜面曲率半径R1=-1m，R2=1.5m，试问：腔长L在什么范围内变化时该腔为稳定腔？0(1-丄)*(1-丄)1，0(1L)*(1-2L)1R1 R2 3所以:7.R=100cm,L=40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少?7.8.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率 v0=5.85X08.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率 v0=5.85X014Hz，荧光线宽？v=6X108Hz。问可能存在几个纵模?相应的q值为多少?解：纵模间隔为："qQc3108310Hz,2L210.5n=■■-q8Av 6乂1088=2,310则可能存在的纵模数有3个，它们对应的q值分别为:145.8510 62」L q2」L qc108q+仁1950001,q—1=1949999

He-Ne激光器的中心频率v0=4.74X1014Hz，荧光线宽？v=1.5X09Hz，腔长L=1m,问可能输出的纵模数为多少？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？解:cc3108(1)输出纵模数为N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iiMq=2iL(1)输出纵模数为N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iicc3108Avq=21L=2L=^L=1.5X108/L>1.5>109则L<0.1m,腔长最长不能超过0.1m有一个谐振腔，腔长L=1m，两个反射镜中，一个全反，一个半反。半反镜反射系数r=0.99。求在1500MHz的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗)。解：(1)c c3江1083q=2他=2L= 2" =1.5>108Hz输出纵模数为1500106N=[ 'q]+1=[ 1.5108]+仁ii所以输出纵模数为11.(2)透射损耗1 1:=-—lnhd：—[(1一”)(1—r2)]=0.01/22 2 =0.005

.二L/、.c=1/0.0053108 -10-51515 5 5：v=1/2 10=2.3910Hz线宽2兀线宽求方形镜共焦腔镜面上的TEMao模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？(可以90s为参数)目甘求岀方形镜共隹腔面上TEM狈模的节线拉置这些节线是等距分布的吗？絲J3(X)-8X3-1ZX令KJX)=0匚＞禺=0,爲=Ub=T=厚％、＜3I®-Xj|=|xj-x＞|等何距分布解答2:方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为mnX,y二mnX,y二e" mnx,yeLdxdy_a_a经过博伊德一戈登变换，在通过厄密 -高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数Hx3-12使'30x,y二Hx3-12使'30x,y二0就可以求出节线的位置。由上式得到:eL C'■30x,y=C30H3■-mnx,y二CmnHXiXi=0,X2,3=32二I'，这些节线是等距的。解答完毕。试写出圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上场的分布函数v02(r,0)和v20(r,0)，并计算各节线的位置。解答：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式■-mn「J■-mn「J二Cmne兀cosmsinm(这个场对应于TEMmn，两个三角函数因子可以任意选择，但是当 m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零)Ur,申C20对于TEM20:、2L2Ur,申C20对于TEM20:、2L22宀20ssin2L0并且2r22=1■，0s ，代入上式，得到20r,=C200ssin2取余弦项，根据题中所要求的结果，取20r,二20r,二C20iCO0s22r_2_GC0scoS2就能求出镜面上节线的位置。既cos2=0=]对于TEM。2，可以做类似的分析。、•2r"Qsl、•2r"Qsl22r2"Os-C°2L0代入上式并使光波场为零，得到■-02r,:显然，只要=C022•Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即满足上式•代入上式并使光波场为零，得到■-02r,:显然，只要=C022•Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即满足上式•最后镜面上节线圆的半径分别为:ri解答完毕解:fCOSmq>[will旳卩对于TEM対模;节线处：cos2^=0或$in2卩=0

=＞严±彳，土乎或伊=0彳即节线将整圆4等分从镜面上的光斑大小来分析，当它超过镜子的线度时，这样的横模不可能存在。试估算在腔长l=3Ocm，镜面线度2a=O.2cm的He-Ne激光方形镜共焦腔中所可能出现的最高阶横模的阶次是多大？

解:2=0.6328xl0_6m解:=2.46xIO-4/nV2m+1ixi(r32.46x10"=4*07a=OJtvn=1xlO讪V2m+1ixi(r32.46x10"=4*07二）机=7J6 叫和二刃噺二7稳定双凹球面腔腔长L=1m,两个反射镜的曲率半径分别为 R仁1.5m,R2=3m，求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置。解答:_厶(局-G1(L-Rf)+(L-局) -_L)「(丄—R1)+(L-/?2)2=厶(叱-L)(R1—0(心+尺2—厶)

口一&)+(—&)"/ 4得习二飞Z2/ 4得习二飞Z2等价共焦腔腔长L'=2/=对称双凹球面腔腔长为L,反射镜的曲率半径R=2.5L，光波长为入，求镜面上的基模光斑半径。解：因为为对称球面腔，所以假设 Z1<0,Z2>0,并且z2=-z仁z,f为等价共焦腔焦距,所以

'R仁-R=R(z1)=-(Zl+f2/z1)=-(Z+f2/Z)'R2=R=R(z2)=z1f2/z仁zf2/z上二二L/2L=z2-z1=2z f=L等价共焦腔腔长L'=2f=2L。所以镜面上基模光斑半径为有一凹凸腔He-Ne激光器，腔长L=30cm，凹面镜的曲率半径R仁50cm，凸面镜的曲率半径R2=30cm.利用稳定性条件证明此腔为稳定腔。求此腔产生的基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置求此腔产生的基模高斯光束的远场发散角。(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-览)=-0.45mS一(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-览)=-0.45mS一Q=-0A5m亿一岛)*亿-禺)卜(罠一匸)(岛一 & -D=0.15/h>i=6328xl0'7J7?有一平凹腔，凹面镜曲率半径 R=5m,腔长L=1m，光波长社0.5m.求:两镜面上的基模光斑半径；基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置;基模高斯光束的远场发散角。解：⑴解：⑴f2=L(R-L)=1(5-1)=4等价共焦腔腔长L'=2f=4m， '=0.5m⑵二0.1(z/f)2 0二\L'/2二二0.56m”z1=0时，b(z1)=b0=0.56m :z2=1m时，(z2)=oJ(1/2)2=0.63m(2)腰斑半径0二'L''/2二=0.56m，束腰在z=0处，与平面镜重合。二0=2\/f二=2广0二0.564rad设计一对称光学谐振腔，腔长 L=2m,波长Q10.6呵.如选择凹面镜曲率半径R=L,试求镜面上光斑尺寸。若保持L不变，选择R>L，并使镜面上光斑尺寸®0s=0.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？解:(1)镜面光斑尺寸(此时可把它看作对称共焦腔)：(1)镜面光斑尺寸(此时可把它看作对称共焦腔)：(2)此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是 R二R2二R…L根据(3-160)式可得镜面光斑尺寸为(舍去一个与 L近似相等的解R=1.204m):1〕4二L R1〕4二L R2R-L~\ [\(R-L(2R-L)一L[R]4=2.5977[■:L(2R-L) 2(2R-2)R2丄]4=3二R:5.911m(3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2((3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2(25.911一2)=2.216m10.610-64.911-2.735mm某共焦腔Ne-Ne激光器，波长入=0.6328呵,若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm，试求共焦腔的腔长。若腔长保持不变，而波长 入=3.39口m，此时镜面上光斑尺寸为多少？解：（1）因为镜面上光斑尺寸为:所以等价共焦腔腔长I'=c2/0s当’=0.6328"m，0s=0.5mm时，20s20s=1.24m⑵当=3.39"m时,图3-49为四平面反射镜（M1〜M4）构成的环形腔，在M1和M4之间放置一个薄透镜，其焦距为f（＞0），整个腔长为L=2（2L1+L2）。（1） 确定该腔的稳定性区间。（2） 画出该腔的双球面镜等价腔，并标出腔参数。（3）若f=20cm,L仁5cm,L2=10cm, 入=514.5nm.求该腔的束腰大小，位置和谐振频率。解：(1)列出光在该戟軌很强中传输亠周期的变换矩阵:A町_「I0-■]LI LKD」J仃1」_01_由稳上性条件町得:•JO7宙此可备稳定性条件为：0<L/f<4⑵此腔可弄敦为对称球面镜腔’其光幔应位「该M价腔的中心，因此光腰位世为Ml与M2中线处°(3)L」2(2L1