数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第21课同角三角函数间基本关系式及诱导公式

第21课同角三角函数间根本关系式及诱导公式【自主学习】第21课同角三角函数间根本关系式及诱导公式(本课时对应同学用书第55~56页)自主学习回归教材1.(必修4P16例1改编)cosα=，且α∈，那么tanα=.【答案】【解析】由cosα=，α∈，得sinα=，所以tanα=.2.(必修4P23习题11改编)假设tanα=3，那么=.【答案】【解析】===.3.(必修4P20练习3改编)化简：sin2(π+α)cos(π+α)·cos(α)+1=.【答案】2【解析】原式=(sinα)2(cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.4.(必修4P21例4改编)假设cos=，那么sin的值为.【答案】【解析】sin=cos=cos=.5.(必修4P23习题17改编)sin=a，那么sinsin2+1=.【答案】a+a2【解析】sinsin2+1=sinsin2+1=sincos2+1=sin+sin2=a+a2.1.同角三角函数间的根本关系式(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.(2)商数关系：tanα=.2.诱导公式απαπ+α2παα+αα+αsin()sinαsinαsinαsinαcosαcosαcosαcosαcos()cosαcosαcosαcosαsinαsinαsinαsinαtan()tanαtanαtanαtanα////诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限.【要点导学】要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值例1(1)sinx=，求cosx与tanx的值.(2)3sinα=cosα，求的值.【思维引导】(1)结合同角三角函数关系式直接求解，但是要留意分类争论.(2)所求式是关于sinα与cosα的齐次式，假设将分式的分子、分母同除以cos2α，那么所求式用tanα表示，从而求值；也可以用tanα表示sinα，cosα，一般地，关于sinα，cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.【解答】(1)由于sinx=，所以cosx=±=±=±，当cosx=时，tanx=；当cosx=时，tanx=.(2)由于3sinα=cosα，所以tanα=，原式===.【精要点评】(1)sinx的值，利用平方关系求cosx的值时，假如x的范围没有确定，cosx的值有两种可能，在求tanx的值时，要分类争论；(2)在利用齐次式求值时，肯定要凑齐次式.【高频考点·题组强化】1.假设tanα=2，那么=.【答案】【解析】原式==.2.假设sinx=2cosx，那么sin2x+1=.【答案】【解析】由得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.3.假设cosα+2sinα=，那么tanα=.【答案】2【解析】由将①变形代入②得(sinα+2)2=0，所以sinα=，cosα=，所以tanα=2.4.tanx=2.(1)求的值；(2)求2sin2xsinxcosx+cos2x的值.【解答】(1)===.(2)2sin2xsinxcosx+cos2x===.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题例20<θ<π，且sinθ+cosθ=，求tanθ的值.【思维引导】利用sinθ+cosθ的值可以求得sinθcosθ的值，进而可以知道tanθ的值，留意到0<θ<π，因此解题时应特殊留意角θ的范围.【解答】由于sinθ+cosθ=，两边平方得1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=<0.那么sinθcosθ===，解得tanθ=或tanθ=.由于θ∈，所以sinθ>0，cosθ<0.又sinθ+cosθ=<0，所以|sinθ|<|cosθ|，所以|tanθ|<1，故tanθ=.【精要点评】此题简单出错，缘由在于留意到sinθcosθ=<0，故tanθ<0.但两解是否都满意条件，还应考虑sinθ+cosθ=<0，所以得到|sinθ|<|cosθ|，从而得解.此题还可以依据条件求sinθcosθ的值，然后再求sinθ与cosθ的值，进而求得tanθ的值.变式sinαcosα=，且<α<，那么cosαsinα的值为.【答案】【解析】由于<α<，所以cosα<sinα，所以cosαsinα<0.而(cosαsinα)2=12cosαsinα=12×=，所以cosαsinα=.利用诱导公式进行化简求值例3(1)cos(π+α)=，且<α<2π，求sin(2πα)的值；(2)=2，求tanα的值.【思维引导】将条件转化为单角的三角函数，再利用诱导公式求解.【解答】(1)由得cosα=.又由于<α<2π，所以sinα<0，所以sin(2πα)=sinα=()==.(2)==2，所以3sinα+cosα=8sinα+2cosα，所以5sinα=cosα，所以tanα=.【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时，一要留意函数名是否转变，二要留意符号是否转变.变式(2014·湖南联考)假设α是第三象限角，且tanα=2，那么=.【答案】【解析】原式==cosα，又由于tanα=2，α是第三象限角，所以易得cosα=.含相同变量的复合角与诱导公式的运用例4cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°α)+sin(α15°)的值.【思维引导】结合诱导公式把cos(15°α)与sin(α15°)用条件cos(75°+α)=分别求出.【解答】由于cos(15°α)=cos[90°(75°+α)]=sin(75°+α)，又α是第三象限角，那么sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)===.由于sin(α15°)=sin[90°+(75°+α)]=sin[90°(75°+α)]=cos(75°+α)=，所以cos(15°α)+sin(α15°)=.【精要点评】利用诱导公式时，要留意角与未知角之间的联系.变式(1)sin=a，那么cos=.(2)sin=，那么sin+cos2=.(1)【答案】a【解析】cos=cos=sin=a.(2)【答案】【解析】由于+=π，+x=π+.所以原式=sin+cos2=sin+=+=.1.α是其次象限角，sinα=，那么cosα=.【答案】2.假设sin=，那么cos=.【答案】【解析】cos=cos=sin=.3.(2015·金陵中学模拟)tan=，那么tan=.【答案】【解析】由于+=π，所以tan=tan=tan=.4.假设cosα=，那么=.

【答案】【解析】原式==cosα=.5.sinθ+cosθ=，那么sinθcosθ的值为.【答案】【解析】方法一：由于0<θ<，所以cosθ>sinθ，即sinθcosθ<0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以2sinθcosθ=，所以(sinθcosθ)2=12sinθcosθ=1=，所以sinθcosθ=.方法二：由于sinθ+cosθ=，且θ∈，所以θ+∈，sinθ+cosθ=sin=，即sin=.又cos===，所以sinθcosθ=(cosθsinθ)=cos=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第41~42页.【检测与评估】第21课同角三角函数间根本关系式及诱导公式一、填空题1．(2015·福建卷)假设sinα=，且α为第四象限角，那么tanα的值为.2．计算：tan=.3．假设sin=，且α∈，那么tanα=.4．sinαcosα=，α∈(0，π)，那么tanα=.5．假设sinθ=，cosθ=，那么m=，tanθ=.6．sin=，那么cos的值为.7．假设α是三角形的内角，且sinα+cosα=，那么tanα=.8．假设sin(πα)cos(α)=，那么sin3(π+α)+cos3(2πα)的值为.二、解答题9．关于x的方程4x22(m+1)x+m=0的两个实数根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，求实数m的值.10．函数f(α)=.(1)求f的值；(2)假设2f(π+α)=f，求+cos2α的值.11．cos=，求cossin2的值.三、选做题12．0<α<，假设cosαsinα=，求的值.【检测与评估答案】第21课同角三角函数间根本关系式及诱导公式1．【解析】由sinα=，且α为第四象限角，得cosα==，那么tanα==.2．【解析】tan=tan=tan=.3．2【解析】由于sin=，α∈，所以cosα=，sinα=，那么tanα=2.4．1【解析】由sinαcosα=，得12sinαcosα=2，所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=0，所以sinα=cosα，所以tanα=1．5．0或8或【解析】由+=1，得4m232m=0，解得m=0或8．当m=0时，sinθ=，cosθ=，tanθ=；当m=8时，sinθ=，cosθ=，tanθ=.6．【解析】cos=cos=sin=.7．【解析】由sinα+cosα=，及sin2α+cos2α=1，得25sin2α5sinα12=0.由于α是三角形的内角，所以sinα=，cosα=，tanα=.8．【解析】由题知sinαcosα=，两边平方得12sinαcosα=，所以sinαcosα=，所以sin3(π+α)+cos3(2πα)=sin3α+cos3α=(sinαcosα)·(sin2α+sinαcosα+cos2α)=·=.9．设直角三角形的两个锐角分别为α，β，那么有α+β=，所以cosα=sinβ.在方程4x22(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)24·4m=4(m1)2≥0，所以方程恒有两个实数根.又由于cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβ·cosβ=，所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.当m=时，经检验满意题意；当m=时，cosα+cosβ=<0，这与α，β为锐角冲突，应舍去.综上，m=.10．(1)f(α)==cosα，所以f=cos=cos=cos=.(2)2f(π+α)=2cos(π+α)=2cosα，f=cos=sinα，所以2cos