河南省信阳市百师联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题及参考答案

—2023学年度第二学期高一期中考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是待合题目要求的．1．集合，，则（）A． B． C． D．2．已知命题：，，则是（）A．， B．，C．， D．，3．已知为虚数单位，倍数，，则（）A．的共却夏数为 B．的虚部是C．为实数 D．4．设点，，不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．下列说法正确的是（）A．过空间中的任意三点有且只有一个平面B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C．空间中的三条直线，，，如果与异面，与异面，那么与异面D．若直线在平面外，则平面内存在直线与平行6．函数（，，）的部分图像如图，则（）A．， B．，C．， D．，7．设，，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中不正确的是（）A．正四棱柱一定是正方体B．圆柱的母线和它的轴不一定平行C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥10．下列选项中，与的值相等的是（）A． B．C． D．11．下列说法正确的有（）A．若，，则B．已知向量，，则C．若且，则和在上的投影向量相等D．若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为12．已知函数，实数，（）是函数的两个零点，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数则______．14．一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为______．15．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______．16．某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数（，），其中为虚数单位，且满足，且为纯虚数．（1）求；（2）若复数是关于的方程（，）的一个根，求实数，的值．18．（12分）如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．（1）求的大小；（2）求的面积．19．（12分）已知函数（，）的最小正周期为，且图象的一个对称中心为．（1）求的解析式；（2）设函数，求的单调增区间．20．（12分）如图所示，在正六棱锥中，为底面中心，，．（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；（2）若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．21．（12分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．（1）请用，表示向量；（2）若，设，的夹角为，若，求证：．22．（12分）已知函数，函数．（1）若是偶函数，求实数的值，并用单调性的定义判断在上的单调性；（2）在（1）的条件下，若对于，，都有成立，求实数的取值范围．2022—2023学年度第二学期高一期中考试数学参考答案及评分意见1．A【解析】因为，所以，所以．故选A．2．B【解析】因为全称量词命題的否定为存在量词命题，命题：，．所以是，．故选B．3．D【解析】对于A，，，故A错误；对于B，的虚部是2，故B错误；对于C，为虚数，故C错误；对于D，，故D正确．故选D．4．C【解析】设与的夹角为，当时，∵，∴，，∴，即，所以，因为点，，不共线，所以与的夹角为钝角；当与的夹角为钝角时，，所以．所以，即．所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．故选C．5．B【解析】对于A，当空间中的三点共线时，过这三点有无数个平面，故A错误，对于B，三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上把每部分分成3部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确：对于C，空间中直线、、，若与直线异面，与异面，则与可能异面，也可能共面，故C错误；对于D．由直线在平面外可知，或与相交．若，则内存在直线与直线平行；若与相交，则内不存在直线与直线平行．故D错误．故选B．6．B【解析】由题意可知，函数的周期为，，；函数的图象经过，所以，，，．因为，所以．故选B．7．B【解析】，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2．故选B，8．B【解析】在中，，因为，所以，设（），则，由正弦定理可知，，即，则，在中，，，又，则，故，所以．故选B．9．ABD【解析】对于A，正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对于B，根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对于C，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D，当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误．故选ABD．10．ABC【解析】，对于A，，故A符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C符合题意：对于D，，故D不符合题意．故选ABC．11．CD【解析】选项A，若，满足，，但与不共线，故A错误；选项B，因为向量，，所以，故B错误；选项C，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量，所以．故C正确；选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如图所示，则，故D正确．故选CD．12．BCD【解析】的零点即函数与图象交点的横坐标，作出图象，由图象可知，当时，两个函数图像有2个交点，且，即，化简可得，由，因为，所以等号取不到，可得，所以．综上可知，BCD正确，A错误．故选BCD．13．63【解析】因为，所以．故答案为63．14．【解析】在直观图中，是等腰梯形，，且，如下图所示；分别过点、作，，垂足分别为点、，由题意可知，所以，，同理可得，因为，，，则四边形为矩形，所以，，故，将直观图还原为原图形如下图所示：由题意可知，梯形为直角梯形，，，，，，因此，梯形的面积为．故答案为．15．60【解析】因为，，与的夹角为150°．所以，所以，得，又，设与的夹角为，所以，又因为，所以．故答案为60．16．30【解析】在中，在，在中，在，，，由正弦定理得，故，在中，在，又，则．故答案为30．17．解：（1）∵为纯虚数，∴，∵且，∴，，∴．（2）法一；因为复数是关于的方程（，）的一个根，所以把代入：．得，化简得：，即，解得：，．所以实数，的值分别为：，．法二：因为关于的方程（，）的一个根为，所以此方程的另一根为：，则，解得：，．所以实数，的做分别为．18．解：（1）在中．由正弦定理得．所以．因为为钝角，所以，（2）由（1）得．由题设，，即为等腰三角形．所以．，所以的面积为．19．解：（1）．因为，所以．因为的一个对称中心为．所以（）．解得（）．因为，所以，所以．（2）．因为在（）上单调避增．由（）．解得（）．所以的单调增区间为（）．20．解：（1）由条件可知正六边形的边长为4，所以底面积为．该正六棱锥的体积为．正六棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的高为：，一个等腰三角形的面积为：，故该正六棱锥的侧面积为．（2）球心一定在直线上，设球的半径为，则．又，所以，解得．所以球的表面积为：，球的体积为：．21．解：（1），由题意得，所以．（2）