平面向量(沪教版)

专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量。例如：力，速度。2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的—► 方向。用小写字母a,b…或用AB,BC,••表示。注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段。3•模:向量的长度叫向量的模，记作问或|AB].向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定。注意：0和0是不同，0是一个数字,0代表一个向量，不要弄混.5•单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a0=-°a注意：单位向量不是只有一个，有无数多个,如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。注意:由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量a,b，若存在非零常数九使a=九b是a〃b的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量。练习:★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的。 (X)解：有可能方向相反.TOC\o"1-5"\h\z2、与零向量相等的向量必定是零向量. (V)3、零向量与任意的向量方向都相同。 (V4、向量就是一条有向的线段。 (X ►—►—►—► ►―►\o"CurrentDocument"5、若m=n,n=k，则m=ko (V)—► —►6、 若a=b,，则a—b=°. (X解：注意区分°和零向量。

典例精讲例1(★)下列说法正确的是(D)A、 数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C、 向量的大小与方向有关.D、 向量的模可以比较大小。解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2(★★)给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;若Ia1=1bI，则a=b；③若AB③若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形;平行四边形ABCD中,一定有AB=DC； ►—►—►—► ►—►若m=n，n=k，则m=k；⑥若a〃b,c〃b，则a〃c.正确的是 ④⑤ 解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量例3。 (★★)在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(C)A.AB=DCb.AD+AB=AcD—CC.AB-AD=BD ► ►—►D.AD+CB=0/AB课堂检测1(★)下列说法中错误的是(A(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行(C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的B)2(★★)已知O在AABC所在平面内，且OA=OB=OC,且则点O是AABC的B)A。重心B。外心 C.垂心 D。内心解：向量经常会放在三角形中考虑,重心：中线交点,外心：垂直平分线交点,垂心:高(垂线)的交点,内心：角平分线的交点。3(★★★)判断下列各命题的真假:向量AB的长度与向量BA的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向一定相同或相反；两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为(C)A、2个 B、3个 C、4个 D、5个解：假命题是(2)(4)(5)(6)；(2)向量a与向量b有一个为零向量，专题:平面向量的数量积知识梳理1、向量的夹角:己知两个非零向量a,b，如果以o为起点作OA=a,OB=b，那么射线OA,OB的夹角6叫做向量a与b的夹角.6的取值范围是0<6<k当6=0时，表示向量a与b方向相同；当6=兀时，表示向量a与b方向相反；当6=y时，表示向量a与b相互垂直。【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和兀的实际意义。】2、向量的数量积已知两个非零向量a与b的夹角为6(0<6<兀)，则把abcos0叫做a与b的数量积，记作a•b•即—>—►—►—►a•b=1aIIbIcos0两个向量的数量积是一个实数；a•a=a2>0，当且仅当a•a=0时,a=0f f f f f已知两个非零向量a与b的夹角为6，则bcos0叫做向量b在a方向上的投影.—►—►显然b在a方向上的投影等于.IaI

—>—► —►—► —► —► ——>—► —►—► —► —► —► —►(4)a-b的几何意义： a-b等于其中一个向量a的模a与另一个向量b在向量a的方向上的投影—►bcose的乘积.【数量积a-b中的运算符号“•”不能写作“x”，也不能省略.a在b方向上的投影是数值(其正负由夹角的大小而定)，而不是长度，也不是向量；】3、向量数量积的运算律①交换律成立：a-b=b-a对实数的结合律成立:分配律成立：'土b^.c=a.c±b.c=c特别注意：(1)结合律不成立:a•(cU•b)C；—■i —fc- ―—fc3 —b ―hi(2)消去律不成立a-b =a- c不能得到b =c -(3)a-b=0不能得到a=0或b=0④但是乘法公式成立：(+bX-bla2-b2==a土2a-b+b2；等等。⑤两个向量垂直的充要条件是：a-b=0a土b"=a2土2a-b+b24、向量数量积的坐标表示设a二(x,y),b二(x,y)，则a•b二xx+yy，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.11221212a与b夹角为e，则cose=xx+yy—1―21—2x2+y2x2+y1122a与b的夹角为锐角等价于xix2+yiy2>0且%1y2丰%2yia与b的夹角为钝角等价于xix2+yi<0且%1y2丰%2yi引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。】典例精讲TOC\o"1-5"\h\z3 -例1. (★★)(1)已知向量a与b的夹角为0，且sin0=5」a1=5，则a在b的方向上的投影是 ；(2)在Rt^ABC中，ZACB=90°，IAC1=3，求AC•AB的值.- - 3 一解：(1)°・°a与b的夹角为0，且sin0=5，又0—0—兀」a|=5,cos0=±x/l-sin20=±4，5所以向量a在向量b方向上的投影是IaIcos0=5-(±4)=±4。(2)・・・ZACB=90°, AC丄CB，又AB=AC+CB,IACI=3，AC•AB=AC•(AC+CB)=Ac•Ac+Ac•CB(AC•CB=0)=9【(1)a在b方向上的投影是数值(其正负由夹角的大小而定)，而不是长度,也不是向量;(2)找准向量的夹角,用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点.】-► ―► -»-» —►—► —►—►例2. (★★★)已知IaI=2,IbI=3,a与b的夹角为丁，当向量a+b与九a+b夹角为锐角时，求实数4九的取值范围。解：a+b与九a+b夹角为锐角，••• (a+b)•(九a+b)>0即九a2+(1+九)a•b+b2>0・.・a•b=迈x3xcos-=3•5九+12>0,得九>—E4 5易知当九二1时，a+b与九a+b夹角为0°12.•.九丰1从而得九w（—~5，1）U（1,+QJ【当两个向量的数量积大于0时,它们的夹角取值范围是［0°,90°)】巩固练习兀1. (★★★)已知IaI=弋3,IbI=3，a与b的夹角为7,试求a+2b与a—b的夹角的余弦值.解：a解：a+2b与a-b的夹角的余弦值2顷-31冗2. (★★★★)已知Ia1=21b1=3,a与b的夹角为丁，当向量a+九b与九a+b夹角为锐角时，求实4数九的取值范围。解：九＜解：九＜-11-、-856-11+.85【a•b＞0是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】例3. (★★★★)已知AABC,AB=(k-1,2),AC=(-1,2).⑴若k=4,求SAABC(2)若三角形为直角三角形，求SAABC , »» AB•aC 1 8解：（1）AB=（3,2），设AB与AC为9,cos0=IABIIACI=帚’则sin°=昴•••Sabc=21AB11ACIsin6=4（2）若ZA=90。，AB•AC=0得k=5/.S =5aabc若ZB=90。,AB•CB=0得k=1或°（舍）•••S%c=1若ZC=90。,AC•CB=0,得k=0（舍）向量在垂直关系中的应用】巩固练习(★★★)在直角三角形aABC，AB=(2,3),AC=(1,k)，求实数k的取值范围解：k=-3或牛或宅亘J J 厶例4・(★★★)已知向量a=(cosa,sina),b=(cos卩,sin卩)，且a,(k为正实数)。(1)求证:(a+b)丄(a-b)；(2)求将a•b表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a,b的夹角e.—»—————>■ —>解(1)证明：(a+b)•(a—b)=a—b=IaI2—IbI2=06

(2)tIka+b1=J3Ia一kbI(ka+b)2=3(a-kb)nk2a2+2ka-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2又a2=cos2a+sin2a=1,b2=cos2卩+sin2卩=1故k2+2ka-b+1=3-6ka-b+3k2得a-b=罟，瞬(k)=罟(k>0)(3)•・・k>0,f(k)=当且仅当k当且仅当k=1即k=1时,k故f(X)的最小值是2,崩=2.又)。爪18。"气.向量具有独立的一整套运算体系,它可以上下贯通，左右协调，前后衔接，具有很强的工具性。】12例5。(★★★)已知三角形△ABC的面积为30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA=右(1)求AB-AC；(2)若c-b=1,求a的值.解：由cosA=1|，得sinA=\：1-(1|)2=5bcsinA=30ABC2..bc=156(1)AB•AC=1ABIIACIcosA=bccosA=156x12=144丿 13(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2x156x(1-*=25，又a>0a=5【三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．】

巩固练习(★★★)已知△ABC的面积S满足错误!SSS3,且错误!•错误!=6，设错误!与错误!的夹角为氐(1)求e的取值范围；⑵求函数f(e)=sin2&+2sinO・cose+3cos2&的最小值.解：(1)・・・错误!•错误!=6,・・・1错误!1・1错误！丨・cose=6oA|错误儿丨错误!=错误！又TSm错误！1错误！I错误！I•sin(n—e)=3tane,・错误!<3tane<3，即错误!<tane<1。又ve^(0,n),・・错误!<e<错误！.(2)f(e)=1＋2cos2e＋sin2e=cos2e＋sin2e＋2=错误!sin错误!+2,由ee错误！，得2ee错误！，・・・2e+错误！丘错误！n・••当2e+4=错误!n即e=错误!时，f(e)min=3.则错误!<e<错误！ f(e)min=3.例6.(★★★★)已知向量OA—(1,3),OB—(2,1),OB=-[OB(neN*)。0 n 2 n-1、n-1n⑴判断吧B1、n-1n(2)求数列｛IBBl｝(neN)的通项公式;n-1n(3)若AABB的面积为Sn-1n AABB > > > > >解：(1)BA=OA-OB=(-1,2) OB-BA=-1x2+2x1=00000所以OB丄BA,AABB为直角三角形。0001(2)IOBI=]丨O厂I(neN*)，所以｛IOBI｝成等比数列，公比为1TOC\o"1-5"\h\zn2 n-1 n 2IOBI=IOBI(bn=叔1)n，n022II=IOB-OBI=IOB+2OBI=3IOBI=3和5(丄)nn-1n n n-1 n n n 2n-1n(3)a=S――IBBIxIBA—xn AABB2 n-1n 0 2即｛IBBn-1n(3)a=S――IBBIxIBA—xn AABB2 n-1n 0 2nX頁—15(bn+1n-n-1na1 1 15n+1= ,｛a｝成等比数列，公比q=，首项a=-a2n 2 1 4n

1515——1—1-q课堂检测(★★★★)已知向量a主e丨e1_1，对任意teR，恒有Ia-te1>1a—eI，贝J( )A。a丄e B。e丄(a一e) C.a丄(a一e) D.(a+e)丄(a-e)解：B(★★★★) 设O(0,0)A(1,0),B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP=XAB,若 ► ► ► ►OP-AB>PA-PB，则实数九的取值范围。解:1一<X<1ff ——►—►——►3