平面几何证明

初中数学重点归纳－平面几何证明［竞赛知识点拨］1．线段或角相等的证明利用全等△或相似多边形；利用等腰厶；利用平行四边形；利用等量代换；利用平行线的性质或利用比例关系利用圆中的等量关系等。2．线段或角的和差倍分的证明转化为相等问题。如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。3．两线平行与垂直的证明利用两线平行与垂直的判定定理。利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。【竞赛例题剖析】【例1】从00外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

连结ED、AC、AF。CF二连结ED、AC、AF。CF二DF—AACF竺AEDF—AC=EDk^AEZ/CDZACF^ZEDFZAFC=ZEFD^-^ZEFD=ZAEF=ZABPZAFC=ZABP^A.F、E、P四点共圆j—ZPAB=ZAEB=ZPFB注：连结OP、OA、OF,证明A、0、F、P四点共圆亦可。p【例2】△ABC内接于00,P是弧AB上的一点，过P作0A、0B的垂线，与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN二NT。pPM_TOA【分析】只需证NP,PM・PN=MS・NT。A(Zl=Z2,Z3=Z4)fAAPMs^PBNPM_AMfBNPNfPM・PN二AM・BN(ZBNT二ZAMS,ZBTN二ZMAS)fABNTs^SMAMS_AMfBNNTfMS・NT二AM・BN

ffi2-1【例3】已知A为平面上两半径不等的圆0和0的一个交点,12两外公切线ffi2-1【例3】已知A为平面上两半径不等的圆0和0的一个交点,12两外公切线PP、QQ分别切两圆于P、P、Q、Q,M、M分1212121212别为PQ、PQ的中点。求证：ZOAO二ZMAM。11221212【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C,交00于M,则C为PP的中121点，且PM〃CM〃PM,1122为MM的中垂线。12在0M上截取MO=M0,1 3 2ZMA0=ZMA0。1 3 2 2图3-12故CM故只需证Z01AM1=Z03AM1,即OZA6叫由厶P0MSP0M,M0=M0,0P=0A,0P=0A可得。1 1 1 222 1 3 22 1 1 1 22 2【例4】在厶ABC中，AB>AC,ZA的外角平分线交AABC的外接圆于D,DE丄AB于E,山月一山O求证：AE=2 。图4 4-1 图4-2【分析】方法1、2AE=AB-AC-在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证△DBF竺ADCA—DF=DA,ZDBF=ZDCA,ZDFB=ZDACZDFA二ZDAF二ZDAG。方法2、延长CA至G,使AG=AE，则只需证BE=CG连结DG、DC、DB，则只需证△DBE^^DCG

DE=DG,ZDBE=ZDCG,ZDEB=ZDGC=RtZ。【例5】ZABC的顶点B在00夕卜，BA、BC均与00相交，过BA与圆的交点K引ZABC平分线的垂线，父00于P,父BC于M。匚求证：线段PM为圆心到ZABC平分线距离的2倍。.【分析】若角平分线过0,则P、M重合，PM=0,结论显然成立。只需证DD'二PM。连结D'P、DM,则只需"若角平分线不过0,则延长只需证DD'二PM。连结D'P、DM,则只需.••ZD'PK二ZDMK,・・・D'P〃DM。而D'D〃PM,•••DMPD'为平行四边形。【例6】在厶ABC中，AP为ZA的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH丄AP于H,AM的延长线交BH于Q,求证：PQ〃AB。【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。倍长中线：延长AM至M',使AM二MA‘，连结BA',如图6-1。

PMQMMB+PMMA+QMBP_AQBP_PC=AQQAZPQ〃BP_PC=AQQAZII，AC=AJB=-^^ZABQ=ZAJBQZA'BQ=180°-(ZHBA+ZBAH+ZCAP)二180°-90°-ZCAP=90°-ZBAP=ZABQ方法2、结合角平分线和BH丄AH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于B',如图6-2。则H为BB'的中点，因为M为BC的中点,连结HM,则HM〃B/C。延长HM交AB于0,则0为AB的中点。延长M0至M',使0M'=0M,连结M'A、M'B，则AM'BM是平行四边形，HP.•・MP〃AM',QM〃BM'。于是,HMHQ，所以PQ〃HP.•・MP〃AM',QM〃BM'。于是,HMHQ，所以PQ〃AB。AAEM0DbBGCFFC【例7】 菱形ABCD的内切圆0与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作00的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。求证：MQ〃NP°(95年全国联赛二试3)【分析】由AB〃CD知：要证MQ〃NP，只需证ZAMQ=ZCPN,AMCP结合ZA=ZC知，只需证厶AMQsACPNjAQCN,aM・cn=aq・cp。连结AC、BD，其交点为内切圆心0。设MN与00切于K,连结0E、0M、OK、ON、OF。记ZAB0二巾，ZM0K二a,ZK0N二B，贝卩ZE0M二a,ZF0N二B,ZE0F=2a+2B=180°-2©。

.•・ZB0N=90°-ZN0F-ZC0F=90°-B-©二a.•・ZCNO二ZNBO+ZNOB二巾+a二ZAOE+ZMOE二ZAOMAM_AO又ZOCN二ZMAO,・AOCNsAMAO,于是COCN,・AM・CN二AO・CO同理，AQ・CP二AO・CO。【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP丄AB。【分析】延长KP交AB于L,则只需证ZPAL+ZAPL=90°,即只需证ZPDC+ZKPC=90。，只需证ZPDC=ZPKF,因为P、F、K、E四点共圆，故只需证ZPDC=ZPEF,即EF〃DC。DE_DPDE_DA_2DMDE_DM氏_丽_氏_西_2CN_疋_Cbf—△DMEs^cnf【例9】以厶ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证：AM丄BC。合。【分析】连结BE、CD交于H,则H为垂心，故合。AH丄BC。同一法）设AH丄BC于O,DG、AH交于M，EF、AH交于M：。下面证M、M重12OMi_GO OGtDFOM〃DF—DFGF—om二FG110M2_FOEG*OF0M〃EG— —OM二FG。22QG_EG只 需 证 OG・DF=EG・OF , 即 而一丽—RtAOEGsR@ODF—ZDOF=ZDHB=ZEHC=ZEOG。－几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想象是促进人类发展的伟大天赋。”解题一项创造性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指：1．全面地设想设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的大致方向，构思各种不同的处理方案。例1.在ABCD中，AB=AC,D是BC边上一点，E是线段AD上一点,且/BED=2/CED二ZBAC，求证：BD=2CD（92年全国初中联赛试题）例2.在AABC中，AB>AC，ZA的外角平分线交AABC的外接圆于d，DE丄AB于E。” （AB-AC）求证：AE= 2 （89年全国高中联赛试题）3.在RtAABC的斜边上取一点D,使AABD和AACD的内切圆相等。证明：S 二AD2AABC（31届IMO备选题）例4.设A是三维立体abe的长方体砖块。若B是所有到A的距离不超过1的点的集合（特别地，B包含A），试用abe的多项式表示B的体积（84年美国普特南数学竟赛试题）2.广泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其相关的各种不同的事物进行由此彼的思索。在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知命题，并设法将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。例5.在AABC中角A,B，C的对边分别为a,b，c,若角A,B，C的大小成等比数列，且b2-a2=ae，求角B（85年全国高中联赛试题）例6.四边形ABCD内接于Oo,对角线AC1BD于P,E是CD的中点，OF1AB于F。求证：PE=OF（78年上海高中竟赛试题）例7.在正方体ABCD-ABCD中，E是BC的中点，F在棱AA上，且11111AF:FA=1:2,求平面BEF与底面ABCD所成的二面角。（85年全国高中联赛试题）111111例8.设AAAA为O0的内接四边形，H,H,H,H依次为12341234AAAA,AAAA,AAAA,AAAA的垂心。求证：HH,H,H四点在同一个圆上，234341412123,1,234并确定该圆的圆心位置。（92年全国高中联赛试题）3.大胆地猜测想猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的德国数学家高斯就曾深有体会地说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。”“若无某种放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”在解题过程中，通过猜想不仅可以得到问题的结论，而且还可以获得解题的途径，但应注意，由猜想所得出的结论不一定可靠，其正确性还必须经过严格的逻辑证明或实践的检验。例9.正方形ABCD的边长为1，P,Q分别是边AB与边AD上各一点。若AAPQ的周长为2。求ZPCD（88年国家队选拔试题）ABADAM例10•已知圆内接四边形的对角线AC与BD相交于M。求证： x=—CBCDMC例11.已知四面体p-ABC的六条棱长之和为l，并且ZAPB=ZBPC=ZCPA=900，试求它的最大体积。（28届IMO备选题）例12.设正方体ABCD-ABCD的棱长为a，过棱BC上一点Q作一直线与棱AA和1111111DC的延长线分别交于P,R，试问：当Q在棱BC上移动时，线段PR最短时的长度是多11少？证明你的结论。二.精心地进行类比类比，是指人们在观察或思考问题时，往往把相似的事物加以比较，并把处理某些事物的成功经验用到与其性质相似的另一些事物上去的思维方式。在解题过程中，若能将它与相似的问题精心地进行类比，则往往可由此得到解题途径，甚至发现新的知识。例13.四边形ABCD内接于。O，对角线AC与BD相交于P，设AABP,ABCP,ACDP和ADAP的外接圆圆心分别为O,O,O,O。求证：OO,OO,OP三直线共点。（901 2 3 4 13 24年全国高中联试题）例14.在四面体O—ABC中，已知ZAOB=ZBOC=ZCOA=9Oo，试问：S,S,S ,S之间有何关系？证明你的结论。AABCAAOBABOCACOA例16.设O是四体ABCD内部的任意一点，AO,BO,CO,和DO的延长线分别与面

BCD,ACD,ABD和ABC交于A',BC',D'。求证:OA+OA+空+竺+丝=iAA'BB'CC'DD'例17.AABC和AABD在边Ab的同侧，ZACB+ZADB二180。，且边BC与边AD相交于E点.求证：AE-AD+BE-BC=AB2.例18•已知半径分别为R、r（R>r）的两圆内切于A，AE是外圆的直径，AE的垂线与两圆分别交于AE同侧的两点B和C，试求AABC的外接圆直径（83年苏联竞赛题）例19.设AO是AABC的角平分线，且点B,O,C共线（i=1,2,…,n）,则OB-BB-OB-BB-BB1 1_2 2_3OC-CC-CC1 1 2 2 3BB-BOfAB-AB—n—1nn=1 2-CC-COIAC-ACn—1nn 1 2ABYT（79年苏联竞赛题）AC丿n例20.已知菱形ABCD外切于。O,MN是与边AD,CD分别交于M,N的。O的任一切线，求证：AM-CN为定值。（89年苏联奥赛题）例21.设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任一点，求证：（1）PB+PC=PA；（2）PB-PC=PA2-AB2例22.求证：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个内角的余弦之和小于这个三角形周长的一半。例23.AABC外接于0O，P是AB弧上一点，过P作OA,OB的垂线，与AC,BC分别于S,T,与AB分别义于M,N。求证：PM二MS的充要条件是PN二NT。例24.在凸六边形ABCDEF中，若对角线AD,BE,CF中的每一条都把六边形分成面积相等的两部分，则这三条对角线相交于一点（88年苏联奥赛题）习题若CE是AABC的ZC的平分线，且CE2=AE-EB，则AE:AC=1 （78年四川联赛试题）在AABC中，AB二AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q,使AP=BQ。求证：AABC的外心与A,P,Q四点共圆（94年全国初中联赛试题）平面上已给一锐角AABC，以Ab中直径的圆交高CC'及延长线于M,N，以AC为直径的圆交高BB'及其延长线于P,Q，证明：M,N,P,Q四点共圆（90年美国19届奥赛题）4.已知一凸五边形ABCDE中，ZBAE=3a,BC=CD=DE，且ZBCD二ZCDE二180°—2a，求证：ZBAC二ZCAD二ZDAE（90年全国初中联赛题）5