【2022高考数学一轮复习】幂函数

1第十课时幂函数第三章基本初等函数（Ⅰ）

1.幂函数的定义形如

（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是

，α为

.

2.幂函数的图象与性质当α＞0时，幂函数的图象过定点

，且在（0，+∞）上是

；当α＜0时，幂函数的图象过定点

，且在（0，+∞）上是

.

2增函数（0，0）、（1，1）指数底数y=xα减函数（1，1）

1.下列函数：①y=；②y=3x-2；③y=x4+x2；④y=，其中幂函数的个数为（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

②是一次函数，③是两个幂函数的和.3B

2.幂函数y=xm2-2m-3（m∈Z）的图象关于y轴对称，且当x>0时，函数是减函数，则m的值为（

）

A.-1

B.0

C.1

D.2

由m2-2m-3<0，得-1<m<3.又m∈Z,所以m=0,1,2.因为m2-2m-3为偶数，经验证，m=1符合，

故选C.4

3.已知幂函数f（x）=xα由下表定义，则f（|x|）≤2的解是（）

由，得α=

,所以则-4≤x≤4,故选D.5x1f（x）1

4.函数y=（x-1）α（α≠0）始终过定点，则该定点的坐标为

.

5.已知点P（，3）在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为

.设f（x）=xα，则，解得α=-2.6（1,0）,（2,1）f（x）=x-2

1.幂函数的概念（1）当α=0时，若幂函数y=xα的图象是平行于x轴的直线，则这条直线不经过点

.（2）若幂函数y=xα的图象在（0,+∞）上增长的速度越来越慢，则α的取值范围是

.（3）对于幂函数y=xα,当x∈（0,1）时，有xα>x，则α的取值范围是

.7（0,1）（0,1）（0,1）

2.幂函数的图象与性质

（1）幂函数y=xα，对于x1,x2∈（0,+∞）且x1<x2时，总有f（x1）>f（x2），则α的取值范围是

.

（2）幂函数y=xα的图象一定不会经过

第

象限.

（3）已知

则x的取值范围是

.8（-∞,0）四（0,1）

3.幂函数的应用

（1）设点A1（x1,f（x1））,A2（x2,f（x2））（x1<x2）是幂函数f（x）=

的图象上的两点.已知

则a、b的大小关系是

.

（2）设α∈{-2,-1,

,

,1,2}，幂函数y=xα，当x∈（1,+∞）时，它的图象恒在直线y=x的下方，则α=

.9a<b，－1，

－2

题型1

幂函数的概念若函数

+（x2-mx+1）0的定义域为全体实数，求实数m的取值范围.

10依题意得对x∈R恒成立，故解得所以1<m<2.故实数m的取值范围是（1,2）.11

【评注】幂函数的定义域是根据幂函数的表达式的特点来确定的.本题看成两个幂函数的和，前一个，α<0，且要开偶次方，故幂的底数恒大于0，后一个要求底数不能为0，且底数的图象是开口向上的抛物线，故底数也要恒大于0.12

函数f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3是幂函数，且当x∈（0,+∞）时是减函数，求实数m的值.

因为函数f（x）是幂函数，所以m2-m-1=1，得m=-1或m=2.当m=-1时，函数f（x）=0，不符合要求；当m=2时，函数f（x）=x-3，它在（0,+∞）上是减函数.故m=2.13

题型2

幂函数性质的应用已知幂函数f（x）=（4m2-3）xm2-2m-3的图象与x轴、y轴都无公共点，且函数图象关于y轴对称，求整数m的值.

由4m2-3=1，得m=±1.当m=1时，m2-2m-3=1-2-3=-4，函数化为f（x）=x-4，符合要求，所以m=1；当m=-1时，m2-2m-3=1+2-3=0，显然，不符合要求.14

【评注】本题是属于求符合条件的函数表达式问题，幂函数同指数函数、对数函数一样，是说明性定义，如果函数是幂函数，则其表达形式y=xα的整体系数是1；对于图象与坐标轴无交点，其幂指数一定是负数，要牢记幂函数在第一象限的图象的位置关系.15

已知函数f（x）=x3m-9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0,+∞）上函数值随x的增大而减小，求该函数的表达式.

由于函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，所以3m-9<0,得m<3.又m∈N*，所以m=1,2.当m=1时，函数化为f（x）=x-6，符合要求；当m=2时，函数化为f（x）=x-3，其图象不关于y轴对称.于是所求函数的表达式为f（x）=x-6.16

题型3幂函数的综合应用已知函数g（x）=（a+1）x-3+2（a>-1）的图象恒过定点A，点A在函数f（x）=（x+1）α+1（x≥-1）的图象上.（1）求函数f（x）的表达式；（2）当x≥0时，若f（x-1）,f（3）,f（x+1）成等差数列，求x的值.

（1）当x=3时，g（3）=3，所以函数g（x）的图象过定点A（3，3）.17

将点A的坐标代入函数f（x）的表达式，得3=4α+1，即22α=2，所以α=

，所以

f（x）=

+1（x≥-1）.

（2）当x≥0时，f（x-1）=

+1,f（3）=3,

f（x+1）=

+1.依题意得2f（3）=f（x-1）+f（x+1）,即4=

+

，18即

=4－

，得

，所以

.

【评注】掌握幂函数图象的特点是研究幂函数性质的基础.本例中的第（2）小题中把三个幂函数的值通过等差数列转化为无理方程，求解有一定的难度，是一道较好的综合题.19

若函数

的图象与x轴有公共点，求实数m的取值范围.

因为函数的最大值ymax=1+m，且其图象以x轴为渐近线，所以，将图象向下平移就能使其与x轴相交，但平移的距离不能超过1个单位长度.故实数m的取值范围是［-1,0）.20将函数化简为

1.幂函数的概念幂函数的定义是说明性定义，形如y=xα（α为常数）的函数叫幂函数.重点掌握α=-1,

,

,1,2,3时的幂函数的图象与性质.幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质由α的取值决定.应用幂函数知识解题时，要熟知常见幂函数的特征，要重视数形结合的思想，根据题设条件及幂函数的性质作出示意图，再由图象得出进一步的结论.21

2.幂函数的图象与性质

幂函数的图象与性质，由α的取值不同而变得比较复杂，但过定点（1，1）是共同的，当α>0时，幂函数的图象还过定点（0，0），当α<0时，图象不过原点.幂函数在（0,+∞）上的单调性，从三个方面考查：（1）当0<α<1时，函数图象在区间（0,1）上总在直线y=x的上方（xα>x），在区间（1,+∞）上总在直线y=x的下方（xα<x），所以函数图象在（0,+∞）上成上凸姿势，函数是增函数，增长的速度越来越缓慢；22

（2）当α>1时，函数图象在区间（0,1）上总在直线y=x的下方（xα<x），在区间（1,+∞）上总在直线y=x的上方（xα>x），所以函数图象在（0,+∞）上成下凸姿势，函数是增函数，增长的速度越来越快；（3）当α<0时，函数图象在区间（0,+∞）上是减函数，在区间（0,1）上函数的图象总在直线y=x的上方（xα>x），在区间（1,+∞）上总在直线y=x的下方（xα<x）.23幂函数的奇偶性，一般先将函数式化为正指数幂或根式，再根据函数的定义域和函数奇偶性的定义进行判断.

要注意，幂函数的图象不经过第四象限.24

1.（2009·福建卷）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）

A.f（x）=lnx

B.f（x）=

C.f（x）=|x|

D.f（x）=ex

答案：A25

2.（2008·全国卷Ⅱ）函数f（x）=

-x的图象关于（

）

A.y轴对称

B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称

D.直线y=x对称

易知函数f（x）是奇函数，故其图象关于原点对称.

答案：C26

3.（2009·陕西卷）设曲线y=xn+1（