平面机构运动分析

平面机构运动分析第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六迭代法矢量分析法复数方程微分法矢量方程图解法瞬心法图解法图3-F01

机构运动分析的内容与方法加速度分析速度分析位置分析杆组方法其它方法其它方法复数法矢量方程图解法法复数方程微分法第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-1概述

机构的运动分析，就是根据具有确定运动机构的运动简图及给定的原动件运动规律，求该机构中指定构件上点的位移、轨迹、速度和加速度，或其余构件的角位移、角速度和角加速度。(1)曲柄摇杆机构

(2)曲柄滑块机构图3-F02基本机构(1)，(2)ABCDφAφBC第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六由于平面机构的广泛应用，所以本章仅研究平面机构的运动分析。

的特点是把机构中已知的尺寸参数和运动参数与未知的运动变量之间的关系用数学式表达出来，然后求解。解析法

中介绍常用的速度瞬心法和相对运动法。图解法第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六1B1P12A1§3-2

用速度瞬心法作机构的速度分析

图3-2F03所示的两构件1、2均作平面运动，在任一瞬时重合点的相对运动都可以看作是绕平面上某一点的相对转动，而该点则称为它们的速度瞬心，简称为瞬心，以P12表示。图3-F03两个构件瞬心的位置§3-2-1速度瞬心及其求法

瞬心是两构件上相对速度为零的点，或者说是两构件上速度相等的点。若在该瞬心的绝对速度为零，则称为绝对瞬心。若不为零，则称为相对瞬心。A1(A2)B1(B2)P12VA2A1ω212VB2B1第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

由于每两个构件具有一个瞬心，所以对于由N个构件组成的机构，根据排列组合的知识可知，其瞬心总数

K

为K＝N（N－1）/2

（3-1）K

＝6（6－1）/2＝15

(3-1')对于例图，瞬心数目K为654321图3-F04一种平面六杆机构其中绝对瞬心（N-1）=5个，相对瞬心10个绝对瞬心多少？第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

(2)

以移动副相连的两构件，如图3-1b

所示，由于在平面任一点处两构件相对运动的速度方向均平行于移动副导路，所以，P12一定位于无穷远。

(1)

以转动副相连的两构件，如图3-1a所示，其瞬心在转动副的中心上。图3-1运动副瞬心的位置1.通过运动副直接相连的两构件的瞬心位置12P12(a)转动副12P12８(b)移动副V12第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

(3)

以平面高副相连的两构件，如图3-1c

所示，若高副两元素之间为纯滚动(ω12为相对滚动的角速度)，则两元素的接触点M即为瞬心P12

。(c)纯滚动高副MP1221ω12图3-1运动副瞬心的位置火车轮汽车轮第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

(4)若高副两元素间既有相对滚动，又有相对滑动(v12

为相对滑动速度)，则瞬心P12必定位于高副过接触点的公法线n-n上，如图3-1d

所示，具体位置需要根据其他条件来确定。(d)非纯滚动高副P12Mnn12vM1M2ω12tt图3-1运动副瞬心的位置凸轮齿轮第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2.不直接通过运动副相连的两构件的瞬心位置所谓三心定理是指三个彼此作平面平行运动的构件的三个瞬心必位于同一直线上。现证明如下：不直接通过运动副相连接的两构件的瞬心位置由三心定理予以确定。vK1P13ω113vK2KP23ω22图3-2瞬心的位置与三心定理第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-2-2速度瞬心的应用解：P24

是相对速度瞬心，即是构件2、4上具有同一速度的重合点，所以有1.铰链四杆机构

如图

3-3所示，比例尺为μl

(单位为m/mm)的铰链四杆机构，若已知原动件2以角速度ω2

顺时针方向回转，求从动件4的角速度ω4及ω3

。

根据瞬心

P24的速度方向可知，构件4的旋转方向为顺时针。图3-3铰链四杆机构P24P13则有：vP24

=ω2

P12P24

μl=ω4

P14P24

μlP14P34P23P12ω41423ω2ω4=ω2

P12P24/P14P24

(3-2)同理可得：ω3=ω2

P12P23/P13P23方向如图示3vP24第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2.曲柄滑块机构

如图3-3’所示，比例尺为μl

的曲柄滑块机构，若已知原动件2的角速度为ω2

，求图示位置时从动件3的移动速度v4。图3-3’曲柄滑块机构

解:

如图求得构件2、4的相对瞬心P24后，由于P24为该两构件速度相等的点，从而有构件4的运动方向即瞬心P24的速度方向，水平向左。v4=vP24=ω2

P12P24

μlP23P12P342413ω2V4P24P13P148同理可得：

ω3=ω2

P12P23/P13P23

方向如图示3vP24第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六3.凸轮机构

解：

如图过高副元素的接触点K作其公法线n-n，则此公法线n-n与瞬心连线

P12P13

的交点即为构件2与3的相对瞬心

P23。由于构件2、3在

P23

速度相等，从而有:

若已知原动件2的角速度为ω2，求图示位置时从动件3的移动速度v3。

构件3的运动方向即瞬心

P23的速度方向，垂直向上。v3=vP23=ω2

P12

P23μl图3-4凸轮机构P12132Kω2nnP23P138P138第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-3

用矢量方程图解法作机构的

速度及加速度分析

已知曲柄

1的角速度ω1和角加速度1，求图示位置时连杆2的角速度ω2、角加速度2以及点

C

和

E的速度和加速度vC、aC、vE、aE

。§3-3-1同一构件上两点间的速度和加速度求解法图3-5曲柄滑块机构

图3-5(a)所示为曲柄滑块机构，比例尺为μl。ω1BAC11243(a)vBω2vCEBaC2第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六vC=μv

pc(方向：p→c)

vCB=μvbc

(方向：b→c)2=vCB/lBC

(方向：逆时针

)vC

=vB

+vCB

(3-2)方向

x-x⊥AB⊥CB大小

？

lABω1

？1.确定构件的速度和角速度bc(b)图3-5曲柄滑块机构pω1BAC1243vBvCBω2vCE(a)xx第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六方向

?⊥AB⊥BE

x-x⊥CE大小

?ω1lAB?μv

pc?当点C

的速度vC

求得后，根据速度的合成原理可求得点E的速度vE。vE

=vB+vEB

=vC

+vEC图3-5曲柄滑块机构vE=μv

pe

(方向：p→e)

vEB=μvbe(方向：b→e)

vEC

=μvce

(方向：c→e)

ω1BAC1243vBvEBω2vCE(a)xxbc(b)pvECe(2

lBE)(2

lCE)第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六用速度影像法求点E的速度vE

图3-5曲柄滑块机构

同一构件上各点所构成的多边形，相似于速度多边形图中同名矢量端点所构成的多边形，且两多边形顶点字母顺序的绕行方向与ω2一致，且转90。因此，称图形bce为构件图形BCE

的速度影像。vE=μv

pe

(方向：p→e)

vF=μvpf

(方向：p→f)ω1BAC1243vBω2vCE(a)xxbc(b)peFf第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2.确定构件的加速度和角加速度

aC=anB+atB+anCB+atCB

方向:x-x

B→A⊥AB

C→B⊥BC

(3-3)大小:?

ω21lAB

lAB1ω22lBC?根据相对运动的合成原理得加速度方程为:(c1)

aC=μa

p’c’

(方向：p’→c’)

atCB=μac”c’

(方向：c”→c’)2=atCB/lBC

(方向：逆时针

)图3-5曲柄滑块机构ω1BAC1243vBω2E(a)xxb’c’p’B21aCatCBb”c”第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六方向：

?p'→b’

E→B⊥EB

p'→c'

E→C⊥EC大小：

?μap'b'

ω22lBE?μap'c‘

ω22lCE?aE

=aB+anEB+atEB=aC+anEC+atEC连杆上E点的加速度aE为aE=μa

p’e’

(方向：p’→e’)(2

lBE)(2

lCE)(c)ω1BAC1243vBω2E(a)xxb’c’p’B21aCb”c”e”e’e”’图3-5曲柄滑块机构第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六同理，连杆

2上E点相对于B、C两点的加速度大小为:连杆2上B、C

两点之间的相对加速度大小为:aCB:aEB:aEC=lCB:lEB:lEC

=c'b‘:e'b':e'c'由此导出:b’c’e’BCES(c)b’c’p’b”c”e”e’e”’图3-5曲柄滑块机构第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

这表明同一构件上各点所构成的多边形，相似于加速度图中同名矢量端点所构成的多边形，且两多边形顶点字母顺序的绕行方向与ω2一致。因此，称图形b'c'e'为构件图形BCE

的加速度影像。aE=μa

p’e’(方向：p’→e’)(c)b’c’p’b”c”e’图3-5曲柄滑块机构ω1BAC1243vBω2E(a)xxB21aCFf’aF=μa

p’f’(方向：p’→f’)第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-3-2

两构件上重合点间的速度和加速度求解法(a)图3-6曲柄导杆机构图3-6(a)为曲柄导杆机构，比例尺为μl。已知曲柄1的角速度ω1，求图示位置时连杆2的角速度ω2、角加速度α2，以及构件3的角速度ω3和角加速度α3。vB3B2vB1(vB2)DBCA1342ω1（B1,B2,B3,B4）1ω33第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

vB3=vB2+

vB3B2方向：⊥BD

⊥AB

∥BC大小：

?

ω1lAB?(3-4)b3b2（b）（a）1.速度分析p图3-6曲柄导杆机构vB1(vB2)DBCA1342ω11ω33（B2,B3,B4）vB3B2vB3

=μv

pb3

(方向：p→b3)

vB3B2

=μvb2b3

(方向：b2→b3)2=3=vB3

/lBD

(方向：顺时针)第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2.

加速度分析aB3=aB2+akB3B2+arB3B2aB2=aB1=anB1+atB1(3-5)

B2、B1为转动副连接点，有：arB3B2anB3akB3B2atB1anB1图3-6曲柄导杆机构

因B3绕D点转动,则有:aB3=anB3+atB3

一般因ω1为常数，曲柄的切向加速度atB1为零（1=0）。（a）DBCA1342ω1ω33（B2,B3,B4）

科氏加速度akB3B2的大小为2ω3vB3B2，方向为vB3B2沿ω3转90。vB3B2第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六上述式子联立后得:

aB3=aB2+akB3B2+arB3B2=anB3+atB3方向：?∥AB{vB3B2沿ω3转90}∥BC

B→D⊥BD大小：?12lAB

23vB3B2?

32lBD

?（a）（c）图3-6曲柄导杆机构p’aB3=p’b’3μaatB3=b”3b’3μa

2=3=atB3/lBD(方向：逆时针)arB3B2anB3akB3B2atB1anB1DBCA1342ω1ω33（B2,B3,B4）vB3B2b’2k’b”3b’3第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六作业布置

3-3：求机构的全部瞬心K个；

3-6：用瞬心法求机构的速度；

3-13：科氏加速度的判断；

3-14：用矢量方程图解法求机构的速度和加速度；

3-16：用矢量方程图解法求机构的速度和加速度；选做3-15：用矢量方程图解法求机构的速度和加速度。第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-4

用解析法作机构的运动分析

本节以铰链四杆机构为例，介绍直角坐标投影法。§3-3-1

机构运动分析的直角坐标投影法平面连杆机构运动分析的解析法较多，如直角坐标投影法、基本杆组法、矩阵法、复数向量法、杆长约束法等。本章介绍直角坐标投影法和基本杆组法。1.直角坐标系的建立ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=0

图3-10所示的铰链四杆机构中，已知杆长分别为l1、l2、l3、l4，原动件1的正向转角及正向角速度分别为1、1。

第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六求解：连杆2与摇杆3的角位移2

、3

，角速度ω2、ω3以及角加速度α2、α3

。2.角位移分析

将铰链四杆机构l1、l2、l3、l4看作一向量封闭多边形，如图3-10所示，则该机构的向量封闭方程式为：ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=0l1+l2=l3+l4

(3-6)将上式在直角坐标上投影得：第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六消去式(3-7)、式（3-8）中的θ2得：其中:ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=0

将半角公式代入上式得到关于x=tan

(3

/2)

的一元二次方程式，并解得3为:sin3=2x/（1+x2）cos3

=（1-x2）/（1+x2）第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2=arctan

[(A+l3sin3)/(B+l3cos3)](3-10’)构件3的角位移2为:3=2arctan

{[A±(A2+B2-

C2)1/2]/(B

-

C)}(3-10)ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=03.角速度分析

将位置方程对时间求1阶导数得速度方程为：（3-11）

式（3-10）中对应机构的两个位置。第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六式（3-11）联立求解，得杆3

的角速度ω3为：同理可得连杆2的角速度ω2

为：

求出的角速度为正时表示逆时针方向，为负时表示顺时针方向。（3-13）（3-12）4.角加速度分析将位置方程对时间求2阶导数得加速度方程为：ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=0第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六上两式联立求解，得摇杆4的角加速度α3为：（3-14）（3-15）同理可得2为：（3-16）第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

角加速度的正、负值表明角速度的变化趋势，角加速度与角速度同号时表示加速；反之则表示减速。ADCBl1l4l3l21432θ2θ1θ3ω1yx图3-10

铰链四杆机构θ4=0第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六§3-3-2机构运动分析的基本杆组分析法由平面机构的组成原理可知，任何机构可以看作是由若干个基本杆组依次连接于原动件和机架上而构成的。由于基本杆组的自由度为零，所以若给定其外接副的位置、速度、加速度，则该基本杆组内接副的位置、速度、加速度就随之确定。CABC12AB12ABC12(a)(b)(c)(b)(c)ABC12ABC12RRRRRPRPRPRPRPP第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六由于绝大多数机构都是由Ⅱ级杆组构成的，故这里仅介绍Ⅱ级杆组的运动分析。另外，下面这些运动分析公式可编写成子程序，以便于在进行计算机辅助机构分析时调用。因此，平面多杆机构的运动分析可归结为其基本杆组的运动分析。1.II级杆组的解析法

1)单杆(SSL)

单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。

第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六x2=x1+lcos，y2=y1+lsinx’2=x’1-lsin

’，y’2=y’1+lcos’x’’2=x”1-lsin”y’’2=y”1+lcos”

-lcos’2,-lsin’2x3=x1+rcos(+)，y3=y1+rsin(+)x’3=x’1-(y3-y1)’，y’3=y’1+(x3-x1)’x’’3=x”1-(y3-y1)”y’’3=y”1+(x3-x1)”-(x3-x1)’2,-(y3-y1)’2由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。

第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六2)RRR杆组

如图所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’1,x”1,y1,y’1,y”1，x2，x’2，x”2，y2，y’2，y”2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1,θ’1,θ”1,θ2,θ’2,θ”2。

(1)位置分析

将已知P1P2两点的坐标差表示为：

u=x2-x1，v=y2-y1

(1)

杆l1及l2投影方程式为：

l1cos1-l2cos2=u

l1sin1-l2sin2=v(2)第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六消去θ1得：

vsin2+ucos2+c=0(3)其中：c=(u2+v2

+l22-l12)/2l2解式(3)可得：

tan(2/2)=(v±v2+u2-c2)/(u-c)(4)

式中+号和-号分别对应图中m=+1和m=-1两位置。

由式(2)可得：

tan1=(v+l2sin2)/(u+l2cos2)(5)(2)速度分析

对式(2)求导一次得：

A1’1+A3’2=u’，A2’1+A4’2=v’(6)

其中：A1=-l1sin1，A2=l1cos1，

A3=l3sin2，A4=-l2cos2第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

解式(6)可得：1=’1=(A4u’-A3v’)/D，

2=’2=(A1v’-A2u’)/D(7)

其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(1-2)

(3)加速度分析对式(6)求导一次得：

A1”1+A3”2=E，A2”1+A4”2=F(8)

其中：E=u”+A2’12+A4’22，F=v”-A1’12-A3’22

解式(8)可得：

1=”1=(A4E-A3F)/D，2=”2=(A1F-A2E)/D(9)

由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六3)RRP杆组

如图所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（θ2,θ’2,θ”2）,P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，l’2，l”2，θ1，θ’1，θ”1。(1)位置分析

由于2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得：

l22+2(ucos2+vsin2)l2+(u2+v2-l12)=0

由此解得：

l2=-(ucos2+vsin2)±

l12

-(usin2-vcos2)2(10)第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（图中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段之内（图中m=-1的位置）,1由式(5)而定。

(2)速度分析对式(2)求导一次得：

A1’1+A5l’2=G，A2’1+A6l’2=H(11)

其中：A1，A2同前，A5=-cos2，A6=-sin2，

G=u’+l2A6’2，H=v’-l2A5’2解式(11)可得：

1=’1=(A6G-A5H)/D8

l’2=(A1H-A2G)/D8

(12)其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(1-2)第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

(3)加速度分析对式(11)求导一次得：

A1”1+A5

l”2=E1，A2”1+A6

l”2=F1

(13)

其中：E1=u”+A2’12+2A6l’2’2+l2A5’22+l2A6”2F1=v”-A1’12-2A5l’2’2+l2A6’22-l2A5”2

解式(13)可得：

1=”1=(A6E1-A5F1)/D8

l”2=(A1F1-A2E1)/D8

(14)

由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期六4)RPR杆组

如图所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离，P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，l2’，l2”，θ1，θ1’

，θ1”，θ2，θ2’

，θ2”。

(1)位置分析

1与2的关系为：

2=1±π/2(15)

式中+号和-号分别对应图中m=+1和m=-1两位置。

l1与l2有如下关系：

(16)第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

由式(4)和式(16)可得：

tan(2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2)(17)

(2)速度分析由于’1=’2，引进符号’i（i=1,2），对式(2)求导一次得：

A7’i

+A5l’2=u’，A8’i

+A6l’2=v’

(18)

其中：A7=-(l1-w)sin1+l2sin2A8=(l1-w)cos1-l2cos2解式(18)可得：

i

=’i

=(A6u’-A5v’)/(-l2)

l’2=(A7v’-A8u’)/(-l2)(19)第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

(3)加速度分析对式(18)求导一次得：

A7”i+A5l”2=E2，A8”i+A6l”2=F2

(20)

其中：E2=u”+A8’i2+2A6l’2’i，

F2=v’’-A7’i2-2A5l’2’i

解式(20)可得：i=”i=(A6E2-A5F2)/(-l2)

l”2=(A7F2-A8E2)/(-l2)(21)

由上述式子可设计出RPR杆组运动分析子程序（见程序单）。

在前面所有子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。

第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期六5)PRP杆组

如图所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ”1，θ2，θ’2，θ”2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l’1，l”1，l2，l’2，l”2）以及P3点的运动（x3，x’3，x”3，y3，y’3，y”3）。（1）位置分析推导l1，及l2的方程式：

x1+l1cos1+h1sin1=x2+l2cos2-h2sin2y1+l1sin1-h1cos1=y2+l2sin2+h2cos2第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期六其中：E1=u-A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，

A1=cos1，A2=cos2，A3=sin1，A4=sin2

。由于θ1，θ2均已知，由此解得：

l1=（F1cos2-E1sin2）/D8

l2=（F1cos1-E1sin1）/D8

(23)

其中：D8=A2A3-A1A4=sin（1-2)整理得：

l1cos1-l2cos2=E1

l1sin1-l2sin2=F1

(22)

P3点的位置为：

x3=x1+l1cos1+h1sin1y3=y1+l1sin1-h1cos1

(24)第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期六（2）速度分析对式（22）求导一次，整理得：

l’1cos1-l’2cos2=E2

l’1sin1-l’2sin2=F2

(25)其中：E2=u’+A6’1–A8’2，F2=v’-A5’1–A7’2

A5=l1cos1+h1sin1，A6=l1sin1-h1cos1A7=l2cosθ2-h2sin2，A8=l2sinθ2+h2cos2由（25）解得：

l’1=（F2cos2-E2sin2）/D8

l’2=（F2cos1-E2sin1)/D8

(26)P3点的速度为对式（24）求导得：

x’3=x’1+l’1cos1+A6’1y’3=y’1+l’1sin1-A5’1

(27)第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期六（3）加速度分析对式（25）求导一次，整理得：

l”1cos1-l”2cos2=E3

l”1sin1-l”2sin2=F3

(28)其中：E3=u”+2A3l’1’1+A5’12+A6”1–2A4l’2’2–A7’22–A8”2F3=v”-2A1l’1’1+A6’12-A5”1+2A2l’2’2–A8’22+A7”2

解（28）式得：

l”1=（F3cos2–E3sin2）/D8

l”2=（F3cos1–E3sin1）/D8(29)P3点的加速度为对式（27）求导得：

x”3=x”1+A1l”1-2A3l’1’1-A5’12-A6”1

y”3=y”1+A3l”1-2A1l’1’1-A6’12-A5”1

(30)由上述式子可设计出PRP杆组运动分析子程序（见程序单）第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期六6)RPP杆组

如图所示RPPⅡ级杆组中，已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动，h为外副P2至导路2的垂直距离，导路1的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ”1）已知，导路2与导路1间的夹角为。要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l’1，l”1，l2，l’2，l”2）以及导路中心P3，P4点的运动（x3，x’3，x”3，x4，x’4，x”4，y3，y’3，y”3，y4，y’4，y”4）。

推导l1，及l2的方程式：

x1+l1cos1+l2cos（1+）=x2+hsin（1+）

y1+l1sin1+l2sin（1+）=y2-hcos（1+）(1)位置分析第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期六整理得：

l1cos1+l2cos（1+）=E1l1sin1+l2sin（1+）=F1

(31)

其中：E1=u+A1h，F1=v–A2h，

A1=sin（1+），A2=cos（1+）。由于θ1

，

均已知，由此解得：l1=（E1sin（1+）-F1cos（1+））/D8

l2=（F1cos1-E1sin1）/D8

(32)

其中：D8=A1A4-A2A3=sin

，A3=sin1

，A4=cos1

P3、P4点的位置为：

x3=x1+l1cos1，y3=y1+l1sin1

x4=x2+hsin（1+），y4=y2-hcos（1+）(33)

第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期六

当给定P1、P2点的位置，杆长h的大小和导路的方向角θ1、

后，RPP杆组可能有两种形式，即图中的实线和虚线两种形式，这可用h为“+”（实线机构）和h为“-”（虚线机构）来确定。此外，从式（32）可以看出，为保证机构能够正常运动，两导路之间的夹角

不能为0，再考虑到加工和装配等因素以及摩擦的存在，工程实际中，一般要求sin0.1。

(2)速度分析对式（31）求导一次，整理得：

l’1cos1+l’2cos（1+）=E2

l’1sin1+l’2sin（1