2023年高等数学考研大总结之四导数与微分

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学考研大总结之四导数与微分第四章导数与微分第一讲导数一，导数的定义：

1函数在某一点0x处的导数：设()xfy=在某个()δ,0xU有定义,假如极限

()()0

lim

00→??-?+xx

xfxxf(其中()()

x

xfxxf?-?+00称为函数()xf在(0x,0x+x?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()xf在0x处的变化率)存在则称函数()xf在0x点可导.并称该极限值为()xf在0x点的导数记为()0/

xf

,若记()()

00,xfxfyxxx-=?-=?则()0/

xf=()()0

00lim

xxxxxfxf→--=0lim→???xxy

解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其肯定值

越大,则函数在该点附近变化的速度越快。

⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法:()0/

xf

,0/xxy=,0xxdx

dy

=。

⑶函数()xf在某一点0x处的导数是讨论函数()xf在点0x处函数的性质。⑷导数定义给出了求函数()xf在点0x处的导数的详细办法,即：①对于点0x处的自变量增量x?,求出函数的增量（差分）y?=()()00xfxxf-?+②求函数增量y?与自变量

增量x?之比x

y??③求极限0

lim

→???xxy

若存在,则极限值就是函数()xf在点0x处的导数,若极

限不存在,则称函数()xf在0x处不行导。

⑸在求极限的过程中,0x是常数,x?是变量,求出的极限值普通依靠于0x⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。

⑺注重:若函数()xf在点0x处无定义,则函数在0x点处必无导数,但若函数在点0

x处有定义,则函数在点0x处未必可导。

2单侧导数：设函数()xf在某个(]00,xxδ-（或[)δ+00,xx）有定义，并且极限

()()-→??-?+0lim

00xxxfxxf（或()()

+

→??-?+0lim0xx

xfxxf）存在，则称其极限值为()xf在0x点的左（右）导数，记为：()00/

-xf或()0/xf-（或()()0/0/,0xfxf++）。左导数和右导数

统称为单侧导数。

函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。

3函数在某一区间上的导数：⑴在()ba,可导：假如函数()xf在开区间()ba,每一点都可导，则说()xf在()ba,可导（描述性）。⑵在[]ba,可导：假如函数()xf在()ba,可导且

()()bfaf//,-+存在则说函数()xf在[]ba,上可导。

4导函数：假如函数()xf在区间I上可导，则对于随意一个Ix∈都对应着唯一一个（极

限的唯一性）确定的导数值()xf

/

，这样就构成了一个新的函数，称为函数()xfy=的导

函数。记为：()xf/或dxdy或()dx

xdf或/

y，由此可知函数()xf某一点0

x处的导数实质是在

点0x处的导函数值。解析：（1）区分()0/

xf

与()[]/0xf：()0/xf表示函数()xf在点0x处的导函数值，而()[]

/

0xf表示对函数值()0xf这个常数求导，其结果为零。

（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。

5可导与延续的关系：可导必延续，但延续不一定可导。二，导数的几何意义：当y=()xf表示一条曲线时,则()xf

/

表示曲线在()yx,点的切线的斜率，()xf/的正和负分

别表示曲线在该点是升高还是下降.()xf

/

的大小则表示曲线在该点的邻域起伏的程度,

()xf/越小说明曲线在该点的邻域近似水平,反之()xf/越大说明曲线在该点的邻域越陡,

起伏显然。

解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。

⑵过曲线y=()xf上的点(0x,0y)的方程:①切线方程y-0y=()0/

xf(x-0x).

②法线方程:y-0y=()

()00/

1

xxxf--

(()0/

xf≠0)

⑶假如点P(A,B)在曲线y=()xf外,那么过P点与曲线相切的切线有两条。

⑷若()0/

xf

=∞说明函数()xf的曲线在点0x处的切线与

x轴垂直。若

()0/

xf

=0则说明()xf的曲线在点0x处的切线与x轴平行。

三，导数的四则运算

假如函数()xuu=及()xvv=都在点x具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点x具有导数。

⑴()()[]()()xvxuxvxu/

//

±=±

⑵()()[]()()()()xvxuxvxuxvxu///

+=()[]()xkuxku/

/

=

⑶()()()()()()()()()02

/

/

/

≠-=??

????xvxvxvxuxvxuxvxu()()()()()02//

≠-=??????xvxvxkvxvk解析：和差积可推广为有限项即：⑴

()()()[]()()()xuxuxuxuxuxunn//2/1/21±±±=±±±

⑵()()()[]

()()()[]()()xuxuxuxuxuxuxuxuk

k

n

knn/

121/

21∑≡=四，几类函数的求导法则

1反函数的求导法则：假如函数()yfx=在区间yI单调且()0/

≠yf则它的反函数

y=()xf

1

-在区间(){}yxIyyfxxI∈==,也可导，且()[

]()

yf

xf

/

/

1

1=

-或

dy

dx

dxdy1

=即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

解析：⑴()0/

≠yf

且()yfx=在点y处延续。

⑵反函数求导法则的几何意义：因为()xf

/

是函数()xf的曲线上点x处的切线

与x轴正向夹角α的正切。而反函数()yfx=与y=()xf在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数()yfx=的自变量是y所以导数()yf/

就是y=()xf曲线上x的对应点y处的

同一条切线与y轴正向夹角β的正切，因此：()()

xf

yf

/

/

1=

即：α

βtan1

tan=

（α，β之和为

2

π）2复合函数的求导法则（链式求导）：假如()xgu=在点x可导，而y=()uf在点()

xgu=

可导，则复合函数()[]xgfy=在点x可导，且其导数为：

()()xgufdx

dy

//=或

dxdududydxdy=。解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与()xgu=和()xg在某点是否可导无关。⑵逐层分解为容易函数在求导，不重，不漏。

3隐函数求导法则：对方程()0,=yxF所确定的隐函数求导，要把方程()0,=yxF的两边分离对x求导即可。在求导过程中应注重y是x的函数，所以在对y或y的函数求导时应理解为复合函数的求导。

4参数方程求导法则：由参数方程()()

()βαψ?≤≤??

?==ttytx所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：

()()()

ttxf///

?ψ=。解析：注重理解()()()()()()[]

3//////////

/

2tttttdt

dxdtxdfydtdxdtdyyx??ψ?ψ-==?=。5对数求导法则：是求幂指数()

()xf

yx?=型导数的有效办法即：对函数()()xfyx?=的两

边同时取对数，然后按照对数的性质将作为指数的函数()x?化为与()xfln相乘的一个因子，再利用上述办法求导。

6两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。

⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于y轴的图形其对称点的切线也关于y轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行。五，常见函数的一阶导数⑴0/

=c（ｃ为常数）⑵()

1/

-=aaaxx⑶()

xx

aaa?=ln/

⑷()

xx

ee=/

⑸()a

xx

a

ln1

log/

=⑹()xx1ln/=

⑺()xxcossin/=⑻()xxsincos/-=⑼()x

xx22

/cos1sectan==⑽()x

xx2

2

/sin1csccot-=-=⑾()xxxtansecsec/=⑿()xxxcotcsccsc/-=⒀()2

/

11arcsinxx-=

⒁()2

/

11arccosxx--

=⒂()2

/

11

arctanx

x+=

⒃()2/11cotxxarc+-

=⒄()chxshx=/⒅()shxchx=/⒆()x

chxhthx22

/1sec==

⒇()x

shxhcthx22

/

1csc==（21）

()1

12

/

+=xarcshx（22）()1

12

/

-=

xarchx

（23）()2

/

11

xarcthx-=

六，高阶导数设()xf

/

是函数()xf在I上的导数，并且()xf/

也在I上可导，则称()xf在I上二阶可导，

并称()xf

//

的导函数是()xf在

I上二阶导数，记为：()xf

//

或

()

()xf

2，普通地，设

()

()()21≥-nxf

n是()xf在区间I上的()1-n阶导函数并且()

()xf

n1-也在

I上可导则称

()xf在I上ｎ阶可导，并称()

()xfn1-的导函数是()xf在区间

I上的ｎ阶导函数记为：

()

()xf

n当函数由()xfy=给出时()xf的ｎ阶导数也可表示为：()

,,nnndx

ydy()

()xf

n。若在

0x点的ｎ阶导数常记为：()

()()0000,,,xxdxxfdxxdxydxxyxf

x

nnnn

n===。解析：⑴规定函数()xf的零阶导数为函数()xf的本身。

⑵该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求某一函数的高阶导数时常用数学归

纳法。

⑶()xf的ｎ阶导数是由()xf的()1-n阶再一阶导而求得，所以其具有逐阶刻画的性质。

⑷高阶导数的常用求法：莱布尼茨(Leibniz)公式：

()

()

()()

kknn

kknnvuCuv-≡∑=0

[]bavu,,(∈上的ｎ阶延续函数）其绽开式为：()()()()nnnnnnuvvuCvuCvu++++--//

22/11。

七，常见函数的高阶导数⑴()()

0=nC（Ｃ为常数）⑵()()()()()n

an

a

x

naaaax-+=121

⑶()()()x

n

n

x

aaaln=⑷()()()kx

n

n

kx

a

akaln=⑸()()kx

nn

kx

ek

e=⑹()()x

n

x

e

e=

⑺(

)()()(

)

()n

nn

x

a

x

an?--=-ln!

11log1⑻()

()

()

()

()n

nnx

nx!11ln1--=-⑼()()??

?

??+=2sinsinπnxxn

⑽

()()?

?

?

?

?+=2sinsinπnkxkkxnn⑾

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnxxn⑿

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnkxkkxnn⒀

设

()

xgeykx=且

()

bxgaeykx+=/则有

()()

nbxgeaykxnn+=⒁设

()

xgeykx=且

()[]

cbxgkeykx++=/则有

()()[]ncnbxgekykxnn++=（⒀，⒁用同一函数的思想求ｂ，ｃ）⒂

()

[]

()(

)

()?ncbxeb

acbxeaxnnax

+++=+sinsin2

22

()

[]

()

(

)

()?ncbxebacbxe

axnnax

+++=+coscos2

22

（

其

中

2

22

2cos,sinb

aa

b

ab

+=

+=

??）

其次讲微分一，微分的定义

设()xf在点0x的某个邻域()δ,0xU