【人教数学A版-】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》 省赛获奖

-1-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-1-一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？-1-杨辉三角《九章算术》杨辉-1-杨辉三角《详解九章算法》中记载的表1．“杨辉三角”的来历及规律

-1-杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561-1-杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件-1-第5行

1551第0行

1杨辉三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34-1-

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881

从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。-1-

类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.-1-二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．2．二项式系数的性质

-1-二项式系数的性质（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：-1-二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定．

-1-二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由：

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，-1-二项式系数的性质（2）增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和

-1-二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）

（2）

（3）当时，

（4）

当时，-1-例题分析:

例1．证明：（1）(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和

启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。令a=b=1，则-1-1答案2答案继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得

小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。-1-赋值法-1-例2-1-小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：-1-1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考:1.求证：2.(1﹣x

)13

的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项C-1-思考32答案思考2求证:略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得-1-思考:求证：证明：∵倒序相加法-1-思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为-1-（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）

r=5.

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为-1-课堂练习：1）已知，那么=

；2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；-1-

例1

证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2

已知的展开式中，第-1-

例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416-1-例4、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。-1-1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知