初三上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

2019-2020学年九年级（上册）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2（x﹣1）＝4B．x2+＝2C．2x2+3x+1＝0D．x+y＝02．若A．（b+d≠0），则的值为（）B．C．1D．3．下列方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2+6x﹣5＝0B．3x2+6x+5＝0C．x2+4x+4＝0D．x2+2x+1＝04．下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形5．王师傅的蘑菇培育基地2017年产量是60吨，由于科学管理，产量逐年增加，2019年产量达到80吨如果每年的增长率相同，设增长率为x，那么可列方程（）A．60（1+x）2＝80C．60（1+2x）＝80B．80（1﹣x）2＝60D．60（1+x）+60（1+x）2＝1406．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点（不与A，B两点重合），下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④，能使△ABC∽△ACD的条件的个数为（）A．1B．2C．3D．47．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若中个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（）A．20个B．40个C．60个D．80个8．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（）1A．B．C．D．9．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．110．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边O在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的旋转，则第2019秒时，点P的坐标为（）D．速度沿顺时针方向A．（3，）B．（2，﹣1）二．填空题（共5小题）C．（，﹣3）D．（﹣1，2）11．为了检验某批足球的质量，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个．如果从这批足球中随机取出概率约为．12．若关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个相等的一个，那么这个足球合格的实数根，则k的值为．13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为．214．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为．证明如图，在“勾股弦方图”中，直角三“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为．三．解答题（共8小题）16．解下列方程：（1）x2+x＝0（2）2x2+4x﹣1＝017．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长．318．如图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）连接AC，设AC与BE交于点F，求∠BFC的度数．19．课堂上，蒋老师拿出了4张分别与有数字1，2，3，4的卡片（除数字外其他都相同），让同学们随机抽取两张，并计算这两张卡片上数字的和．（1）请用列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果；（2）求两张卡片上数字的和大于5的概率．20．某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件．若售价每降价1元，则每天可以多卖2件．设售价为x元，当天的销售量为y件．（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为；（2）在尽可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为．422．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE＝，连接AE，CG．（1）线段AE与CC的关系为；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长．23．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为矩形，请直接写出此时点H的坐标．达终点时，另一点顶点的四边形是5参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2（x﹣1）＝4B．x2+＝2C．2x2+3x+1＝0D．x+y＝0【分析】根据一元二次方程的定义进行判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A、是一元一次方程，故本选项不合题意；B、不是一元二次方程，是分式方程，故本选项不合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是二元一次方程，故本选项不合题意；故选：C．2．若（b+d≠0），则的值为（）A．B．C．1D．【分析】根据合比的性质进行解答即可．【解答】解：∵若（b+d≠0），∴＝．故选：A．3．下列方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2+6x﹣5＝0B．3x2+6x+5＝0C．x2+4x+4＝0D．x2+2x+1＝0【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．【解答】解：A、∵△＝62﹣4×1×（﹣5）＝56＞0，∴一元二次方程x2+6x﹣5＝0有两个不相等的实数根，A符合题意；B、∵△＝62﹣4×3×5＝﹣24＜0，∴一元二次方程3x2+6x+5＝0没有实数根，B不符合题意；C、∵△＝42﹣4×1×4＝0，∴一元二次方程x2+4x+4＝0有两个相等的实数根，C不符合题意；6D、∵△＝22﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，D不符合题意．故选：A．4．下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．5．王师傅的蘑菇培育基地2017年产量是60吨，由于科学管理，产量逐年增加，2019年产量达到80吨如果每年的增长率相同，设增长率为x，那么可列方程（）A．60（1+x）2＝80C．60（1+2x）＝80B．80（1﹣x）2＝60D．60（1+x）+60（1+x）2＝140【分析】设增长率为x，根据王师傅的蘑菇培育基地2017年及2019年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设增长率为x，依题意，得：60（1+x）2＝80．故选：A．6．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点（不与A，B两点重合），下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④，能使△ABC∽△ACD的条件的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个角三形相似与两组对应边的比相等且夹角对应7相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ACD＝∠B时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当∠ADC＝∠ACB时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC2＝AD•AB时，即，△ADC∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）．当时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似；∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是：①②③．故选：C．7．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若中个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（）A．20个B．40个C．60个D．80个【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发的生概率．【解答】解：设盒子里黄球约有x个，根据题意得：＝0.8，解得：x＝40，答：盒子里黄球约有40个；故选：B．8．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（）A．B．C．D．【分析】根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．8【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴AD＝BD，∴∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为∴＝＝即＝＝∴BC＝，，AC＝．故选：D．9．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，9如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，∴阴影部分的面积＝＝，故选：B．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边O在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为（）A．（3，）B．（2，﹣1）【分析】将矩形OABC绕点O以每秒45°的因为2019÷8＝252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，E，利用等腰直角∵将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，C．（，﹣3）D．（﹣1，2）360°÷45°＝8，8秒循环一次，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′速度沿顺时针方向旋转，三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∴8秒循环一次，∵2019÷8＝252余数为3，∴第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，由题意△P′C′F，△OEC′都是等腰直角三角形，∴OE＝C′E＝×4＝2，P′F＝C′F＝×2＝，∴P′（，﹣3），故选：C．10二．填空题（共5小题）11．为了检验某批足球的质量，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个．如果从这批足球中随机取出一个，那么这个足球合格的概率约为90%．【分析】用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：由题意，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个，所以这个足球合格的概率约＝90%，故答案为90%．12．若关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为6．11【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴＝，即，解得，AD＝6，故答案为：6．14．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为100．【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解．【解答】解：∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+（AE﹣7）2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，12所以所用细塑料棒的长度为：4（AB+AE）＝4（13+12）＝100．故答案为100．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为．【分析】由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，由勾股定理列出方程，可求AE的长．【解答】解：如图，∵AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将△ABE沿BE折叠，∴AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，∴A'D＝BD﹣A'B＝2，∵DE2＝A'E2+A'D2，∴（4﹣AE）＝AE2+4，2∴AE＝，故答案为：．三．解答题（共8小题）16．解下列方程：（1）x2+x＝0（2）2x2+4x﹣1＝0【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案；13【解答】解：（1）∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x＝0或x＝﹣1；（2）∵2x2+4x﹣1＝0，∴x2+2x＝，∴（x+1）＝，2∴x＝﹣1±；17．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长．【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得＝，可求AF＝EF＝3，即可求解．＝，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得【解答】解：∵点D是AB的中点，∴AB＝2AD＝2DB，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AC＝2AE，∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴＝，∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，∴EF＝AF＝3，∴AE＝6，14∴AC＝2AE＝12．18．如图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）连接AC，设AC与BE交于点F，求∠BFC的度数．【分析】（1）利用等边三角形的性质和正方形的性质可得∠BAE＝∠CDE＝150°，由“SAS”可证△ABE≌△DCE；（2）首先得出∠ABE＝∠AEB＝15°，【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，∵三角形ADE为正三角形，由外角性质可求解．∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠BFC＝∠ABE+∠BAC＝60°．19．课堂上，蒋老师拿出了4张分别与有数字1，2，3，4的卡片（除数字外其他都相同），让同学们随机15抽取两张，并计算这两张卡片上数字的和．（1）请用列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果；（2）求两张卡片上数字的和大于5的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数，分别列举出来即可；（2）先找出两张卡片上数字的和大于5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下共有12种等情况数，这两张卡片上数字的和分别是3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7；（2）∵共有12种等情况数，其中两张卡片上数字的和大于5的有4种，∴两张卡片上数字的和大于5的概率是＝．20．某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件．若售价每降价1元，则每天可以多卖2件．设售价为x元，当天的销售量为y件．（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180；（2）在尽可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？【分析】（1）设售价为x元，根据售价每降低1元，平均每月多售出2件．可得平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式；（2）根据销售利润＝一件毛衣的利润×销售童装的数量可得方程，利用方程求解．【解答】解：（1）设售价为x元，则平均每月的销售量y（件）与x满的足函数关系式为：y＝20+2（80﹣x），化简整理，得y＝﹣2x+180；故答案是：y＝﹣2x+180；（2）根据题意，得（x﹣40）（﹣2x+180）＝1200，解得x＝70，x＝60．12因为是尽可能增大销售量，所以x＝60符合题意．16答：这款毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为3．【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；平行四边形是菱形即可求解；②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，（2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示：（1）∵BD∥CE，CD∥BE，∴四边形BDCE是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴四边形BECD是矩形；（2）①当BE的长为时，四边形BECD是菱形．理由如下：17连接ED，与BC交于点O，∵四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BO＝BC＝3，OE＝AC＝2，∴根据勾股定理，得BE＝＝＝．故答案为．②连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PD＝PE，AP+EP最小，∴AP+PE＝AP+PD＝AD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，∴AF＝AC+CF＝6，∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD＝＝＝3．∴AP+EP的最小值为3．故答案为3．22．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE＝，连接AE，CG．（1）线段AE与CC的关系为AE＝CG，AE⊥CG；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长．18【分析】（1）延长AE交CG于点H，证△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证∠CHE＝90°，即可得出结论；（2）设AE与CG交于点H，证∴△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证，∠CHP＝90°，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，构造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM，可通过勾股定理分别求出ME，AM的长即可；当点E旋转到线段CG的延长过点D作DN⊥CE于点N，构造等腰直角三角形DNE和直角三角形CND，可通过勾股定理分别求出NE，CN的长，再求出CE的长，在Rt△AEC中通过勾股定理可求出AE的长．【解答】解：（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：线上时，如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，19

∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，∴ME＝MD＝DE＝1，在Rt⊈△AMD中，ME＝1，AD＝3，∴AM＝＝＝2，∴AE＝AM+ME＝2+1；如图3﹣2，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DN⊥CE于点N，则∠END＝90°，∵∠DEN＝45°，∴∠EDN＝45°，∴Rt△DNE是等腰直角三角形，∴NE＝ND＝DE＝1，在Rt⊈△CND中，ND＝1，CD＝3，∴CN＝＝＝2，∴CE＝NE+CN＝2+1，∵AC＝AD＝3，∴在Rt△AEC中，AE＝＝＝2﹣1，综上所述，AE的长为2+1或2﹣1．2023．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为出此时点H的坐标．多少秒时，△APQ的面积为16？顶点的四边形是矩形，请直接写21【分析】（1）根据已知得：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，对应边成比例且夹角相等即可证明；（2）作QE⊥y轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标．【解答】解：（1）根据题意，得当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，∴B（8，0），A（0，6），∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，∴＝＝，∠PAQ＝∠BAO，∴△APQ∽△ABO；（2）如图：过点Q作QE⊥OA于点E，在Rt△AOB和Rt△AQE中，sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，∴＝，∴QE＝t，22∴S＝AP•QE＝16，△APQ即×t×t＝16∴t＝2．答：那么2秒时，△APQ的面积为16．（3）如图：设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，∴PQ∥OB，∴＝，即＝，∴PQ＝，∴H（，6）．设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，当AP为矩形对角线时，23＝解得x＝∴Q′C＝＝．∴H（﹣，4）．所以点H的坐标为：（，6）．（﹣，4）．24九年级上学期期中考试试卷数学试题(考试时间：120分钟，满分120分)一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）yx122，下列说法中错误的是（1.关于抛物线）x1C.当B.对称轴是直线x＞1时，y随x的增大而减小D.顶点坐标为1,2A.开口方向向上2．如图，在⊙O中，圆心角B．78°C．39°D．12°的图像经过下列∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为()A．156°2yx2哪种平移，可以得到函数yx12的图像（）3.将函数A.先向左平移1个单位，B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4.如图，O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交再向上平移2个单位把直角三角板的直角顶点于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆A.10cmB．5cmC．6cmD．12cmyx22x4的图像，使y≤4成立x的取值范围是（玻璃镜的半径是()5.如图是二次函数）A.0≤x≤2B.x≤0C.x≥2D.x≤0或x≥26．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距为离d，若关于x的方程x－2x＋d＝02有实数根，则点P()A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°8．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠DB．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D259.如图P与y轴相切A．1B．1或5C．3D．5，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙，则平移的距离为()10如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的是____________．④C.②③D.①③④A.①③B.①二、填空题：请把最简答案直接填写在横线上(每小题3分，共18分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则它的外接圆的直径是cm.12.如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为O的弦AB的长等于⊙m.13．已知⊙14.如果抛物线y=ax2-2ax+5与y轴交于点A，那么此抛物线的15.若二次函数y=x2+2x+c的最小值是7，则它的图象与y轴的交点坐标是________16．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每月可卖出200件，如果每件商品的月少卖10件（每件售价不能高于72元）；每个月可获得最大利润是元。三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、20小题各6分，第19小题5分、．21小题共28分）17．在圆柱形油槽中加一些油后，截面如图。若油面宽度4dm，求圆的半径。O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为．对称轴是直线__________售价上涨2元，则每6分，AB=16dm，油的最大深︵︵18．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝50°，求∠AEC的度数19．如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.求证：CD为⊙O的切线；yxmxm2。20.已知二次函数2（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个交点。26（2）当二次函数的图像经过点（3,7）时，确定m的值，并写出此二次函数与x轴的交点坐标。21．如图所示，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．四、实践应用（本大题共3个小题，其中第22小题8分，第23题8分，第24题9分共25分）22.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的直角坐标系，抛1物线可以用y=-6x2+2x+4表示．(x.y的单位是米).（1）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度是8m，那么两排灯的水平距离是多少米？（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱高后为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？23.受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一，某市某服装厂每件衣服原材料的成本y（元）与月份x（x为整数）之间的一次函数关系如下表：路攀升月份x1234567成本（元/件）56586062646668（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y与x的函数关系式．（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服的销售量p（万件）与月份x满足关系式p=x+11该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．24.如图，△ABC中，C=90°，A=60°，AC=2，分别以三个内角的个角的对边相切，画出所有情形的图形，并直接写出每种情形的圆的半径。顶点为圆心作圆，使这个圆与这五、推理与论证（9分）25．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；27（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．六、拓展探究（10分）26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0），与P的坐标．（3）E的坐P在抛物线的对称轴上，且PAPC最大，求点若点标；数学试题答案1.C2.C3.C4.B5D6.D7B8D9B10A11.1312.20013.30°或者150°14x=115（0，8）16.3080元17.1018.65°19连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线20.（1）(m2)24>0（2）m=0,(2,0)21．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作E，求△ADE的面积．半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点图24－2－46解：设DE＝xcm，则CE＝(4－x)cm.∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝28AB＝4cm，∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(8－x)2＝42＋x解得x＝3.，21212∴S＝AD·DE＝×4×3＝6(cm2)．△ADE122.解：（1）令y=8，则-（x-6）2+10=8，解得x=6+23，x=6-23，612则x-x=43，所以两排灯的水平距离是43m．21（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）.22当x=2或x=10时，y=3＞6，所以这辆货车能安全通过；23.（1）y-2x+54(2)设利润为w万元，则w(100y8)p2(x4)2450,第4月利润最大，最大利润450万元24图略，半径为2，23,325．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．2926.分析(1)y1x2x4(3)设E（m,-m-m+4）12,四边形的面积为S,22则S（-m+2）212,当m=-时2，S=12，此时E(2,4)最大（2）连接A,并C延长AC，交对称轴于点P，此时PAPC最大可求直线AC的解析式为y=-2x则+可4求,P（-1,6）302019-2020年九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）2.已知关于x的方程3xxa0有一个根为-2，则a的值为（）2A.-2B.2C.2或-2D.0yx的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（）3.二次函数(4)5212A.向上，直线x=4，（x=-4，（-4,5）4.如图，点A,B,C是圆4,5）B.向上，直线x=-4，（-4,5）C.向上，直线x=4，（4,-5）D.向上，直线O上的三点，已知∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）度A.30B.40C.50D.60x2的自变量x的取值y5.函数范围是（）C.x≥2D.x≥2且x≠1x1A.X≤2B.x≤2且x≠16.已知关于x的一元二次方程210mxx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）2A.m＞-1且m≠0B.m＜1且m≠0C.m＜-1D.m＞12的正方形内接于圆M，则圆M的半径是（）7.边长为A.1B.2C.2D.228.下列命题中正确的有（）个①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等。A.1B.2C.3D.49.如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A’B’C，设点A.（-a，-b）B.（-a，-b-1）C.（-a，-b+1）D.（-a，-b-2）A的坐标为（a，b），则A’的坐标为（）yaxbxc的图象如图10.二次函数所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；2③2a+b=0；④a-b+c＞2。其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4第4题图第9题图第10题图31二、填空题yaxbxc的部分对应值如下表：11.二次函数2利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB的长为13.若一个圆为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是cm14.今年十一长假某公园旅游高峰，1.2万人，2.3万人，率相同且设为x，则根据题意可列方程为x的取值范围是12.如图所示，圆锥的底面半径第一天游客人数是第三天是假设每天游客增加的百分15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=43，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是第12题图第15题图三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分）16.（1）x24x50（2）(x3)(x3)2x617.如图，在边长为1的正方形组成的A，B的坐标分别是A（3,2）、B（1,3）。（1）画出△AOB向下平移3个单位后得到的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为点原，点△AO1B1，则点B1的坐标是1（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2,，请在图中作出△A2OB2，这时点A2的坐标是（3）在（2）中的求线段OA扫过的图面积。旋转过程中，形的322yxm18.已知二次函数2（1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1y2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）如图，此函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和。19.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的圆O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于E，交BD于F，连接DE。（1）判断直线DE与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，