高中数学人教B版三学案：3．3.1　几何概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.3随机数的含义与应用3．3.1几何概型[学习目标]1．了解几何概型与古典概型的区别．2．理解几何概型的定义及其特点．3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．［预习导引］1．三角形的面积S＝eq\f（1,2)ah(其中底为a，高为h)；圆的面积S＝πr2.2．棱锥的体积V＝eq\f（1,3)Sh,棱柱的体积V＝Sh,球的体积V＝eq\f（4，3）πr3.[知识链接］1。几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2.几何概型的概率计算公式在几何概型中,事件A的概率定义为：P（A)＝eq\f(μA,μΩ），其中，μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．要点一与长度有关的几何概型例1取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？解如图所示．记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A。把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的eq\f（1,5），所以事件A发生的概率P(A)＝eq\f（1，5）.规律方法1。解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A包含的基本事件转化为相应的长度，进而求解．2．在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪演练1两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f（1，3）。要点二与面积有关的几何概型例2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m"，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2）,阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P（A）＝eq\f(184，600）＝eq\f(23，75）≈0.31。即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31。规律方法解此类几何概型问题的关键是：（1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪演练2（2013·陕西高考)如图,在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－eq\f（π,4)B.eq\f（π，2)－1C．2－eq\f(π，2）D.eq\f(π，4)答案A解析由几何概型知所求的概率P＝eq\f（S图形DEBF，S矩形ABCD）＝eq\f(2×1－π×12×\f(1，4）×2,2×1)＝1－eq\f（π,4）.要点三与体积有关的几何概型例3一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”,求蜜蜂“安全飞行"的概率．解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点,这个点到各面的距离均大于1。则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝eq\f（13，33)＝eq\f(1,27).规律方法如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A）＝eq\f(构成事件A的区域体积,试验的全部结果构成的区域体积）.跟踪演练3本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于eq\f（1,3）的概率．解到A点的距离小于eq\f（1,3）的点,在以A为球心，半径为eq\f(1,3）的球内部,而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为eq\f（4,3）π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3))）3×eq\f(1，8）。∴P＝eq\f(\f（4,3）π×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3))）3×\f(1,8)，33）＝eq\f(π,2×37）。1．下列关于几何概型的说法错误的是（）A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案A解析几何概型与古典概型是两种不同的概型．2．(2013·南昌高一检测）面积为S的△ABC,D是BC的中点，向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为（）A。eq\f（1,3)B.eq\f（1，2）C.eq\f（1，4)D.eq\f（1,6)答案B解析向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P（M）＝eq\f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f（1,2）。3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f（2，3)，则阴影区域的面积为（)A。eq\f(4,3)B.eq\f（8,3)C.eq\f(2,3) D．无法计算答案B解析由几何概型的概率公式知eq\f（S阴，S正）＝eq\f（2,3)，所以S阴＝eq\f（2，3）·S正＝eq\f（8,3）.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是（）A.eq\f（1,12）B。eq\f(3,8）C。eq\f(1，16）D。eq\f(5,6）答案C解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒,而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1，16)。5．在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．答案eq\f（3,1000)解析由几何概型知，P＝eq\f（3，1000).1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何