带有等式约束的最优化问题及其经济学应用

带有等式约束的最优化问题及其经济学应用第一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.1

带有等式约束的函数求

极值的必要和充分条件一、二元函数带等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题第二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义MNMNyyxxOOvuvu第三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数1.一元拟凹函数和拟凸函数的定义对于一元函数y=f(x)的定义域（凸集）中的任意点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)。如果对于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，则称f

为拟凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，则称f

为拟凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称f

为严格拟凹的或严格拟凸的。第四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.多元拟凹函数和拟凸函数的定义设F

是定义在凸集U

Rn

上的n

元函数，如果对于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F拟凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F拟凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称F

为严格拟凹的或严格拟凸的。第五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数二、可微函数拟凹和拟凸性判断1.一阶微分判别准则对于一元可微函数f(x)，任取其定义域内两个不同的点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)，则：f(x)拟凹的充要条件为f'(u)(v–u)≥0f(x)拟凸的充要条件为f'(v)(v–u)≥0当≥

变为>时，即严格拟凹或拟凸。第六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数对于多元可微函数F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函数F(x)定义域内两个不同的点u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假设F(v)≥

F(u)。F(x)拟凹的充要条件为uF(x)拟凸的充要条件为v

其中：，。uxx=uvxx=v第七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.二阶微分判别准则设F

是定义在开凸集U

Rn

上的二阶可微函数，令：第八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数

F

是拟凹的必要条件为(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

拟凹的充分条件为(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是拟凸的必要条件为∣Ck(x)∣≤

0拟凸的充分条件为∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，对于严格拟凹和严格拟凸成立。第九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质1.若f(x)为拟凹函数，则–f(x)为拟凸函数；若f(x)为拟凸函数，则–f(x)为拟凹函数。2.任意的凹（凸）函数均为拟凹（拟凸）函数，但反之不一定成立。3.若f(x)为线性函数，则它既是拟凹又是拟凸的。第十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数4.对于任意常数k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}为凸集，则f(x)是拟凹函数；若S={x∣f(x)≤

k}为凸集，则f(x)是拟凸函数。证明：f(x,y)=xy（x>0,y>0）为拟凹函数。第十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.2

拟凹函数与拟凸函数四、拟凹函数和拟凸函数的最优化maxz=f(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)=ci，i=1,2,…,m假设(x1*,x2*,…,xn*)满足等式约束极值的一阶充分条件，若z

是严格拟凹函数且约束集为凸集，则z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目标函数的整体最大值；若z

是严格拟凸函数且约束集为凸集，则z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目标函数的整体最小值。第十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析一、均衡解的比较静态分析maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——内生变量

a=(a1,a2,…,am)——外生变量等式约束最优化问题的比较静态分析就是分析均衡解x*的各个分量x1*,x2*,…,xn*关于ai

的偏导数。考虑等式约束的最优化问题：第十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析

如何分析呢？

——假设二阶充分条件得到满足首先，建立Lagrange

函数：L=f(x,a)+λg(x,a)然后，求其一阶必要条件：……第十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析假定隐函数定理成立，求解上述方程组可得均衡解：x1*=x1*(a)，……，xn*=xn*(a)，λ*=λ*(a)将这些均衡解代回上述一阶必要条件方程组，有：……第十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析对上面这个方程组中的每一个式子对ai

求偏导数。我们以第一个式子为例，利用链式求导法则有：第十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析上式可整理为：简写为：第十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析同样道理，方程组中其他式子对ai

求偏导数，有：……第十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析写成矩阵的形式，有：第十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析假定二阶充分条件得到满足，那么，系数矩阵的行列式不等于0

（记为或）。于是，根据克莱姆法则，可解得：第二十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析二、最优值函数的比较静态分析考虑等式约束的最优化问题maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——内生变量

a=(a1,a2,…,am)——外生变量第二十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析→关于最优值函数的比较静态分析问题，可以采用传统的方法来解决，即：

首先，构造Lagrange

函数，利用一阶必要条件和二阶充分条件，求解出均衡解x*然后，将x*代入目标函数，得最优值函数f[x*(a);a)]最后，计算∂f[x*(a);a)]/∂ai

。→也可以用包络定理。第二十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析

前述带有等式约束的最优化问题的包络定理：最优化问题的Lagrange

函数为L=f(x,a)+λg(x,a)

则有：——包络定理。x*,λ*axa第二十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析

包络定理的证明：最优化问题的一阶必要条件为：可求解出：xi*=xi*(a)，λ*=λ*(a)。将xi*和λ*代入到目标函数，可得最优值函数：V(a)=f[x*(a);a)]第二十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析对上述最优值函数两端对ai

求偏导，有：a又由于（前证），两边乘以λ第二十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析两式相加，可得：a由前面一阶必要条件可知：0，所以：axa得证。第二十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六举两个例子：包络定理1.效用函数maxU=x10.25x20.25s.t.

P1x1+P2x2=10试分析两商品价格P1和P2变化对总效用的影响。2.记w1*=[x1*(a),y1*(a),z1*(a)]和w2*=[x2*(a),y2*(a),z2*(a)]为极大值（或极小值）问题：max(ormin)f(x,y,z)=x+y+a3zs.t.

x2+a2y2+z2=a1第二十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六举两个例子（续）：包络定理（接第2题）的均衡解。对应的Lagrange

乘子分别为λ1*(a)和λ2*(a)，对应的最优值分别为f1*(a)和f2*(a)。⑴求f1*(a)和f2*(a)在a=(3,1,1)处关于a1、a2、a3

的偏导数；⑵当目标函数变为f(x,y,z)=x+y+1.03z、等式约束变为x2+1.02y2+z2=3.01时，极大化和极小化问题目标函数的最优值的改变量分别为多少？新的极大化和极小化问题目标函数的最优值分别为？第二十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析三、Lagrange

乘子的经济学意义在等式约束的最优化问题中：maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=b其中：x=(x1,x2,…,xn)，a=(a1,a2,…,am)和b外生。

Lagrange

函数为：L=f(x,a)+λ[b–g(x,a)]。根据包络定理，有：axax*,λ*第二十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.3

极值问题的比较静态分析即：λ*——表示约束条件右端变动引起目标函数最优值的变化情况。假设b增加一个单位，约束变松，从而目标函数的最优值会增加，增加的部分（λ*）就是单位b

的价值——在经济学上，称为资源的边际价值；或称为资源的影子价格。它反映了系统内部资源的紧缺程度（与外部市场因素无关），λ*

越大，说明这种资源越是相对紧缺，反之则说明这种资源相对不紧缺。（特例说明）第三十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题一、效用极大化问题的静态分析令消费者对两种商品x

和y

的消费量均大于0，且是在竞争市场上以Px

和Py

的恒定价格购得，消费者货币收入为M。在消费者偏好具有非饱和性的假设下，消费者会将所有的收入用来购买x

和y。在既定收入水平下的效用极大化模型为：maxU=U(x,y)s.t.

Px·

x+Py·

y=M第三十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题构建上述效用极大化问题的Lagrange

函数为：

L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·

x–Py·

y)一阶必要条件为：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0第三十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题由前两个方程可推出：所以，一阶必要条件实际上是要求在预算约束下满足上式。为使效用最大化，消费者必须分配其预算，以使每一物品的边际效用与价格之比相等。按照无差异曲线的概念，可对这一阶必要条件进行几何解释。在一条无差异曲线上必然有：

dU=U’x

dx+U’y

dy=0第三十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题整理可得，这是无差异曲线切线的斜率；另外，预算线是一条直线，其斜率为；由于，因此，若使效用最大化，消费者必须对其预算进行分配，使预算线的斜率等于无差异曲线切线的斜率，即预算线与无差异曲线相切，满足一阶必要条件。第三十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题xyOE斜率=斜率=第三十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题对效用极大化问题的充分条件的几何解释：由一阶必要条件，可求得均衡解(x*,y*)

[驻点]；进一步，二阶充分条件判断的海赛加边行列式为：若>0，则驻点(x*,y*)

必然是极大值点。第三十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题对于无差异曲线来讲，在满足一阶必要条件的基础上，若使其达到极大值，必须满足二阶充分条件大于0，即：d2y/dx2>0。由前面的分析可知，，所以：第三十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题由于无差异曲线本身就是y

关于x

的函数，因此：，其中，dy/dx

是无差异曲线切线的斜率。根据前面的分析可知，若使效用极大化，无差异曲线切线的斜率等于预算线斜率，即：dy/dx=–Px/Py

。于是：，第三十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题将其代入到前述二阶导数式，有：又由于，所以，于是：第三十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题显然，当>0时，d2y/dx2>0，可知，无差异曲线在切点处严格凸。值得注意的是，无差异曲线严格凸性的实质并非效用极大化的必要条件。具体而言，即使无差异曲线为非严格凸的（右图），在最大值处尽管有d2y/dx2=0，但效用仍可能最大化。E1E2E3第四十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题在效用函数一阶必要条件和二阶充分条件的基础上，我们就可推导得到两种商品的需求函数。由前面的分析可知，效用最大化的一阶条件：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0事实上，一阶必要条件方程组的一阶偏导数所构成的雅可比行列式即为二阶充分条件的海赛加边行列式。第四十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题根据隐函数定理，如果雅可比行列式≠0，则方程组可求解。由前面的分析可知，二阶充分条件确保了海赛加边行列式≠0，因此，可利用克莱姆法则求解一阶必要条件的方程组，其解为：

x*=x*(Px,Py,M)y*=y*(Px,Py,M)

λ*=λ*(Px,Py,M)所求的均衡解是关于商品价格和货币收入的函数。第四十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题称x*和y*为马歇尔需求函数，记为：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)这两个式子表明了，消费者对于任一给定的商品价格和货币收入所作出的消费决策。第四十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题如果把马歇尔需求函数代入到效用函数U(x,y)或相应的Lagrange

函数，则可得到效用最大值：U*(Px,Py,M)=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]由于效用最大值是商品价格和收入的函数，所以也将效用最大值称为效用最大值函数或间接效用函数，记为：V(Px,Py,M)=U*(Px,Py,M)第四十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题二、效用极大化问题的比较静态分析由前面的效用最大化问题的模型可知，内生变量为x

和y

，外生变量为Px、Py和M

。引入马歇尔需求函数，则效用最大化一阶条件：

U’x(xM,yM)–λMPx=0U’y(xM,yM)–λMPy=0M–Px·

xM–Py·

yM=0一般的传统方法如何进行比较静态分析？第四十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题

1.商品价格Px和Py

不变，货币收入M

变化对一阶必要条件中的等式两边对M

求偏导：第四十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：第四十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题尽管根据二阶充分条件可知，海赛加边行列式大于0，但分子的符号仍无法判定。然而，根据经济学理论可以推断，完全可能出现∂xM/∂M<0或∂yM/∂M<0的情况，即这时的商品为劣等品（或低档品）。（何为劣等品？）不过，一般来讲，∂xM/∂M<0和∂yM/∂M<0同时出现的情况不会存在，因为这意味着随着消费者收入的增加反而同时减少两种商品的购买，这与经济学中“多总比少好”的假设矛盾。第四十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题

2.商品价格Py

和M

不变，商品价格Px变化对一阶必要条件中的等式两边对Px

求偏导：第四十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：第五十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题三、间接目标函数比较静态分析与罗伊恒等式将均衡解xM

、yM

和λM

代入

Lagrange

函数，可得到间接目标函数：V(Px,Py,M)=U(xM,yM)+λM(M–xMPx–yMPy)上式两端分别对

Px

求偏导，有：第五十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题由一阶必要条件可知偏导系数为零，故：

同样道理，间接目标函数对M

求偏导，有：同样，由一阶必要条件有：第五十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题将两偏导数相除有：

罗伊恒等式罗伊恒等式说明：商品x

的马歇尔需求函数等于间接目标函数分别对Px和M

偏导数比率相反数。当然，同样道理，也可得到：罗伊恒等式提供了一个求马歇尔需求函数的有效途径，如果知道间接效用函数，通过求关于商品价格和收入的偏导数就可以求得马歇尔需求函数。第五十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.4

效用极大化问题

举个例子：利用效用极大化模型maxU=xys.t.

Px·

x+Py·

y=M检验罗伊恒等式的有效性。第五十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六罗伊恒等式的有效性检验首先，构造Lagrange

函数：L(x,y,λ)=xy+λ(M–Px·

x–Py·

y)然后，计算一阶必要条件：第五十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六罗伊恒等式的有效性检验然后，检验二阶充分条件：第五十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六罗伊恒等式的有效性检验将xM

和yM

代回目标函数：分别对Px、Py和M

求偏导，有：于是，有：第五十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题一、支出极小化问题的静态分析令U=U(x,y)，假设消费者对两种商品x

和y

的消费量均大于0，且是在竞争市场上以Px

和Py

的恒定价格购得，那么，在既定效用水平U0条件下，消费者如何进行商品选择使其支出最小化呢？既定效用水平下的支出极小化模型为：minE=xPx+yPys.t.

U(x,y)=U0第五十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题构造Lagrange

函数：L=xPx+yPy

+μ[U0–U(x,y)]

一阶必要条件为：二阶充分条件为：Lx=Px–μU

’x=0Ly=Py–μU

’y=0Lμ=U0–U(x,y)=0第五十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题在支出极小化的一阶必要条件和二阶充分条件成立的基础上，可求得均衡解：x=xH(Px,Py,U0)y=yH(Px,Py,U0)

μ=μH(Px,Py,U0)其中：x=xH(Px,Py,U0)和y=yH(Px,Py,U0)称为希克斯需求函数，表示了消费者对于任一给定的商品价格和效用水平下所作出的消费决策。第六十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题二、支出极小化问题的比较静态分析由支出极小化问题的模型可知，内生变量为x

和y

，外生变量为Px、Py和U0

。引入希克斯需求函数，则支出极小化一阶条件：

Px–μHU

’x(xH,yH)=0Py–μHU

’y(xH,yH)=0U0–U(xH,yH)=0一般的传统方法如何进行比较静态分析？第六十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题

1.商品价格Px和Py

不变，效用水平

U0

变化对一阶必要条件中的等式两边对U0

求偏导：第六十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：分子符号无法判定第六十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题

2.商品价格Py

和U0

不变，商品价格Px变化对一阶必要条件中的等式两边对Px

求偏导：第六十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题写成矩阵形式：根据克莱姆法则，可解得：第六十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题三、间接目标函数比较静态分析与谢泼德引理将均衡解xH

、yH

和μH

代入

Lagrange

函数，可得到间接目标函数（或支出函数）：E(Px,Py,U0)=xHPx+yHPy

+μH[U0–U(xH,yH)]上式两端分别对

Px

求偏导，有：第六十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题由一阶必要条件可知偏导系数为零，故：

同样道理，间接目标函数对Px

和U0

求偏导，有：由此可知，和在均衡处的值是消费者的希克斯需求。，，谢泼德引理第六十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.5

支出极小化问题

谢泼德引理用于在给定支出函数（或间接目标函数）的情况下，求希克斯需求函数的方法。举个例子：利用支出极小化模型minE=xPx+yPys.t.

xy=U0检验谢泼德引理的有效性。第六十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六谢泼德引理的有效性检验首先，构造Lagrange

函数：L(x,y,μ)=Px·

x+Py·

y+μ(U0–xy)然后，计算一阶必要条件：第六十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六谢泼德引理的有效性检验然后，检验二阶充分条件：第七十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六谢泼德引理的有效性检验将xH

和yH

代回目标函数：分别对Px、Py

和U0

求偏导，有：第七十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导在效用极大化问题中，由一阶必要条件可知：且二阶充分条件为：第七十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导而在支出极小化问题中，由一阶必要条件可知：且二阶充分条件为：第七十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导由两个问题的二阶充分条件和一阶必要条件可知：且在效用极大化问题中，我们得到了如下四个等式：($)(*)第七十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导在支出极小化问题中，我们得到了如下等式：将($)和(#)代入(*)，可得：(#)第七十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导以上两个等式即为马歇尔需求函数和希克斯需求函数之间的关系，亦即斯勒茨基等式，表示在货币收入固定不变的条件下，需求曲线对于价格变化作出的反应。如果Py

发生变化，也可得到：第七十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.6

斯勒茨基等式的传统推导更一般地，n

种商品的情况下，可得一般性结论：斯勒茨基等式表明，一个追求效用极大化的消费者对于价格变化作出的反应，在理论上可以分为两部分：一部分是纯替代效应，即消费者在保持原有的效用水平下，对于相对价格变化作出的反应；另一部分是纯收入效应，即在相对价格保持不变的前提下，消费者通过变化收入使得预算线在新的效用曲线上达到切点，即相对于购买力变化作出的反应。第七十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六斯勒茨基等式检验

举个例子：利用效用函数U=xy检验斯勒茨基等式的有效性。

效用极大化模型可写为：支出极小化模型可写为：maxU=xyminE=Px·

x+Py·

ys.t.

Px·

x+Py·

y=M

s.t.

xy=U0由§4.4的例子可知：第七十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六斯勒茨基等式检验由§4.5的例子可知：所以：，，又由，代入Px·

x+Py·

y=M

，有：第七十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六斯勒茨基等式检验所以：即：，得证。

试利用柯布—道格拉斯效用函数U=xay1-a

检验斯勒茨基等式的有效性。第八十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题一、企业利润极大化利润最大化等价于收益最大或成本最小，但是这种最优化是以一定生产成本或资源约束为条件的。考虑一个厂商，其生产函数为y=f(x1,x2)。如果厂商以价格p

销售产品；以价格w1使用生产要素x1；企业家投入生产要素x2固定在x20水平上。

maxπ=p

f(x1,x2)–w1x1

s.t.

x2=x20于是企业利润最大化模型可写为：第八十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题构造Lagrange

函数：

L(x1,λ)=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)

一阶必要条件为：二阶充分条件为：解释第八十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题将二阶充分条件的海赛加边行列式展开，有：由此可知，。这一结果说明，实际上只有x1

是变量，厂商唯一可控制的就是x1的使用量，存在极大值的唯一要求就是x1的边际产值递减。通过对以上条件求解，可得到利润极大化水平下的两种要素投入量和企业家投入的边际产值：第八十三页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题将上述均衡解代入目标函数，可得最大利润：

π*(w1,p,x20)=p

f(x1*,x2*)–w1x1*式中，π*(w1,p,x20)被称为利润函数，它是该模型的间接目标函数。将一阶必要条件的前两个等式分别乘以x1*和x2*，然后两式相加，得：第八十四页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题若生产函数是一次齐次的（规模收益不变），那么，根据欧拉定理，有：于是，这个式子表明，“总收入=总成本”，其中x2的总要素成本是它的机会成本λ*x2*。因此，由于规模收益不变，产品被耗尽，即厂商收入刚好等于总要素成本。（注意：这种关系成立的前提是一、二阶条件均满足）第八十五页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题二、比较静态分析由前面的分析可知，企业利润极大化问题的内生变量为x1

、x2

和λ，外生变量为w1

、p

和x20。首先，分析w1

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件的各等式两边对

w1求偏导，可得：第八十六页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题根据克莱姆法则，解得：这三个结果表明了要素x1价格w1的变化对两种要素最佳投入量x1*和x2*以及企业家投入的边际产值λ*的影响。第八十七页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题下面，分析x20

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件的各等式两边对

x20求偏导，可得：根据克莱姆法则，解得：第八十八页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题同理，我们还可以分析p

变化对均衡解的影响。已知该利润极大化问题的均衡解存在，就可以利用包络定理来分析外生变量变化对目标函数最优值的影响。由前面的分析可知，Lagrange

函数为：L=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)那么，根据包络定理有：x*,λ*第八十九页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.7

企业利润极大化问题

举个例子：设某垄断厂商生产两种商品x

和y

，并在有关市场上销售。这两种商品的反需求函数分别为Px=100–4x–y

和Py=50–x–y

，该厂商的总成本为C(x,y)=10x+5y

，成本不超过100。试求利润极大化时的产出水平和利润。厂商的利润函数为：π=xPx+yPy–(10x+5y)=90x+45y–4x2–2xy–y2故利润极大化模型：maxπ=90x+45y–4x2–2xy–y2

s.t.

10x+5y=100第九十页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.8

生产成本极小化问题一、（总）成本函数给定生产函数f(x)，产出为y，要素价格为w

时的最小成本记为

c(w,y)=min{w

·x|f(x)≥

y,x

≥0}根据成本函数的定义，成本函数有如下性质：⑴在y

不变的条件下，①

c(w,y)关于w是一次齐次的；②c(w,y)关于w是凹的；③c(w,y)关于w是递增的。⑵在w>0且不变的条件下，c(w,y)关于y是递增的。第九十一页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.8

生产成本极小化问题二、成本极小化问题在给定产出水平下，企业成本极小化行为与利润极大化行为是一致的，即可以将成本最小化问题看做是满足等式约束的最优化问题。

那么，能否直接利用利润极大化模型推导成本极小化模型呢？考虑利润极大化模型：maxπ=pf(x1,…,xn)–(w1x1+…+wnxn)

s.t.

f(x1,…,xn)=y第九十二页，共一百零九页，编辑于2023年，星期六§4.8

生产成本极小化问题根据成本函数的定义，产出y

是一个参数，即外生变量。由企业追求利润极大化行为可知，在企业追求利润极大化时，y

是决策变量，意味着当产出改变、要素价格不变时，可以观测成本的变化。但是，实际上，追求利润极大化企业不会主动改变产出，只有当某个要素价格发生变化变化时，产出y才会改变。故上述利润极大化模型不能直接推导