【2022届高考数学一轮复习】《向量的数量积》

第3讲向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．-1-基础自查90°非零0°180°-1-|b|cosθcosθ|a|·|b|·cosθ0|a|cosθ|b|cosθ正数负数0-1-b·a

λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝0-1-联动思考想一想：若a·b＝a·c(a≠0)，能否得出b＝c?答案：不能，由a·b＝a·c⇒a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)，b－c可能为零向量，也可能不是零向量，故得不出b＝c.联动体验-1--1-4．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是________．①若a·b＝0，则a＝0或b＝0

②若λa＝0，则λ＝0或a＝0③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

④若a·b＝a·c，则b＝c

解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.③中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.

答案：②5．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值是__________．解析：∵2a－b＝(4,2)－(3，x)＝(1,2－x)，又∵(2a－b)⊥b，∴3＋x(2－x)＝0，∴x2－2x－3＝0.解得x＝－1或3.

答案：－1或3-1-考向一向量的数量积

-1-反思感悟：善于总结，养成习惯向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．-1-考向二向量的模、夹角-1--1--1--1--1-考向三向量的垂直-1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线的向量表示．迁移发散-1-课堂总结感悟提升1．平面向量a与b的数量积|a|·|b|·cosθ，它是一个实数，而不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．向量数量积a·b与实数a、b乘积a·b不同，由a·b＝0，并不能得出a＝0或b＝0，因为两非零向量夹角为90°时，数量积也为0.3．向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，在(a·b)·c与a·(b·c)中，由于

a·b与b·c都是一个实数，设a·b＝λ1，b·c＝λ2，则(a·b)·c＝λ1c，a·(b·c)＝

λ2a，它们分别是与c共线和与a共线的向量，由于a与c不一定共线，那么λ1c与

λ2a的方向不一定相同，故一般情况下，(a·b)·c≠a·(b·c)．4．数量积的消去律不成立，即a·b＝c·b不一定得到a＝c.5．可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用．6．利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，若易建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标表示，则可以减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算.

-1-问题症结在数学学习中，如果学生只局限于死记一些结论而不注意强调使结论成立的条件，往往会导致谬误，通过高考阅卷可以看出并不是所有的考生都能做到这一点．案例设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.错因剖析两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易忽视所成角为π时并不是钝角，导致所求的结果范围扩大．学生抽样纠错笔记赏析感悟解题时考虑