【人教数学A版选修】《定积分在物理中的应用》

1．7定积分的简单应用

1．7.2定积分在物理中的应用学习目标1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．

课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案1.7.2课前自主学案温故夯基1．如果函数f(x)在区间[a，b]上是连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么_________________________________．><<知新益能连续恒有f(x)≥0y＝f(x)曲边梯形2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即______________W＝Fs(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为________；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即________________.课堂互动讲练考点一用定积分求平面图形的面积考点突破用定积分求“曲边图形”面积的步骤：(1)先画出草图，确定所求面积是哪部分；(2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数以及积分的上、下限；(3)把所求的面积用定积分表示；(4)根据微积分基本定理求出面积．例1【思路点拨】理解定积分的几何意义，准确画出图形，明确所求面积，并合理分割图形，结合定积分求解．【解】

(1)作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．【思维总结】由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，将积分区间进一步划分，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．变式训练1求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成的图形的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，考点二求作变速直线运动物体的路程、位移路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．例2

有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程；(2)当t＝5时，P点的位置；(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．【思路点拨】首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．变式训练2列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？解：已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得加速度a＝－0.4m/s2.设列车由开始制动到经过ts后的速度为v，则v＝v0＋at＝20－0.4t.令v＝0，得t＝50(s)．考点三变力做功例3

设有一根长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．【思路点拨】先求出拉力F(x)，然后再求功．【思维总结】解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．变式训练3在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．方法技巧方法感悟1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．2．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，可为负，也可为零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．3．用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决．失误防范1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念．定积分是一个和式的极限，它可正、可负、可为零．而平面图形的面积在一定意义下总为正，特别是当曲线有在x