2022优化方案高考理科数学总复习（江苏专用）正弦定理和余弦定理的应用举例

第七节正弦定理和余弦定理的应用举例第七节正弦定理和余弦定理的应用举例考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线_____的角叫俯角(如图①)．上方下方2．方位角：从正___方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．思考感悟1．仰角、俯角、方位角有何区别？提示：三者的参照位置不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．北3．方向角：相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．思考感悟2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可惟一确定一点的位置．4．坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．课前热身1．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的________．答案：南偏东30°2．(2011年无锡质检)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于________．答案：130°3．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是________m.答案：20(1＋)4.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为________．答案：14海里/小时考点探究·挑战高考考点突破考点一测量距离对于不可抵达的两地之间距离的测量问题(如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等)，解决的思路是建立三角形模型，转化为解三角形问题．一般根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解，解题时应认真审题，结合图形去选择定理．例1 (2009年高考辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，

≈1.414，

≈2.449)．【思路分析】【名师点评】求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例题中的CD)．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．考点二测量高度测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度．这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．例2

测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.【思路分析】在△BCD中，求得CB，在△ACB中，求出AB.【名师点评】例2有两处易错点：(1)图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．考点三测量角度解决有关海上或空中测量角度的问题(如确定目标的方位、观察某一建筑物的视角等)的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量等．例3 (2010年高考福建卷节选)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．【思路分析】

(1)满足△AOC为直角三角形时最小；(2)利用余弦定理构造v关于t的函数．【名师点评】首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．互动探究本例条件不变，问是否存在v，使得小艇以v海里/时的航行速度行驶时，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．方法感悟方法技巧解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡角、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．失误防范在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的江苏高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查．如2010年高考江苏、陕西、福建卷都考查了本节内容．预测2012年江苏高考仍将以利用正弦、余弦定理，解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点，重点考查应用所学知识解决实际问题的能力．规范解答例(本题满分14分)(2010年高考陕西卷)【名师点评】本题考查了利用正、余弦定理解实际应用题，难度较小，但考生做得极不理想，其原因是平时做的这一类题太少．考生失分点是：一是对方位角的概念不清，二是BD的长度计算出错，三是不能利用△ABD求BD.名师预测1.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．答案：0.6