高等代数与解析几何第11章习题参考解答

PAGEPAGE4§11.1二次曲线的几何性质1、解（1）∵时,同时∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：（2）∵时和同时,∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：和（3）∵时,同时∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解（1）∵,∴曲线是中心曲线.由解得∴中心为（2）∵，,∴曲线为线心曲线。（3）∵，且,∴曲线为无心曲线。3、解（1）由解得中心由得渐近方向为，所以渐近线方程是和,即和（2）由解得中心,由解得渐近方向为X:Y=,所以渐近线方程是和即和4、解（1）∵,,∴,∴所求切线方程为即（2）∵∴不在二次曲线上；设过点的切线与已知二次曲线相切于，那么切线方程为①把代入切线方程得②又因在曲线上，把它代入曲线方程得③由②③解得切点为，代入①得切线方程为和5、解（1），,,特征方程为解得,求得对应的特征向量,,所以主方向是，,主直径是与,即与,就是与（2），，特征方程为，解得，求得对应的特征向量,,所以主方向是主直径为与,即与（3）,,,特征方程为，解得，,求得对应的特征向量是,所以非渐近主方向是,渐近主方向是,主直径只有一条，就是,即6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为，则因为是方程的唯一解，可设过的直线方程为①对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向，故①又表示与非渐近方向共轭的直径的方程。对于双曲型曲线，当①中的为非渐近方向时，①就是与共轭的直径方程；当为渐近方向时，方程①即为渐近线，可把它看成与自己方向共轭的直径。综上，第一结论得证。（2）对无心二次曲线，它只有唯一的渐近方向:，设任意平行于的直线方程为②要证明②是直径，要求②有如下形式：（）即③比较②，③得：④又由④求得为使②与③相容，只须证明上面求得的：假设则有从而有即与无心曲线的充要条件矛盾。所以综上所述，对任意平行于渐近方向的直线②，当取非渐近方向解（1），，所以二次曲线是双曲线。特征方程是，解得因此，简化方程是其标准方程是（2）二次曲线是椭圆。简化方程是标准方程是（3）二次曲线是两条相交直线。简化方程是标准方程是.（4）二次曲线是两平行直线。简化方程是标准方程是（5）二次曲线是椭圆。简化方程是标准方程是.3、就的值讨论下列方程所表示的曲线的类型：解（1），，，按不变量符号，讨论如下：当时，曲线是椭圆；当或且时，曲线是双曲线；当时，曲线为一对相交直线；当时，曲线是抛物线；当时，曲线是一对重合直线。（2），，，按这些不变量符号讨论如下：时曲线是椭圆;时曲线是抛物线;时，曲线是双曲线;时，曲线是一对相交直线;时，曲线是双曲线;时，曲线是一对虚平行直线;时，曲线是虚椭圆。4、试证中心二次曲线的两条主直径是且曲线两半轴的长分别是及证明：∵，，由题意知道曲线是中心二次曲线，从而，且中心就是（0，0）。同时，二次曲线的特征方程为：,解得特征根为，.显然，且若，则主直径就是x轴与y轴，这和所设矛盾，从而，可知。由于由特征根所确定的两个主方向为：.得两主直径方程为及.即和.为了求得曲线的两半轴之长，我们以两主直径为和轴进行旋转坐标变换：将其代入原方程得①其中，，它们均不为零，而且若d=0，则原曲线为两相交于原点的直线或者就是原点，此时命题显然成立。若，则方程①变形为即（其中的符号分别由与的符号决定），这曲线的两半轴正是题目所求证。5、试证方程表示一个圆的充要条件是证明：（必要性）若原方程表示一个圆，则经坐标变换后它可简化为，其中是特征方程的两个相等的实根。根据得知，同时圆属于椭圆型，显然满足。（充分性）若，，则，从而