初三数学圆的综合复习题

一、本章知识框架二、本章重点1．圆定义：(1)线段OA绕着它一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点距离等于定长点集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O外；d＝r点P在⊙O上；d<r点P在⊙O内．3．与圆关于角(1)圆心角：顶点在圆心角叫圆心角．圆心角性质：圆心角度数等于它所正确弧度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交角叫做圆周角．圆周角性质：①圆周角等于它所正确弧所正确圆心角二分之一．②同弧或等弧所正确圆周角相等；在同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧相等．③90°圆周角所正确弦为直径；半圆或直径所正确圆周角为直角．④假如三角形一边上中线等于这边二分之一，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形对角互补；外角等于它内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切角叫弦切角．弦切角性质：弦切角等于它夹弧所正确圆周角．弦切角度数等于它夹弧度数二分之一．4．圆性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中任意一组相等，那么它所对应其余各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心任一直线都是它对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确两条弧．(2)平分弦(不是直径)直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧．(3)弦垂直平分线过圆心，且平分弦正确两条弧．(4)平分一条弦所正确两条弧直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹弧相等．5．三角形内心、外心、重心、垂心(1)三角形内心：是三角形三个角平分线交点，它是三角形内切圆圆心，在三角形内部，它到三角形三边距离相等，通惯用“I”表示．(2)三角形外心：是三角形三边中垂线交点，它是三角形外接圆圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点距离相等，通惯用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线交点，在三角形内部；它到顶点距离是到对边中点距离2倍，通惯用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线交点．6．切线判定、性质：(1)切线判定：①经过半径外端而且垂直于这条半径直线是圆切线．②到圆心距离d等于圆半径直线是圆切线．(2)切线性质：①圆切线垂直于过切点半径．②经过圆心作圆切线垂线经过切点．③经过切点作切线垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆切线，这一点和切点之间线段长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆两条切线，它们切线长相等，这一点和圆心连线平分两条切线夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上四边形叫圆内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆位置关系：设⊙O半径为R，点O到直线l距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d<R．9．圆和圆位置关系：设半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上全部点在另一个圆外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆连心线垂直平分公共弦，相切两圆连心线经过切点．11．圆中关于计算：圆面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l扇形面积．弓形面积要转化为扇形和三角形面积和、差来计算．圆柱侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l圆柱体积为，侧面积为2πRl，全方面积为．圆锥侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h圆锥侧面积为πRl，全方面积为，母线长、圆锥高、底面圆半径之间有．【经典例题精讲】例1如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采取尝试方法，在上再取几个符合条件点试一试，观察P点位置改变，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题利用垂径定理进行推断．例2以下命题正确是()A．相等圆周角正确弧相等B．等弧所正确弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等圆周角所正确劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合弧，所以B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)直径垂直于此弦．故选B．例3四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD长．例4为了测量一个圆柱形铁环半径，某同学采取以下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°三角板和一个刻度尺，用如图23-4所表示方法得到相关数据，进而能够求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环半径是__________cm．分析：测量铁环半径方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形知识进行合作处理，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°角，这个角另一边与OP交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆知识处理实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5已知相交于A、B两点，半径是10，半径是17，公共弦AB＝16，求两圆圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB同侧(如图23-9)，设延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．

三、相关定理：1.相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成两段积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例1．已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于函数关系式为

。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦二分之一是它分直径所成两条线段百分比中项说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB例2．已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即

，（舍）由切割线定理，

由勾股定理，∴

∴∴四、辅助线总结1.圆中常见辅助线1）．作半径，利用同圆或等圆半径相等．2）．作弦心距，利用垂径定理进行证实或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间关系进行证实．3）．作半径和弦心距，结构由“半径、半弦和弦心距”组成直角三角形进行计算．4）．作弦结构同弧或等弧所正确圆周角．5)．作弦、直径等结构直径所正确圆周角——直角．6)．碰到切线，作过切点弦，结构弦切角．7)．碰到切线，作过切点半径，结构直角．8)．欲证直线为圆切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证实直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证实垂线段长等于圆半径．9)．碰到三角形外心常连结外心和三角形各顶点．10)．碰到三角形内心，常作：(1)内心到三边垂线；(2)连结内心和三角形顶点．11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．12)．遇两圆相切，常过切点作两圆公切线．13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形一条直角边．2、圆中较特殊辅助线1)．过圆外一点或圆上一点作圆切线．2)．将割线、相交弦补充完整．3)．作辅助圆．【中考热点】近年来，在中考中圆应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中热点，也是难点．例1(·北京市)如图23-10，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，假如AB＝10，CD＝8，那么AE长为()A．2 B．3C．4 D．5分析：连结OC，由AB是⊙O直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去)．答案：A．

例2(·北京市)如图23-11，CA为⊙O切线，切点为A，点B在⊙O上，假如∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()A．35° B．90°C．110° D．120°分析：由弦切角与所夹弧所正确圆心角关系能够知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．例3(·北京市)假如圆柱底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A．B．C． D．分析：圆柱侧面展开图是矩形，这个矩形一边长等于圆柱高，即圆柱母线长；另一边长是底面圆周长，所以圆柱侧面积等于底面圆周长乘以圆柱高，即．答案：B．

例4(河南省A卷)如图23-12，在半径为4⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．(1)求EM长．(2)求sin∠EOB值．简析：(1)由DC是⊙O直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．(2)过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF＝1(OE＝EM＝4)，即，则．

例5(·山西省)如图23-13，AB是⊙O直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x方程(其中m为实数)两根．(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A度数．简析：(1)由BE、BD是关于x方程两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以．在Rt△ACB中，，故∠A＝60°．

历届中考题目1．(·青海省)⊙O半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD距离为()A．2cm B．14cmC．2cm或14cm D．10cm或20cm2．(·吉林省)如图23-14，⊙O直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP长取值范围是_________．3．(·北京西城区)如图23-15，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么以下结论不正确是()A．CE＝DE B．C．∠BAC＝∠BAD D．AC>AD4．(·北京市丰台区)在直径为52cm圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所表示，假如油最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．5．(·荆门市)如图23-17，点A是半圆上一个三等分点，B点是中点，P为直径AMN上一动点，⊙O半径为1，则AP＋BP最小值为()A．1 B．C． D．6．(·陕西省)给出以下命题①任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆．②任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形．③任意三角形一定有一个内切圆，而且只有一个内切圆．④任意一个圆一定有一个外切三角形，而且只有一个外切三角形．其中正确说法有()A．1个B．2个C．3个 D．4个7．(·泉州市)圆内接四边形ABCD中，∠A︰∠C＝1︰3，则∠C＝_________．8．(·曲靖市)以下判断：(1)分式方程无解；(2)直径是弦；(3)任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆；(4)圆内接四边形任意一个外角等于它内对角；(5)长度相等弧所正确圆心角相等．其中正确个数有()A．1个B．2个C．3个 D．4个9．(·盐城市)如图23-19，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径圆与斜边AB只有一个公共点，则R取值范围是________．10．(·金华市)如图23-20，C是⊙O直径AB延长线上一点，过C作⊙O切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD．请依照图中所给出已知条件(不再标注或使用其余字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确结论_________________．11．(·连云港市)两圆半径长分别是R、r(R>r)，圆心距为d，若关于x一元二次方程有相等实数根，则