高中数学教师经验交流及高中数学难点突破-难点27-求空间的角

高中数学教学经验交流发言稿各位老师：下午好！大家好！我是，来自。首先感谢给我们提供了这样一个互相交流和学习的机会，也非常感谢对我们学校数学教学工作的肯定。同时，我也感谢我校一中校领导一直对我们数学组的关心和支持;还有我们数学组的各位同仁，正是大家辛勤的劳动和团结一心，让我们在去年的高考中取得了一定的成绩！与此同时，我深深地懂得：作为一名数学教师、肩负着重大的数学使命和对未来的数学责任感。为了不辱使命，我只能在教学这片热土上，做到更加勤恳。作为一名高中数学教师，从教以来，一直致力于数学教学方法的探讨和改进，以下结合自己日常教学心得，对高中数学的课堂教学谈一点体会。不当之处，敬请指正。一、加强两纲研究，紧扣课本复习，注意新课程与大纲之间的关系“凡事预则立，不预则废”，在教育教学工作中，我们首先应该先做到认真研究《数学新课改考试纲要》与《考试说明》；仔细琢磨考题的命题特点、变化趋势；熟悉考试命题的题型与要求，明确题型分布，知识点的覆盖规律。让学生明确“考什么”、“怎么考”、“考多难”。要让学生把主要精力首先放在中档及其以下题目上，要在“会、熟、快、准”上下功夫。通过研析历年命题试题，我们发现源于课本的考题总在100分左右.那么怎样研究教材，用活教材，用好教材呢？1、钻研教材，追根溯源.

一句“用教材教，而不是教教材”的话不断在重复。事实上知识的发生与发展、延伸与交错、再生与裂变，在教材中早有它的脉络和雏形。这些课本上的例题、练习、习题就像散落的珍珠，只要经过老师的发现、打磨、提炼，它们就会变成学生所需要的项链。2、就地取材，锐意开发。

其实从某种意义上说考查学生的解题能力，也就是考查教师的研题水平。

研题一类是对他人试题的鉴赏，另一类是改题编题。

不懂得鉴赏，教数学就丢失了味道；不学会创新，教数学就失去了活力。紧扣课本复习问题上，要引导学生做好以下四点：复习每一个专题时，必须联系课本的相应部分。不仅要让学生弄懂课本提供的知识方法，还要弄懂公式的推导过程和例题的求解过程。（2）在训练中，如遇到障碍，要学生有查阅课本的习惯。通过课本，查明学生在知识和方法的缺陷；（3）关于答题表述，要求学生以课本为标准，通过课本来规范。（4）注意通过对课本题目改变设问方式，增加或减少变动因素，推广题目的训练功能。复习中同时要注意对新课程中与大纲教材有结合点，有变化点的知识，以更好在把握复习的要点。认真研究全国已经实施新课程的试卷特点，揣摩新课程卷的设计意图，深刻领会“能力立意”的命题指导思想；准确把握《考试大纲》的要求，对搞好高中数学教学和复习是十分有益的。

特别是对一些传统内容的新的考查方式，有其独特的复习功能。它既可作为复习课的例题、练习题、测试题，更可用作研究性教学的问题加以开发。

因此我们在数学学习中应研究和渗透新课程理念。二、尽量帮助学生纵横梳理知识和方法，形成一个条理化，有序化、网络化的利于提取的认知结构

良好的知识结构是高效应用知识的保证，对数学本质的正确认识是建构良好知识结构和认知结构体系的前提。狠抓基础，以课本为主，重新全面梳理知识、方法；注意知识结构的重组与概括，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出思想方法。高考数学试题十分重视对学生能力的考查，而这种能力是以整体的、完善的知识结构为前提的。这就要求学生把数学各部分作为一个整体来学习、掌握，而不机械地分为几块。这个特点不但在解答题中突出，而且也在选择题中有所体现。（1）对重点知识与重点方法要准确理解和渗透，如概念复习要作为首要，灵活运用好概念的内涵和外延，分清容易混淆的概念间的细微差别，提防误用或错用；全面准确把握好所用概念的前提条件，熟练掌握表示有关概念的字符、记号。（2）要注意通性通法，强调数学思想和方法，总结并反思自己在解题过程中怎样灵活运用函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想；怎样选择分析法、综合法、反证法、归纳法等逻辑学中的方法：是否熟练掌握配方法、换元法、待定系数法、同一法等具体数学的数学方法。做自我诊断，会什么？你是怎样处理问题的？（成功、失败）怎样把新题转化成为你熟悉的知识方法？掌握好数学思想方法，并发展成一种能力，在考试时就能游刃有余，战无不胜。（3）掌握中学数学贯通的观点，如在立体几何中用平面图形合成表现立体图形的观点；将立体图形分解转化为平面图形的观点；用关于形的逻辑思维统帅识图，做图的技能以形成空间想象能力的观点，学生运用好这些观点，就比较容易驾驭立体几何的解题。三、使学生从“模仿型”向“领悟型”的方向转化（1）注重双基，突出重点。真正理解概念、法则、公式、定理、公理的来龙去脉，不死记硬背。（2）提炼和运用数学思想，常能使解决问题事半功倍。因此，在复习过程中，我们应当努力挖掘知识内涵，提炼数学思想方法，逐步实现知识向能力的转化。（3）尝试发现方式、自主探索方式。在研究性学习的过程中，亲历发现知识，获得成功的体验，逐步启迪智慧，发展思维，开发潜能，提高素质。（4）倡导研究交流。包括老师与学生、学生与学生之间的交流，交流过程就是加强理解的过程。（5）进一步强化自学能力的提高和自学习惯的养成。学会阅读，学会正确获取信息、正确理解信息、正确运用信息，并将所掌握的信息转换成数学模型，学会综合运用所学的文化科学加以观察现实中与数学有关的问题，加以分析、判断，并将其解决。四、注意强调学生书写规范，合理运用答题策略在平时考试阅卷过程中，很多教师都为一些学生的书写不规范而失分感到可惜。因此，在解答题的答题过程中，教师一定要强调学生解答既要简单又要准确，要紧扣关键步骤，当然也要思路清晰明了，养成规范答题的习惯。要重视和加强解题策略的训练与研究，在平时要多给学生应试策略指导。如：（1）先易后难；先熟后生；先同后异（即先做同科同类型的题目，这样知识和方法的沟通比较容易，有利于提高效率）；先小题后大题；先点后面（高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面）；先高后低（即在考试的后半段时间，估计两题都会做，则先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”）；（2）审题要慢，解答要快，一慢、一快相得益彰；（3）确保运算、推理的准确性，立足一次成功，但也不放过检查得分这一环节。要善于不断积蓄解题经验，回顾反思，不断完善。有人说高分是学生学出来的，不一定是老师教出来的。其实我们认为老师对高分学生所起的作用更大、更重要。学生在学习中的思维方式、思维过程、语言表达等方面都要经过规范训练。五、增强师生关系，帮助学生改进学习方法。在课堂上，教师是学生的伙伴，帮助同学改进学习方法，提高学习效率，走出课堂，师生还应该是朋友，很多时候，学生还渴望在课堂教学以外，和教师做朋友，分担学习中的困惑，成长的烦恼，和成功的喜悦。所以，良性的师生关系，应该是亦师亦友，我的QQ里面，有很多是自己的学生，他们愿意和我交流，分享一个小小的秘密，有时候也能从自己的角度，给他们提供一些建议。直到毕业很多年了，还能保持联系，时不时开个玩笑，送个祝福，感觉也很温馨。关键的是，通过和同学的交流，了解他们所需，能更好的帮助他们，学生也会因为喜欢你，进而喜欢你所带的课程。各位老师，面对挑战，我们应满怀信心，更要从容应对。自信应来源于我们聪明和睿智的备考计划，应来源于我们坚持不懈的实践和行动。如果我的的点滴体会，如果能给您的工作带来益处，我将无比荣幸。今天，在各位老师和高手面前，舞刀弄枪、班门弄斧，不足之处，敬请批评指正。谢谢！难点27关于求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●难点磁场(★★★★★)如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.(1)求证：MN分别与α、β所成角相等；(2)求MN与β所成角.●案例探究［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形.∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos.(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.［例2］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.知识依托：向量的加、减及向量的数量积.错解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.∴BD1与AC所成角的余弦值为.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A. B. C. D.2.(★★★★★)设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.75°二、填空题3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.6.(★★★★)设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角A—BD—C的大小.7.(★★★★★)一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角A—BD—C的大小.8.(★★★★★)设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°；(2)若∠BAC=90°，二面角C′—AD—H为60°，求∠BAD的正切值.参考答案难点磁场(1)证明：作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.(2)解：设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0解得sin2θ=,sinθ=，当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°.歼灭难点训练一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角.答案：D2.解析：作AO⊥CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，∵AO=OD=a,∴∠ADO=45°.答案：B二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B，则AC=1，，OA=，BC=，OB=2，Rt△AOB中，AB2=6，△ABC中，由余弦定理，得cosACB=－.答案：－4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ=,∴θ=60°.答案：60°三、5.(1)解：因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=.∴PC=.(2)解：如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.∵CE=BD=，且PE=∴由余弦定理得cosPCE=∴PC与BD所成角的余弦值为.(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，即ADFG为矩形，DF⊥FG.在△PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，∴DF⊥PC从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，即二面角B—PC—D为直二面角.6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°(2)∵BC⊥DH，且