平面向量的极化恒等式(解析版)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1极化恒等式：a-b=}j[(a+b')2—(a—b)2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1.平行四边形模式：如图(1),平行四边形ABCD,O是对角线交点.贝9：(1)A1AD=4[|AC|2—BD|2]・3■三角形模式：如图(2),在N4BC中，设D为BC的中点，贝yABAC=|AD|2—|BD|2.三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤取第三边的中点,连接向量的起点与中点；利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；求中线及第三边的长度,从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】TOC\o"1-5"\h\z[例1](1)(2014・全国口)设向量a,b满足|a+b|=i/10|a—b|=./6，则a-b=( )A．1 B．2 C．3 D．5答案A解析通法由条件可得，(a+b)2=10,(a—b)2=6,两式相减得4ab=4,所以a・b=l.极化恒等式a・b=4〔(a+b)2—(a—b)2]=1(10—6)=1.(2)(2012・浙江)在KABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10，贝yABAC= .答案一16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：AB・AC=|AM]2—4|BC|2=9—4"00=—16．⑶如图所示，AB是圆O的直径，16．⑶如图所示，AB是圆O的直径，P是AB上的点，M,N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB=6,MN=4,则PMPN=( )A．13 B．7C．5 D．3答案c解析连接ap,,p,则jPM=PA+AM,FN=PB+BN=PB—AM,所以pm^pN=(pa+am)-(pb如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD,AD边上的中点，则EFFG+GHHE=解Q3-202解Q3-202连结eg,fh,交于点o,则ef・fg=ef・eh=e&—加=1—3=4,gh・he=：1—(2)=4,因此左方^凤十GH・HE=2.(2016•江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.BA・CA=4,=-1，则be・ce的值为 7答案8解析极化恒等式法设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n•根据向量的极化恒5 13等式，有ABAC=AD2—DB2=9n2—m2=4,FBFC=FD2—DB2=n2—m2=—1.联立解得n2=8,m2=~8•因此EB・EC=ED2—DB2=4n2—m2=8・即BE・CE=8・坐标法以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy,如图：设A(3a,3b),B(-c,0),C(-c,0),则有E(2a,2b),F(a,b)BACA=(3a+c,3b)・(3a—c,3b)

=9a2—C2+9b2=4BF・CF=(a+c,b、(a_c,b)=a2—c2+b2=—1,贝寸a2+b2=§，c2=gbBE'CE=7(2a—c,2b)•(2a—c,2b)=4a2—c2+4b2=§.D CD C基向量BA^CA=(DA—DB)(DA—DC)=^AD2—BC2=36FD2—BC2=4,bF^cF=(dF—db)(df—dc)4FD2—BC2=—i,因此fD2==8,產=学臨盘二血—禹血:—说尸聖牛—恥KFD2-BC27在梯形ABCD中，满足AD//BC,AD=1,BC=3,AB•DC=2,贝贬CBD的值为 答案4解析过A点作AE平行于DC,交BC于E,取BE中点F,连接AF,^D点作DH平行于AC,交BC延长线于H,E为BH中点，连接DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-BD=-DB-DH=BE2—DE2=4—DE2,又FE二BE-BF二1,AD/BC,则四边形ADEF为平行四边形，AF二DE,AC-BD=1FEC【对点训练】DE•dDA=|do|2—|ao|2=1DE•dDA=|do|2—|ao|2=12+Qx)21.答案1解析取AE中点O,设|AE|=x(0<x<1)，则|AO|=|x,1—4x2=1«B2•如图，MOB为直角三角形，OA=1,OB=2,C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则AP•OP=BA．1

2•答案B2•答案B解析取AO中点0,连接PQ,乔•dP=PA.pO=PQ2—AQ2=~16—4=16.3.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3,OC=5,若ABAD=—7,则BtDC的值是 •答案9解析因为AB^AD=AO2—OD2=9—OD2=—7^OD2=16,所以BC•DC=CO2—06=25—16=9.已知点A,B分别在直线x=3,x=1上，|0A—0B|=4,当|OA+OB|取最小值时，OA・OB的值是 A.0 B.2 C.3 D.64.答案C解析如图，点A,B分别在直线x=1,x=3上,|AB|=4,当|OA+OB|取最小值时，AB的中点在x轴上，0A・0B=0M2—BM2=4—4=0.5.在边长为1的正三角形5.在边长为1的正三角形ABC中，D,AlB.IE是边BC的两个三等分点（D靠近点B）,则ADAE等于（ ）13 1C.血 D.35.答案C解析解法一：因为D,E是边BC的两个三等分点，所以BD=DE=CE=15.答案C解析1 1 7 7 7AD2=BD2+AB2—2BD・AB・cos60。 2+12-2x1x1x2=9，即AD=*~，同理可得AE=〒，在HADE7昇_山2中,由余弦定理得cosZDAE=AD22AAEA—DE2=9v7.37=14,所以ADAE=|AD|・|AE|cosZDAE=¥2x”\'713 13xx=3 14 18-解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A（0,号3）,D（—”，0）,E（60所以ad=(_6_号—1，所以aD-ae=6,_丄所以ad=(_6_号—1，所以aD-ae=6,_丄,3=13—36十4=186．6．极化恒等式法取EF中点M,以AE-AF=|x1+|x4=i0.如图，在平行四边形ABCD中,7．A．44B．22C．24D．72已知AB=8,AD=5,CP=3PD,Ap-Bp=2,贝yABAD的值是（ ）6’TOC\o"1-5"\h\z—— 3 1 13极化恒等式法取DE中点F,连接AF,则AD・AE=|AF|2—|DF|2=7—36=正.在△ABC中，|Ab+Ac|=|Ab—Ac|,AB=2,AC=1,e,F为BC的三等分点，贝yAE・AF等于（ ）A8 10 25 26A.9 g Cg D・g答案b解析坐标法由|AB+Ac|=|AB-Ac|,化简得AB-Ac=o,又因为ab和ac为三角形的两条边，它们的长不可能为0,所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形•以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为尹轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E(|,寸，fQ,3),所以AE=(2，D，Af=(|,扌)，所连接am,则Ae-Af=|am12—|em12=4—356=10.7．答案B解析如图，取AB中点E,连接EP并延长，交AD延长线于F,AP・BP=EP2—AE2=EP7．—16=2,.•・EP=3p2，又•:CP=3PD,AE=eB,AB=DC,:.AE=2DP，即△FAE中，dp为中位线，AF=2AD=10,AE=*AB=4,FE=2PE=6、［2,AP2=40,AD・AB=AF・AE=AP2—EP2=4O—（3\；2）2=8．如图，在△ABC中，已知AB=4,AC=6,ZA=60°,点D,E分别在边AB,AC上，且aB=2AD,AC=2AE,若F为DE的中点，则BFDE8．答案4解析取BD的中点N,连接NF,EB,则BE丄AE,ABE=2飒在A)EB中.FNII|eB.AFNN=、密.BF<=2FB =2(FN2-DN2)=4.NC9•如图，在AABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°D为边BC的中点，若CD丄AD,垂足为E,贝qeIiC= .27 _d_d答案—〒解析由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB•・cosl2=19,即BC=価，因为DtCAD2-CD2=AB|AC||・cosl2=°-3，所以ADl=¥，因为S^ABC=2S^ADCT时AB|AC||・sinl2=2*Ad|CeI,解得Ce|=3721，在RtA)EC中，De|=\/cd2-ce2=5^，所以eI•:=Ed2-Cd2=―号.C10.在平面四边形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，且AB=1,EF=-2,CDC10.在平面四边形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，且AB=1,EF=-2,CD=翻，若AlDBC=15.则ACCBD的值为 .10・答案解析极化恒等式如图，EF,KI,HJ三线共点于0，:AD取AB,AC,CD,BD中点H,I,J,K,四边形ABCD中，易知15HO2IO2,又TACBD4HEHF4BC15HKHI4HO2FO2,在EFI中,•/EFv2,EI丹12,由中线长公式知a扌,从而H°24疋BD=4(42)14CC基向量法-/2EFABDCABDC1,TADBC15,4eF2AB2疋22ABDC,又AB=1,DC基向量法-/2EFABDCABDC1,TADBC15, > > > > > > > > > > >Q(ACCD)(BDDC)15,则ACBDACDCCDBDDC2=15,可化为AC-BD+（4B+BC）•DC+CD•匕+CD）-5=15,AC-BD+AB-DC=15,故AC-BD=14．考点二平面向量数量积的最值（范围）问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值（范围）问题的步骤（1）取第三边的中点，连接向量的起点与中点；（2）利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；（3）求中线长的最值（范围），从而得到数量的最值（范围）．积化恒等式适用于求对共起点（终点）的两向量的数量积的最值（范围）问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点（终点）的两向量的数量积的最值（范围）问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值（范围）时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值（范围），通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值（范围），从而得到数量的最值（范围）．【例题选讲】TOC\o"1-5"\h\z[例1]（1）若平面向量a,b满足|2a—b|W迈，则ab的最小值为 ・9 1 1 02－32 9答案一8解析a・b=8〔（2a+b）2—（2a—b）2]=8〔|2a+b|2—|2a—b|2]2—8—=—8-当且仅当|2a+b|3 3 9=0,|2a—b|=3,即|a|=4，|b|=2<a,b>=n时，ab取最小值一§・（2）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1,3,点B,C分别在m,n上，|AB+AC|=5，贝iJABAC的最大值是 ・21答案才解析坐标法以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为尹轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,如图：则A（0，3）,C（c,0）,B（b,2）,则AB=（b,—1）,AC=（c,—3）,从而（b+c）2+（—4）2=52，即（b+c）2=9,又ACA=bc+J）$+3=241,当且仅当b=c时，等号成立.极化恒等式连接bc,取bc的中点d,ab^acC=ad2-bd2,又ad=|IAb+AcI=2，故ab-aC=^525 1 21—BD2=25—BC2,又因为BCmn=3-1=2,所以血心max=7，⑶(2017•全国⑶(2017•全国II)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA^(PB+PC)的最小2)－(．是值答案B方法一答案B方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A,,,C三点的坐标分别为A(0,B(-1,0),C(1,0).设P点的坐标为(x,y),图①则PA=(—x,过3—y),PB=(—1—x,—y),PC=(1—x，—y),•：PA・(PB+PC)=(—x,岑3—y)・(一2x,

—2y)=2(x2+y2—{5y)=2x2+(—^2)—才］三2x(—j=—2•当且仅当x=0,y=时，PA・(PB+PC)取3得最小值，最小值为—2.故选B.要使PAPD最小，则要使PAPD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则(2PAPD)min—2|PA||PD|,问题转化¥¥=诵,A|PA||PD|<(|^|+|PDI为求|PA||PD|的最大值.又当点P在线段AD上时,|PA|+|PD|=|AD|=2X2=3 丁 丁 丁 丁 丁 3 32=4,.[pa•(PB+Pc)]min=(2PA•pD)min=—2X4=—2.故选B-

极化恒等式法设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM,.・.PA・(PB+PC)=2pDPA=2pM1 3 3|2—2AD|2=2|PMi2—2^—2当且仅当m与p重合时取等号.AA已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点，贝恆1扇的取值范围是答案［—2,6］解析取AB的中点D,连接CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2羽.又由极化恒等式得：PAPB=|PD|2—4|AB|2=|PD|2—3,因为P在圆O上，所以当P在点C处时,|PD|max=3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1交点处时，|PD|min1,所以PA^PBG[—2,6].(5)如图，已知P是半径为2,圆心角为3的一段圆弧AB上的一点，若AB=2BC,则PCPA的最小值为答案5—2\元解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴,AB的垂直平分线所在的直线为尹轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(—1,3),C(2,'3),设P(2cos0,2sin〃)(扌三屋£)，则PC・PA=(2—2cos&,y［3—2sin0)・(一l—2cos0,V^—2sin0)=5—2cos0—4V3sin^=5—^/13sin(^+^),其中Ovtan0=¥<^，所以0<0<6，当0=—时，PC・PA取得最小值，为5—2历.极化恒等式法设圆心为O,由题得AB=2,AAC=3.取AC的中点M,由极化恒等式得PCPA=PM2—AM2=PM2—9,要使PCPA取最小值，则需PM最小，当圆弧AB的圆心与点P,M共线时，PM最小.易知DM=2，・・・OM=^J(1)2+(问2=宇,所以PM有最小值为2—年，代入求得PCPA的最小值为5—(6)在面积为2的△ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点P在直线EF上，则PCPB+BC2的最小值是 .

答案2翻解析取BC的中点为D,连接FD,则由极化恒等式得PC^Pb+BC2=PD2^42+bC2=戸办2+晋』警十晋2，此时当且仅当AD丄BC时取等号，死・扇+貳2＞警+3汽2^“23"°22近2

=h另解取BC边的中点M,连接PM,设点P到BC边的距离为h则S^BC=2^lBcl-2h=2^lBclPM>h,所以Pi-Pt+BC2=[pM12—^4BbC2^+BBC2=PM2+~^^2=PM2+j3；>h2+3(当且仅当"PM=2

=h=1月时，等号成立=1月时，等号成立）【对点训练】1.已知AB是圆O的直径，AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（PA+PB）PC的最小值为（）A111A.—4 B.—3 C.—2 D.—11.答案c解析PA+Pb=2po,a（PA+Pb）^PC=2po^PC，取oc中点d,由极化恒等式得，POPC=|PD|2—|CD|2=|PD|2—4，又|PD|min=0，••・（PA+Pi）PC的最小值为一2・P2.如图，设A,P2.如图，设A,B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则COCB的取值范围是（ ）A.[—1，3] B.[1，3] C.[—3，—1] D.[—3，1]2.答案A解析建立平面直角坐标系如图所示，可得0(0,0),A(-2,0),C(-1,0),设B(2cos6,2sin0).6丘[0,2n).则CO•CB=(1,0)・(2cos6+1,2sin6)=2cos6+1[-1,3].故选A.极化恒等式法连接05取OB的中D,连接CD,则花・0B=|CD|2—|BD|2=CD2—1,又|CD|min=0,的最小值为一1.|cd|2=2,・・・C0・CB的最大值为3.max3•如图，在半径为1的扇形AOB中，/AOB=g,C为弧上的动点，AB与OC交于点尸，则0>•丽的最小值为 ．3.答案-七解析取OB的中点D,连接FD,则0P•BP=|PD|2—|0D|2=|PD|2^4,于是只要求求PD的最小值即可，由图可知，当PD丄AB,时，PD=¥，即所求最小值为一^.3(2020・天津)如图，在四边形ABCD中，ZB=60。，AB=3，BC=6，且AD=ABC，ADAB=—㊁，则实数A的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1,则DMDN的最小值为 ADB MNC1 134.答案6~解析第1空因为AD=ABC,所以AD//BC，则ZBAD=120。，所以ADAB=|AD|・|AB|・COS120°=—|,解得|AD|=1.因为AD,BC同向，且BC=6，所以AD=BC,即A=*.第2空通法在四边形ABCD中，作AO丄BC于点O,则BO=AB・cos60。=扌,AO=AB・sin60°=^.以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图，设M(a,0),不妨设点N在点M右侧，则N(a+1,0),且一3<a则N(a+1,0),且一3<a<7.又d(1, 所以DM=(a—l,—3^3)，DN=^a,—3^^j,所以iDMD^Na2—a+^Ja—少+岁l l3所以当a=2时，DM・DN取得最小值㊁.5．答案1-3、呂8解析取mn的中点P，则由极化恒等式得CM-CN=|CP|2MN2CP2极化恒等式法如图，取mn的中点P,连接pd,则DM・DN=PD2—Mp2=PD2—4当PD丄炭时，pD27 l3|2取最小值寸,所以DMDN的最小值为C在△ABC中，AC=2BC=4,ZACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1,若CM-CN的3最小值为三，则cosZACB=4 >> 3 —-CM-CN的最小值为工，•：CP=1，由平几知识知：当CP丄AB时，CP最小，如图，作CH丄AB,4 minH为垂足，则CH=1，又AC=2BC=4,所以ZB=30o，sinA=1,所以cosZACB=cos(150o—A)4=1-3送8CC已知AB为圆O的直径,M为圆O的弦CD上一动点,AB=8,CD=6,则MA・MB的取值范围是 6.6.答案［—9,0］解析如图，MAMB=MO2—AO2=MO2—16,・.・|OG|<|OMi<|OC|,・・・V7<|OMi<4,:.MAM的取值范围是［—9,0］.如图，设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的弧APB上,则PCPD的取值范围为 ・7.答案［0,16］解析如图取CD的中点 连接PE,PC・PD=PE2—DE2=OE2—2,2W\PE\W2书,所以PCPD的取值范围为［0,16］・

TOC\o"1-5"\h\z已知正△ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上的一个动点，延长AE交圆O于点F,则鬲•扇的取值范围是 .8.答案［0,6］解析取AB的中点D,连接CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2，所以CD=3,AB=2书.又由极化恒等式得：FAFB=|FQ|2-|AD|2=|FD|2-3,因为F在劣弧BC上，所以当F在点C处时，|FD|=3,当F在点B处时，|PD|.max min=V3，所以PAPBw［0,6］.已知AB是半径为4的圆O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为1,P是圆O上的动点，贝VPAPB的取值范围为 .9.答案［—6,10］解析极化恒等式法设AB的中点为C,连接CP,则PA^PB=|PC|2-|AC|2=|Pc|2—15.|PC|2—15225—15=10,|PC|2—15三9—15=—6.BB矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN=2,贝^AMAN的最小值为 .10.答案15解析取K为MN中点，由极化恒等式，AM-AN=|AK|2-1,显然K的轨迹是以点C为圆心,1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK|讪=5—1=4,所以AMAN的最小值为15.在△ABC中，已知AB=焉,C=n，则C1CB的最大值为.

311•答案2解析设D是AB的中点，连接CD,点O是KABC的外心，连接DO并延长交圆O于C,由△abc是等边三角形，vad^23,:,cd=2，则dCB=|CD|2—DA|2=|CD|2—(¥)2mCD|2—4=(2)2—3=2・•••(CA・CB)maH・12.已知在12.已知在△ABC中,F0是边AB上点P,恒有Pi・PC2pB・pC,则( )A.ZABC=90° B.ZBAC=90° C.AB=AC D.AC=BC12.答案12.答案D解析如图所示，取AB的中点E,因为P0B=1AB，所以P°为EB的中点，取BC的中点D,则DP0为ACEB的中位线，DPJ/CE.aE片根据向量的极化恒等式，有PBPC=PD2—DB2,P0B・p0C=pD2—DB2.又PE・PC2pB・pC，则|PD|^|P0D|恒成立，必有DP0丄AB.因此CE丄AB,又E为AB的中点，所以AC=BC.13.在正方形ABCD中，AB=1,A,D分别在x,尹轴的非负半轴上滑动，则OC・OB的最大值为 .13.答案2解析如图取BC的中点E,取AD的中点F,Oc^oB=OE2-bE2=OE2^^,而|OE|W|OF|1 1 3+|Fe|=2||AD|+|FE||=2+1=5，当且仅当o,f,e三点共线时取等号.，所以Oc・OB的最大值为2.

14．在三角形ABC中，D为AB中点,F分别为BC，AC在三角形ABC中，D为AB中点,F分别为BC，AC上的动点，且15 f1 ff14.答案~4解析设EF的中点为M,连接CM,则ICM\=2,即点M在如图所示的圆弧上，贝DEDF=|DMi2-|EMi2=|DMi2-4^||CD|-2|2_-4=^45.15.在RtABC中，ZC=90。，AC=3,AB=5,若点A,B分别在x,尹轴的非负半轴上滑动，则的最大值为 15.答案18解析如图取AC的中点M取AB的中点N,则OMz—AM2=OMz—Q）2W（ON23 5 3—NM2）—（2）2=（2+卫2—（2）2=18■16.已知正方形ABCD的边长为2,点F为AB的中点，以A为圆心，AF为半径作弧交AD于E,若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值为 .16.答案5—2石解析如图取CD的中点M,PCjPD=PM2—DM2=PM2—1,而|PM1+1=|PM]+|AP|3AM={5，当且仅当P，Q重合时等号成立，所以PCPD的最小值为（诵一1）2—1=5—2応.

17．如图，已知B,D是直角C两边上的动点，AD丄BD,|AD|=\'3,ZBAD=n，（M=2（CA+CB）,17．1（CD+CA）,则CM・CN的最大值为 .17．答案辿土4解析设MN的中点为G,BD的中点为H,CM・CN=|C5|2—|前2=|CG|2—17．v|CG|<|CH]+|HG|=2^；4'3,.CM.Cfeg+H^-i^ji]+4.所以CM・CN的最大值为也4^18．如图，在平面四边形ABCD中，AB丄BC,AD丄CD,ZBCD=60。,CB=CD=2\l3.若点M为边BC上的动点，贝yAMDM的最小值为 18．18．18．答案~4解析设E是AD的中点，作EN丄BC于N,延长CB交DA的延长线于F,由题意可得:FD=“j3CD=6,FC=2CD=4“j3,.：BF=2\/3,.・.AB=2,F4=4,.°.AD=2,AB=寻=|,EN=|.5 21 21则AM・DM=MA・MD=|ME|2—|EA|2=|ME|2—CEN2—1=（2）2—1=才.：・AM・DM=4.另解设E是AD的中点，作EF丄BC于F,作AG丄EF于G,VAB丄BC,AD丄CD,化四边形ABCD共圆，如图，由圆的对称性及ZBCD=60°,CB=CD=2.^3，可知ZBCA=ZDCA=30°,：・AB=2,

vzgae=30°，age=2'，aef=2+1=|，则AM・DM=MA.MD=|ME|2_|EA|2=|ME|2_1nEN2_1=(|)2—1=21..•.AM・DM=2119．（201819．（2018・天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB丄BC,AD丄CD，ZBAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，贝则为边CD上的动点，贝则AE・BE的最小值为19．21答案16解析通法如图，以D为坐标原点建立直角坐标系.连接AC,由题意知ZCAD=ZCAB=60°,ZACD=