结构力学讲义一零

结构力学

Structuralmechanics

第七章

结构位移计算复习⒈本章的主要内容

本章从功的概念出发，介绍了力学的一个普遍原理——虚功原理。并利用这个原理推导出了结构的位移计算公式。

本章着重介绍了代替位移计算公式中的积分运算的图乘法。

此外，本章还介绍了：静定结构在温度变化、支座移动时的位移计算;线弹性结构的四个互等定理。⒉本章的重点与难点掌握计算位移的基本方法——单位荷载法。尤其能熟练正确地运用图乘法。难点：虚拟状态的建立，各类图形的图乘。

重点：⒊本章的教学安排计划用四次课（八学时）的时间，讲授完本章§7-1到§7-8的内容。§7-9的内容不作要求。⒋本章在全课程中的地位要求静定结构的位移，必先求出静定结构的内力。因此本章可以说是对前面所学的各类静定结构的内力计算的复习。同时，位移计算又是下章即将开始学习的超静定结构的基础。因而,从全课程来看，本章是承上启下的一章，也是十分重要的内容。⒌本次课的内容及要求⑴了解形变、位移的概念及位移的种类。⑵明确位移计算的目的。⑶掌握变形体系的虚功原理（本次课重点）。§7-1结构位移的概念与计算的目的一、变形与位移⒈变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。⒉位移：结构上点的移动和面或杆的转动。⒊两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。§7-1结构位移的概念与计算的目的一、变形与位移△P有形变有位移有位移无形变§7-1结构位移的概念与计算的目的二、位移的种类⒈线位移：⒉角位移：§7-1结构位移的概念与计算的目的⒊相对线位移：⒋相对角位移：§7-1结构位移的概念与计算的目的三、产生变位的原因⒈外荷载⒉支座移动⒊温度变化⒋制造误差⒌材料收缩§7-1结构位移的概念与计算的目的四、位移计算的目的⒈确定结构的刚度。刚度不足结构不能正常工作。⒉结构在制造、安装、养护过程中必须了解某些位移。⒊用于超静定结构的内力计算。⒋用于动力计算和稳定性计算。§7-2变形体系的虚功原理一、刚体系的虚位移原理

刚体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力作的总虚功等于零。⒈虚位移：

——指约束条件所允许的任意微小的位移，不一定与对应的力有必然的联系。⒉理想约束：——指其约束反力在虚位移上所作的功恒等于零的约束。如光滑铰结，光滑链杆。§7-2变形体系的虚功原理ABL/3P△P△BRB虚位移△B§7-2变形体系的虚功原理二、变形体系的虚功原理——外部虚功总和为零。

变形体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。§7-2变形体系的虚功原理按两种途径求总虚功：⒈着眼于力：力状态力外力(P1P2qMR1R2

R3

)内力(MNQ)§7-2变形体系的虚功原理又因为：⑴

任何相邻微段的相邻截面上内力大小相等，方向相反。⑵

虚位移是协调的，满足变形连续条件。§7-2变形体系的虚功原理⒉着眼于变位：位移状态ABDCABD”C”ABD’C’刚体位移变形位移位移刚体位移变形位移§7-2变形体系的虚功原理⒉着眼于变位：位移状态微段平衡，由刚体虚功原理§7-2变形体系的虚功原理变形体系处于平衡的充要条件是：

对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。§7灾-2变形体卡系的虚朽功原理平面杆液系：——虚功炭方程γγ力：位移：§7腹-2变形杯体系崇的虚乒功原础理几点饲说明贪：⒈没有引余入物理倦条件。⒉如无猾变形筒（刚去体）泛，则T=0。⒊两种辫状态——虚位移辉原理——虚力茶原理本节歌课到欲此结舌束再谣见!§7秆-3位移谣计算梦的一砖般公堵式·单位荷熔载法杆系刊结构魂的虚界功方告程:——虚力五原理求位移§7在-3位移计挨算的一五般公式·单位搂荷载远法位移状根态（实笑际状态煮）力状态膨（虚拟核状态）△γQMN§7-趟3位移边计算石的一届般公赚式·单位荷胶载法外力：内力：——由上式希可求出熔位移△K。力状饶态§7前-3位移诱计算溪的一居般公蝴式·单位荷局载法——在虚拟漠的力状幼态中，馆于所求娇位移点驶沿所求艘位移方惰向加一疏个单位督荷载，瘦以使荷煤载虚功稀恰好等减于所求岸位移的良计算位闻移方法崇。单位捎荷载允法：§7停-3位移计衡算的一警般公式·单位脾荷载炕法说明：⒈如果计芦算结果奸为正，垃位移和匙单位荷市载方向疏相同，码反之亦数然。⒉如何笨设置寨虚拟许状态骡：DDP=1M=1DCP=1P=1§7-筑3位移剧计算关的一金般公挑式·单位荷助载法ABCDP=1ABCDdP=1/dP=1/dM=1M=1CCDC’D’PP§7-解4荷载疏作用土下的符位移精计算线弹性炼结构——结构的秩位移与虹荷载成抛正比§7别-4荷载役作用嘴下的锯位移宁计算若MP、NP、QP表示仙实际粗状态涝中微涂段上路的内销力。晴由材是料力槐学知溉：§7-爸4荷载欺作用控下的将位移弊计算其中踪蝶：E——材料弹戒性模量I——杆件截滤面的惯眯性A——杆件定截面腿的面无积G——剪切孙弹性迁模量K——剪应码力沿聚截面眼分布科不均坑匀引趣起的悟改正族系数矩形：园：§7-传4荷载作窄用下的厚位移计秋算——平面吓杆系涛结构笛在荷透载作酿用下纺的位杏移计戚算公卸式。§7丈-4荷载作祝用下的丸位移计淘算说明鼻：1.逐段、部逐杆积益分。2.精确于隶直杆、斥曲杆不请精确。雨如其曲勒率不大拾（截面傅高≤R），可得啦较精禽确的叛解。3.对以受糠弯为主棉的结构握（梁、使刚架）监：对只抛有轴趣力的俊结构手（桁亏架）崇：组合结衣构则应蜂分别对梁待。§7钢-4荷载作殿用下的榨位移计痛算例1：求△cy1.建立词力状循态，易在C点加单位晴竖向力周。2.建立蚀各杆聋内力絮方程巡寿：3.求位着移：EIEI§7悉-4荷载作缩慧用下的只位移计复算积分注塘意事项饿：⒈逐段、五逐杆积初分。⒉两状态摩中内力待函数服际从同一宣坐标系遮。⒊弯矩的抓符号法帜则两状钱态一致准。§7-培4荷载席作用温下的响位移朽计算例2、求∠AD优C改变伤量。§7播-4荷载洁作用滨下的燥位移录计算1.求各唇杆内况力。杆ADACDCDE00CB00CE00EB00解：低建立且力状率态。§7叠-4荷载铲作用底下的怨位移纽奉计算2.求位闹移：例3、求：qlAx解：§7-犯4荷载作柜用下的储位移计迷算aaABCqqa2/2MP图a例4、求：解：作业谦：P1背25沈7柳-1席7郊-27-盟4(议a)本节裤课到植此结坊束再溪见!§7母-5图乘植法：递（Gra斤ph登Mul径tip税lic炕ati掏on）可用收图乘滥法代蚁替积驶分运鸣算的究条件蹲：1、杆轴礼线为缸直线咱。－－义等直垄截面撕杆。(ri骡gi亚di麦ty刚体)3、之中至少有一者为直线图形（或由直线段组成的折线）。2、EI沿杆漠长不棕变。§7桶-5图乘汉法：厉（Gra烂ph季Mul笔tip捆lic鸽ati缺on）§7就-5图乘屋法：御（Gr互ap乎h温Mu百lt镜ip感li谜ca量ti检on）由图乱可知钻：(a)代入积伐分公式艰，得到上述械积分傍等于幼一个M图的面织积ω乘以其耳形心处烦所对应赤的另一裹个直线M图上的耀竖标yc，再除鄙以EI——图乘法。§7-膨5图乘垦法：（Gr斑ap较h动Mu盲lt互ip舒li得ca梨ti收on）3.如ωP(MP)与yc同侧为烂正，否秋则为负丝式。注意事甩项：1.三个条局件必须络同时成乌立。分缸段满足林，则分杰段图乘睁。2.yc必须祝取自灶直线恼图形杰。§7仅-5图乘抽法：饼（Gra剖ph矮Mul脑tip荡lic准ati纸on）几种残常见更简单却图形堵的图助乘1、两个梯假形：其中：§7-访5图乘套法：柿（Gra誓ph轨Mul宿tip索lic娇ati狂on）若a、b或c、d不在关基线绞同一旨侧，掠处理知同上桌：其中富：§7撑-5图乘法阻：（Gra帝ph汽Mul连tip业lic取ati贯on）2.曲线换（均川布荷叫载作威用的渣区段愚）和符直线垂相乘移：§7赛-5图乘法坦：（Gra河ph救Mul忽tip俊lic丧ati惠on）作业：P1米26往7-俘6栗7-懒7由于内两个钱图形大都左弱右对鹿称，只用计截算一半启（AC段）：§7-翁6温度狭变化翠引起弃的位乐移计搁算实际状至态（位蠢移）虚拟功状态（力上）§7皆-6温度变罢化引起摄的位移喝计算温度渴变化膊不产颈生剪油切变燥形，着即§7寻-6温度断变化颈引起压的位冶移计挑算注意事啊项：⑴符号呀法则§7-姻6温度张变化挨引起灿的位肿移计裙算⑵轴向变针形不能抖忽略（球梁、刚屋架）。⑷当制造押误差，子长短量旷为△l，与温度廉变化类大似，位叉移计算诱公式为锡：如：⑶对于桁拔架：AB制造长度：

求§7冤-6温度变亏化引起娱的位移镇计算作业P12序77丹-10拐7-太16解：⑵⑴例2、AB、BC杆比础设计贡短了1cm，求△By。⑴

求：⑵解：§7-吃7支座位倍移引起注的静定辨结构的亩位移计稼算§7-锣7支座胀位移娱引起趁的静邪定结扇构的柜位移叙计算符号桶法则放：当与C方向一致时，其乘积为正，反之为负。

例1、求△Cy。⑵求位翅移：⑴求⑴求⑵例2、求额杆BC的转角蓄。例3、（题7-12）求，并勾绘变形曲线。

⑵图乘：⑶绘变驴形曲赞线。§7时-7支座位里移引起躬的静定植结构的念位移计渴算作业7-1识4到7-草177-1挥8哄7-争197-月20熄7洒-2皂1§7-8线弹性似结构的梯互等定跑理一、功愉的互等宋定理§7-迫8线弹性详结构的勾互等定扁理再反星过来舅：§7-8线弹趋性结侨构的趣互等畜定理第一刑状态剪的外袜力在辱第二美状态腔的位贯移上伴所作柜的虚赞功，驻等于及第二抖状态友的外蚀力在其第一欧状态娇的位序移上睛所作诱的虚议功，死这就膏是功的互戏等定理。§7-鸣8线弹性工结构的障互等定伤理二、雄位移煌互等棉定理§7-唇8线弹性曲结构的箭互等定市理第二个贷单位力净所引起牛的第一孔个单位耻力作用悦点沿其冲方向的驱位移，型等于第绢一个单派位力所击引起的孟第二个咏单位力过作用点井沿其方答向的位仿移。这肾就是位移互技等定理。§7-8线弹性谜结构的良互等定沿理例：§7-8线弹牵性结窜构的慕互等娇定理例：易证次明：§7-8线弹性狸结构的春互等定懒理三、反测力互等辨定理（肌超静定薯结构）弄：——指广栗义力桐。§7-8线弹眼性结雁构的惹互等页定理支座1发生绿单位脊位移习引起换的支挠座2的反啄力，右等于鼓支座2发生壤单位列位移叫所引壮起的失支座1的反棋力。形这就欣是反力互聪等定理。§7-点8线弹声性结罢构的它互等编定理四、反录力位移渐互等定邀理§7-庸8线弹性移结构的光互等定铅理单位力铜所引起敢的结构塌某支座壳反力，呀等于该诱支座发赶生单位论位移所摩引起的浑单位力障作用点舍沿其方咸向的位膀移，但过符号相声反。这徒就是反力叔位移曲互等横定理。§7-宗8线弹池性结纱构的碍互等俯定理例本章鹊小结一、来从功词的概沾念出赞发，清介绍蝴了力滩学一药个普侮遍原植理——虚功原喘理，并窗据此导仙出了结在构位移锡计算的肺一般公逢式：本章距小结二、荷糖载作用疤下的结暖构位移详计算公刻式——荷载施作用技下产勾生的聋内力裂。——单位力影加在结弄构上时兴所产生的宁内力。本章培小结建立力宵状态所各必须遵伙循的原跨则：单位力爱必须与可所求位熄移相适描应，两检者须符踢合广义运力与广冠义位移乌的关系语。“广魂义力与啦广义位问移乘积瓶的单位榜是功单践位”。本章小教结三、楼图乘读法1、须疾满足的堪条件：杆轴线为直线EI沿杆长不变

之中至少有一为直线。2、本章小剧结3、强调呈注意：A、三个年条件威必须锤同时寨成立宗，分乎段满畏足，耗则分依段图党乘。B、yc必须取艘自直线占图形。C、如同侧为正，反之为负。

本章小巩结4、公式简骨化：梁、刚回架：桁窄架握：组合房诚结构挂：虹分别茧对待踪蝶。本章小遣结四、搅温度蝇变化编和支别座移药动引犁起的啊位移承计算1、温度廊变化：2、支等座移异动：本章小疲结五、互装等定理功的援互等渔定理峰：位移晕的互发等定奏理：反力的惩互等定详理：反力位让移的互启等定理监：特例本章肚小结作业：7-1辜8侮7-忙21护7-2尿4课堂练全习课堂练泼习本节果课到途此结控束再型见!1虚功原劝理△P复习虚功原原理剥：外爱力虚卧功=变形求虚功2位移鸭计算兔公式对于舞刚架视、梁响：只缠考虑钥弯矩MP引起的床位移。对于桁渗架：只集有轴力加。对于炕拱：给通常用只有详弯矩多一项葡。当倚拱轴开与压抚力曲残线相我近时院，需贴考虑成弯矩灶和轴芝力两芳项。yy0MP图M1图dxABxx03图乘违法（1）图会乘法基幅本公式条件：1各杆EI为常数恐；2杆轴究为直倍线；3MP、M1中至少梦有一个呜为直线题图形。积分等黎于曲线银图形的鉴面积乘掉以其形缩慧心对洗应的阅直线葬图形全的纵狮坐标绸。已知：EI为常数。求：MP图M图M=11例1、解：MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。PlPlB例2、解：已知性：EI裤=常数。般求B点的转音角。aaPAB4EIEIEIPaMP图M图1M=1“-”说明实扛际的转每角方向传与所设凯的单位乒力方向搏相反ql2/8×ab3a/8×aba/4图形派的形财心与扛面积戏一定尿要与荷载对应（2）船图形币的面送积和免形心y1y2y1y2+×ω2ω1×按图形分血解ω1××ω212（3）图粥形的分催解×ω1×ω2y1y23按荷载分谅解M1M2M1M2y1y3y2M2M1＋＋×ω1ω2××ω3

折线要俩分段y1y2ω1××ω2

Pll/2M图MP图解：取面积旧的范令围内芦，另筑外一馅个图络形必繁须是避直线敲。PABl/2l/2C例3、已知：EI=常数。求△CVlM图MP图ql2ql2/2ql2/2+ql2ql2/8+MP图按喉荷载扔分解落：MP图按殊叠加疫法分暗解：解：例4、已知：EI赏=常数。求△BVql2/2qlABql例5、已知：EI=常数。求△CVlBACM图l/2MP图2ql22ql2按整个易杆件肯的叠乡丰加法驶分解2ql2按半个玻杆件继的叠乏加法凡分解2ql2ql2ql2/2+=2ql2ql2/8ql2/2+=解：按半个老杆件吃的荷铺载分境解qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+l/2l/2Pl△C△DPPl/4MP图解：外力功内力功求两点膝的相对声位移：友在两点仆的连线替上加一克对儿等馆值反向棍的单位设力已知：EI=常数。求：（4）兔相对败位移挺的求诊法llM图Pa/2MP图aaPa已知：EI=常数。求：Pa/2M图4温度厅变化肚时静垃定结错构位变移的秧计算温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形3）温度改变不引起剪切变形符号包：1由温蚕度引补起的窃弯曲分方向孩与由原单位酒力引隙起的袄弯曲刑方向猛一致村，取马“正少”号保。2由温往度引阅起的免轴变魔方向床与由茶单位于力引轮起的泽轴变检方向两一致览，取刃“正仁”号诸。3其余符书号均取样绝对值壶。M图lN图ll100C100CABC图示结依构杆件甘一边温纷度升高100C。各杆恭截面耀相同耀为h，切与偶形心傻轴对脂称。凤求：C点的团竖向下位移阶。解：5支座位版移下的滩静定结剩构位移静定结狐构在支蝇座位移劈燕作用下判