实验人口预测与数据拟合

实验人口预测与数据拟合第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五实验13人口预测与数据拟合2、了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握用数据拟合法寻找最佳拟合曲线的方法。3、了解多元函数的极值在数据拟合法中的应用。实验目的1、学会用MATLAB软件进行数据拟合。4、通过对实际问题进行分析研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法。第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下：(人口数单位为：百万)（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。实验问题年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口数

541.67

602.66

672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口数

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五如何确定a,b?线性模型第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1、曲线拟合问题的提法:

已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=，使)(xf在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好，如图:

xy0++++++++一、曲线拟合确定f(x)使得

达到最小

最小二乘准则

第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五数据插值已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=

数据插值第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五２、用什么样的曲线拟合已知数据?拟合基函数：１．画图观察；２．理论分析指数函数类：

幂函数类：

拟合函数：——多项式拟合—指数函数拟合三角函数类：

拟合函数确定后，问题转化为最小值问题：第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五３、拟合函数组中系数的确定第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五MATLAB中的数据拟合命令简单使用格式：X=lsqcurvefir(@fun,x0,xdata,ydata);[X,res]=lsqcurvefir(fun,x0,xdata,ydata);功能：对数据xdata,ydata按函数fun(文件)，以x0为初值做最小二乘拟合。返回fun中的系数向量和残差平方和的范数。曲线拟合：lsqcurvefit第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五曲线拟合举例例：已知观测数据如下表所示求最小二乘意义的曲线f(x)拟合，其中：X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y3.13.273.814.55.1867.058.569.6911.2513.17第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五实验过程：编写拟合函数文件：functionf=nihefun(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3保存为nihefun.m编写下面的程序：——sy09_01.mxdata=0:0.1:1;ydata=[3.13.273.814.55.1867.058.56…9.6911.2513.17];x0=[000];[x,resn]=lsqcurvefit(@nihefun,x0,xdata,ydata)

xdata=0:0.01:1;nihef=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3;pauseplot(xdata,nihef)

第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五MATLAB中的数据拟合命令简单使用格式：p=polyfit(xdata,ydata,m);

功能：对xdata,ydata用m次多项式拟合。

返回：拟合多项式的系数向量p。（从高到低）y0=polyval(p,x0)可以求得多项式在x0处的值。由于高次多项式曲线变化不稳定，所以多项式次数的选取不宜过高。

多项式拟合：polyfit第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五多项式拟合举例例：已知观测数据如下表所示分别用3次和6次多项式拟合这些数据点。X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.311.2第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五实验过程：编写下面的程序：——sy09_02.m

x=0:0.1:1;

y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.66…9.569.489.311.2];plot(x,y,’k.’,’markersize’,25);p3=polyfit(x,y,3);p6=polyfit(x,y,6);

t=0:0.01:1.2;s=polyval(p3,t);s1=polyval(p6,t);holdonplot(t,s,’k-’,’linewidth’,2)plot(t,s1,’k--’,’linewidth’,2)gridon

第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五二、人口预测线性模型

对于开始提出的实验问题，代入数据，计算得从而得到人口数与年份的函数关系为把x=1999代如，估算出1999年的人口数为y=1252.1（百万）＝12.52亿1999年实际人口数量为１２.６亿。线性预测模型第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型。三、人口预测的Malthus模型基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数x(t)~时刻t的人口,t=0时人口数为x0指数增长模型实际中，常用第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1.由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。2.预测后100年（每隔10年）的人口状况。3.根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。美国1790年－1980年每隔10年的人口记录226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百万)1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百万)1880187018601850184018301820181018001790年份例１第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五解：取得最小值.其中,表示人口数量。表示年份,解方程组:即得参数的值.使得问题转化为求参数第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五％sy09_3.m%%Thisprogramistopredictthenumberofpopulation%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);

A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2];

ab=inv(A)*D;

disp('a=');disp(ab(1));

disp('b=');disp(ab(2));

fori=1:10

xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i));

end

fori=1:10

xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i));

end

plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-',t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');

第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五a=-49.79535457790735b=0.02859807120038拟合结果表明：人口的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。拟合曲线原始数据曲线第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五四、人口预测的Logistic模型如果人口的增长符合Malthus模型，则人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作了进一步分析后指出：导致上述不符合实际情况的主要原因是未能考虑“密度制约”因素。即最终导致地球上人口爆炸，这与实际是不相符的。且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五假设r~固有增长率(x很小时)k~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五例2中国人口预测yearpopupopu_fit19718.5238.61919728.7188.76019738.9218.90119749.0869.04219759.2429.18319769.3729.32419779.4979.46619789.6269.60719799.7549.74919809.8719.890198110.00710.031198210.16510.172yearpopupopu_fit198310.30110.313198410.43610.453198510.58510.593198610.75110.732198710.93010.871198811.10311.009198911.27011.147199011.43311.284第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五中国人口Logistic模型—zgrk_lgstic.mclear;clc;clfloadzgrk_data;k=19;cpopu1=1./cpopu-1/k;n=15;a=sum(year(1:n));b=sum(year(1:n).*year(1:n));c=sum(log(cpopu1(1:n)));d=sum(year(1:n).*log(cpopu1(1:n)));A=[na;ab];B=[c;d];p=inv(A)*Bx=1971:2006;y=1./(1/k+exp(p(1)+p(2)*x));cpopu_new=[11.582,11.717,11.852,11.985,12.112,12.239,...

12.363,12.476,12.519,12.634,12.763,12.845,12.923,...

12.999,13.076,13.145];cpoputj=[cpopu,cpopu_new];

scatter(x,cpoputj,'k*')axis([19712010615]);grid;holdon；plot(x,y,'r-','linewidth',2)fprintf('yearpopupopu_fit\n');fori=1:20year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i))endfprintf('==============\n');fprintf('yearopu_tjpopu_pred\n');fori=21:36year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i));end第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五中国人口预测的Logistic模型结果：假设中国人口容纳量为19亿时，Logistic模型为：年份201020152020人口数（亿）13.798914.342214.8458第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五多项式拟合人口模型——sy09_04.m%Thisprogramistopredictthemodelofpopulationby4-degreepolynomial%%prog42.m%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];t=[t1;t2];P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];P=[P1;P2];n=4;%Thedegreeofthefittingpolynomial%[a,s]=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%aisthecoefficientsvectorfromn-degreeto0-degree%plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五a=1.0e+006*-0.000000000000140.0000000