序言演示文稿

序言演示文稿第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期六明德厚学求是创新明白做人做事的道理和规则接受、传承知识诚实、守信（敢为人先，做别人没做的事）（前提）（基础）（关键）（目的）（树立正确世界观、人生观、价值观）(树立终生教育理念)(尊重事实、尊重科学)前进、发展第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期六序言一、什么是数学？二、数学的特点三、什么是微积分学？四、微积分发展简史五、学什么？怎么学？六、微积分学的主要内容第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期六一、什么是数学纯数学是以现实世界的空间的形式和数量的关系为数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。是人类从自身的实际生活和科学研究的实践中抽象出来的一门学科。

和其他所有科学一样，数学是从人们的实际需要中对象的。这些资料表现于非常抽象的形式之中，这一事实只能表面地掩盖它的来自现实世界的根源。产生的。第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

数学是一切事物的本质,整个有规律的宇宙的组成,就是数以及数的关系和谐系统。——

毕达哥拉斯

和所有其他的思维领域一样，从现实中抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界相脱离，并且作为某种好似独立的东西，好似从外面来的规律而与之相对立……仅仅因为如此，数学才能被一般地应用。——

恩格斯第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

数学是一个重要的工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而他是所有其他知识工具的源泉。

数学是美的原型。数学是无穷的科学。数学的本质在于它的自由。——

笛卡尔——

开普勒——

赫尔曼外尔——

康托第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

数学之所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖

哲学（自然）是写在那本永远在我们眼前的伟大书于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多的别的东西。——

笛卡尔本里的——我指的是宇宙，但是，我们如果不先学会书里所用的语言，掌握书里的符号就不能了解它。这书是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形和别的几何图象，没有它们的帮助，是连一个字也不会认识的；没有它们，人就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。——

伽利略第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期六数学由一种“工具”一种“思维模式”；数学由一门“知识”一种“素养”；数学由一门“科学”一种“文化”。

数学是这样一种东西：她提醒您有无限的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。

——普瑞克斯第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期六综上所述：

能否运用数学观念定量思维，是衡量一个民族科学文化素质的重要标志。在人类面向数字化时代的今天，数学教育在培养高素质科技人材中具有独特的不可替代的重要作用。第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期六二、数学的特点高度抽象性与本质客观性；逻辑严密性与条件可变性；结构层次性与思维科学性；应用灵活性与结果可信性。第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期六三、什么是微积分（高等数学）初等数学：

研究对象为常量，用静止观点研究问题高等数学：

研究对象为变量，以动态和辩证的思维研究问题笛卡儿的变量是数学中的转折点.有了变量,运动进入了数学,有了变量，辩证法进入了数学,有了有了变量,微分和积分也就立刻成为必恩格斯的了,而它们也就立刻产生.

微积分是关于运动和变化的数学。那里有运动或增长、变力作功产生的加速度，那里要用到的数学就是微积分。微积分开创的初期是这样，今天仍然是这样。第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期六四、微积分发展简史1.

微积分思想萌芽

战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》惠施的一段话：

“

一尺之锤，日取其半，

刘徽生于公元250年左右，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．刘徽在《九章算术注》的“割圆术”：

“

割之弥细，所失弥少，割万世不竭。”

之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期六安提芬(Antiphon）欧多克斯（EudoxusofCnidus)“穷竭法”古希腊早期十大最伟大的演说家之一

公元前（480-403）

公元前（408-355）

古希腊天文学家和数学家第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期六名言：

“给我一个支点，我能撬动地球”

阿基米德(Archimedes）（约公元前287～212）

古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。

除了伟大的牛顿和伟大的爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期六2.

十七世纪微积分的酝酿

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。

1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。

第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题：(2)望远镜的设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线求任意曲线切线的连续变化问题。(1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。(3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。(4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等。第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

这一时期的几位科学大师及其工作：

约翰尼斯·开普勒

（JohannesKepler）

（公元：1571-1630)

牛顿曾说过：“如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上。”开普勒无疑是他所指的巨人之一。

德国天文学家、数学家。他用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

卡瓦列里(B.Cavalieri）（公元：1598-1647

)

的基本结果，使早期积分突破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。

Galileo的学生，意大利数学家，积分学先驱者之一。

他认为：“两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面积之比为定值，那么这两个立体的体积之间也有同样的比”，利用这个原理他建立了等价于下列积分：第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

伊萨克·

巴罗

(IsaacBarrow

）（公元：1630一1677)

十七世纪英国最著名的科学家和数学家，牛顿的老师。精于数学

和光学，对几何学颇有建树。巴罗与“微分三角形”：

该方法给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

（ReneDescartes）（公元：1596-1650

）勒奈·

笛卡尔

法国杰出的近代哲学家、一流的物理学家、近代生物学的奠基人、但只偶然的是位数学家。解析几何的创始人。笛卡儿、费尔马和坐标方法：

他们用代数方法处理问题，对推动微积分的早期发展产生了很大的影响，牛顿就是以此为起跑点而踏上研究微积分的道路。第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

费尔马

(PierredeFermat）

（公元：1601～1665）对费尔马的评价：费尔马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过只是业余爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。

法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。

沃利斯的“无穷算术”

沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期六3.

微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作

牛顿于1665年11月发明“正流数术”(微分法),1666年5月建立“反流数术”(积分法)。

1666年10月,牛顿将前两年的的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，明确了现代微积分的基本方法,这是历史上第一篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来的求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——正、反流数术(流数就是微商)，并证明了二者的互逆关系，将这两类运算进一步统一成整体，这是他超越前人的功绩,也正是在这样的定义下，我们说牛顿发明了微积分。1）牛顿的“流数术”

艾萨克·牛顿

（Isaacnewton）(1643年1月4日—1727年3月20日)

英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，同时他也是一个神学爱好者，晚年曾着力研究神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是创建了微积分和经典力学。第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期六2）莱布尼茨的微积分工作

与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。

1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号

以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号

。

戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（GottfriendWilhelmvonLeibniz）

（1646.7.1.—1716.11.14.）

德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔(M.Rolle

1652-1779)在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟詹姆斯和约翰他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定型极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达(L’Hospital,1661-1704)编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。3）18世纪微积分的发展第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

伯努利家族代表人物之一，数学家。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。他研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。他也是概率论的创始人之一，我们现在教课书上的Bernoulli大数定律就是以他的名字命名的。

詹姆斯·伯努利的弟弟。最初学医，同时研习数学。1691年到巴黎,曾为GuillaumeF.A.L’Hospital

罗比达的私人教师。现今求不定式极限的罗比达法则，实出自约翰。1705年接替其兄詹姆斯任巴塞尔大学教授。1691年解出悬链线问题。

Euler

也是他的学生。

詹姆斯·伯努利

(JamesBernoulli

)‎（1654年12月27日－1705年8月16日）

约翰·伯努利

(JohanBernoulli)

（1667年8月6日－1748年）第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

布鲁克·泰勒

(Brook.

Taylor)

(1685—

1731)

英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

科林·麦克劳林

（ColinMaclaurin)(1698－

1746）

18世纪英国最具有影响的数学家之一。麦克劳林得到泰勒公式在

0时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。

18世纪，微积分得到进一步深入发展。第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

约瑟夫·

路易斯·拉格朗日

（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法国数学家、物理学家。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．

18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。他的《无限小分析引论》（1748）、《微分学原理》（1755）与《积分学原理》（1768~1770）都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被当作标准教材而广泛使用。莱昂哈德·

欧拉（LeonhardEuler)(1707-1783）第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

4．微积分中注入严密性

微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。正因为如此，这一学说从一开始就受到多方面的怀疑和批评。

第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

最令人震撼的抨击是来自英国克罗因的主教贝克莱。

贝克莱集中攻击了微积分中关于无限小量的混乱假设，他说：“这些消失的增量究竟是什么？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消失量的鬼魂吗？”这就是著名的“贝克莱悖论”。贝克莱的许多批评切中要害，客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，引起了当时不少数学家的恐慌。这也就是我们所说的数学发展史上的第二次“危机”。

第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。

到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

达朗贝尔

(d’Alembert,1717-1783)

在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。

完善时期的代表人物:

波尔查诺

(B.

Bolzano,1781-1848)

捷克数学家,19世纪初开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西。他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。

柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期六

另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯(W.

Weierstrass,1815-1897)。魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义。魏尔斯特拉斯用他创造的一套

语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来，消除了“贝克莱悖论”。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。

魏尔斯特拉斯(W.

Weierstrass)1815-1897第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期六五、为什么学？学什么？怎样学？1）数学的重要性:什么是高技术？——本质上就是数学技术。什么叫现代化？——在某种意义上说就是数学化。三大科学是什么？——数学科学、自然科学和社会科学成为当今的三大科学。寻找自然规律的数学表达式成为一种时尚，也是该学科成熟的标志。这种时尚发展到今天，就是非常热门的话题——数学模型。微积分是现实世界的最出色的数学模型之一。为什么要学习微积分？第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期六2）素质教育：数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。

著名数学家李大潜院士指出：“数学教育本质上就是一种素质教育”。体现在①具有运用数学语言的能力；②具有处理数据和图形的能力，重点是应用意识和数学建模的能力；③具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力；④具有判断计算和推理结果正确性的能力；⑤具有自己主动学习、适应各种复杂环境的能力；⑥养成主动合作的团队精神、坚韧不拔的科学态度；⑦具有高水平的审美观。第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期六3）微积分是学习专业技术课的基础

微积分全国大学生数学竞赛的内容

微积分在研究生入学考试数学中占60%第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期六怎么学习微积分、学什么？1.认识微积分学的重要性,培养学习兴趣马克思恩格斯

要辨证而又唯物地了解自然,

一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步。就必须熟悉数学。第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期六2.学会读书、注重培养自学能力

如果书中的内容你不能全