【人教数学A版选修】《空间向量在立体几何里的综合运用》复习

立体几何的向量方法

——综合应用树兰学校：曹洪霞成功来自坚持，执著创造奇迹天才是1%的灵感加上99%的汗水

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFH例题剖析小结1小结2小结3ABCDPEFY(2)（解法一）：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ,设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)XZ

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(2)求证：PB⊥平面EFDY

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(2)求证：PB⊥平面EFD(2)解法二：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ,

设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)ABCDPEFZXYDEFPXZYBC又E(0,1/2,1/2)F（1/3,1/3,2/3）ABCDPEFXZBCY(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。BCY（其中由(2)知PB⊥平面EFD）小试牛刀小结4方法一：XYZXYZ方法二：azxyF1F2F3ACBO500kg

如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

合力答案合作探究F1F3F2F1F2F3ACBO500kgF1F3F2坐标系F1F2F3ACBO500kg1、立体几何中的向量方法的“三部曲”：

用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元素

进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系以及它们之间的距离和夹角。

把运算结果“翻译”成相应的几何意义。2、解决立体几何问题常用方法：综合法向量法坐标法这节课你学到了什么总结l求平面法向量的方法和步骤：（4）解方程组，另其中一个变量等于一个特殊值，再代入方程求出其它变量，即得一个法向量。例1lCDAB例1①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中AB三、二面角的平面角

将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小＝〈〉

若二面角的大小为,

则②法向量法注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.即“同进同出互补，一进一出相等”或三、二面角的平面角“同进同出互补”例1四、异面直线成角lmlm(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′,b′所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.练习一、用向量解决如下问题：1、平行和垂直2、角度二、向量的“数”和“形”运算三、向量解决立体几何的“三部曲”

用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等