【2022届高考数学一轮复习】《向量的概念及其线性运算》

第1讲向量的概念及其线性运算1．了解向量的实际背景，了解向量线性运算的性质及其几何意义．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．-1-基础自查相反大小方向长度长度为0任意1个单位长度相同相反非零共线向量平行相等相同相等-1-2．向量的加法和减法

(1)加法①法则：服从三角形法则，平行四边形法则．②运算性质：a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝

(结合律)；a＋0＝

＝

.(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则．0＋aaa＋(b＋c)-1-3．实数与向量的积

(1)长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当

时，λa与a的方向相同；当

时，λa与a的方向相反；当λ＝0

时，λa＝0，方向任意．

(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝

；②(λ＋μ)a＝

；③λ(a＋b)＝

.4．向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是

一个实数λ，使得

.λ>0λ<0有且只有b＝λaλa＋λbλa＋μa(λμ)a-1-联动思考-1-联动体验1．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，-1--1--1-考向一向量的概念-1--1-反思感悟：善于总结，养成习惯我们把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移”或表达“一个点相对于另一点的位置”的量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量．有些向量只有大小与方向，而无特定的位置．例如：位移、速度等．通常将后一种向量叫做自由向量．以后无特殊说明，我们所提到的向量，都是自由向量，即我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等．-1-迁移发散1．下列命题正确的是________(把所有正确的代号都填上)．①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量④有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以①不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以②不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以④不正确；对于③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．答案：③-1-考向二向量的线性运算-1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理．2．在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．-1-迁移发散-1-考向三共线向量-1-反思感悟：善于总结，养成习惯向量共线定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，主要是看能否找到唯一的实数λ使两向量相等．把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题．迁移发散-1-课堂总结感悟提升1．向量不同于数量．向量既有大小，又有方向．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．2．向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质是向量的伸缩．3．数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这