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文档简介
第3讲向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.-1-基础自查90°非零0°180°-1-|b|cosθcosθ|a|·|b|·cosθ0|a|cosθ|b|cosθ正数负数0-1-b·a
λ(a·b)a·(λb)a·c+b·c
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0-1-联动思考想一想:若a·b=a·c(a≠0),能否得出b=c?答案:不能,由a·b=a·c⇒a·(b-c)=0,则a⊥(b-c),b-c可能为零向量,也可能不是零向量,故得不出b=c.联动体验-1--1-4.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是________.①若a·b=0,则a=0或b=0
②若λa=0,则λ=0或a=0③若a2=b2,则a=b或a=-b
④若a·b=a·c,则b=c
解析:①中若a⊥b,则有a·b=0,不一定有a=0,b=0.③中当|a|=|b|时,a2=b2,此时不一定有a=b或a=-b.④中当a=0时,a·b=a·c,不一定有b=c.
答案:②5.已知a=(2,1),b=(3,x),若(2a-b)⊥b,则x的值是__________.解析:∵2a-b=(4,2)-(3,x)=(1,2-x),又∵(2a-b)⊥b,∴3+x(2-x)=0,∴x2-2x-3=0.解得x=-1或3.
答案:-1或3-1-考向一向量的数量积
-1-反思感悟:善于总结,养成习惯向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式a·b=|a|·|b|cosθ来计算,二是利用a·b=x1x2+y1y2来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.-1-考向二向量的模、夹角-1--1--1--1--1-考向三向量的垂直-1-反思感悟:善于总结,养成习惯1.非零向量a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.2.当向量a与b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线的向量表示.迁移发散-1-课堂总结感悟提升1.平面向量a与b的数量积|a|·|b|·cosθ,它是一个实数,而不是向量,它的值等于两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,其中θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2.向量数量积a·b与实数a、b乘积a·b不同,由a·b=0,并不能得出a=0或b=0,因为两非零向量夹角为90°时,数量积也为0.3.向量的数量积不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c),在(a·b)·c与a·(b·c)中,由于
a·b与b·c都是一个实数,设a·b=λ1,b·c=λ2,则(a·b)·c=λ1c,a·(b·c)=
λ2a,它们分别是与c共线和与a共线的向量,由于a与c不一定共线,那么λ1c与
λ2a的方向不一定相同,故一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).4.数量积的消去律不成立,即a·b=c·b不一定得到a=c.5.可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题,但要注意两种公式的灵活运用.6.利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题,若易建立适当的坐标系,得到简单的向量坐标表示,则可以减少运算量,实现了平面几何问题转化为数量的运算.
-1-问题症结在数学学习中,如果学生只局限于死记一些结论而不注意强调使结论成立的条件,往往会导致谬误,通过高考阅卷可以看出并不是所有的考生都能做到这一点.案例设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.错因剖析两个向量所成角的范围是[0,π],两个向量所成的角为钝角,容易忽视所成角为π时并不是钝角,导致所求的结果范围扩大.学生抽样纠错笔记赏析感悟解题时考虑
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