必修二讲义第一章立体几何初步123第3课时

第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.把握直线与平面垂直的判定定理，并能敏捷应用判定定理证明直线与平面垂直．学问点一直线与平面垂直的定义定义假如一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α相互垂直记法a⊥α有关概念直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点P称为垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直学问点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观看折痕AD与桌面的位置关系．思索1折痕AD与桌面肯定垂直吗？答案不肯定．思索2当折痕AD满意什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理文字语言假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面符号语言a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，⇒a⊥α图形语言1．假设直线l⊥平面α，那么l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)2．假设直线l与平面α内的很多条直线垂直，那么l⊥α.(×)3．假设a⊥b，b⊥α，那么a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1以下命题中，正确的序号是________．①假设直线l与平面α内的一条直线垂直，那么l⊥α；②假设直线l不垂直于平面α，那么α内没有与l垂直的直线；③假设直线l不垂直于平面α，那么α内也可以有很多条直线与l垂直；④过一点和平面垂直的直线有且只有一条．答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的很多条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要留意理解．实际上，“任意一条〞与“全部〞表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，假如一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就肯定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即假设a⊥α，b⊂α，那么a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，那么以下命题正确的选项是________．(填序号)①假设l⊥m，m⊂α，那么l⊥α；②假设l⊥α，l∥m，那么m⊥α；③假设l∥α，m⊂α，那么l∥m；④假设l∥α，m∥α，那么l∥m.答案②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，由于l⊥α，那么l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用eq\x(命题角度1证明线面垂直)例2如下图，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究假设本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明连结BD，AE，CE，D1O，D1E，B1D1，设正方体的棱长为a，易证AE＝CE.∵AO＝OC，∴OE⊥AC.在正方体中易求出D1O＝eq\r(DD\o\al(2,1)＋DO2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(6),2)a，OE＝eq\r(BE2＋OB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a，D1E＝eq\r(D1B\o\al(2,1)＋B1E2)＝eq\r(\r(2)a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(3,2)a，∴D1O2＋OE2＝D1E2，∴D1O⊥OE.∵D1O∩AC＝O，D1O，AC⊂平面ACD1，∴OE⊥平面ACD1.eq\x(命题角度2证明线线垂直)例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)由于D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又由于DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又由于A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如下图，假设MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，由于ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，那么BD⊥MC.由于AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．假设一条直线垂直于一个平面内的以下各种状况，那么能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．答案①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不肯定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不肯定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出以下命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和平面垂直的直线只有一条；④过一点和直线垂直的平面只有一个．答案①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④明显正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，那么CE＝________.答案eq\r(13)解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝eq\r(DE2＋CD2)＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).4．PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，假设PC⊥BD，那么平行四边形ABCD的外形是________．答案菱形解析如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，那么平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.由于BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)假如两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)假如一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完善结合，利用垂直关系可推断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．以下条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.答案④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，那么下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF.答案①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．ABCD—A1B1C1D1为正方体，以下结论正确的选项是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1;④AC1⊥BD1.答案①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，那么直线AM与直线BC的位置关系为________．答案AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．直线l，m，n与平面α，给出以下说法：①假设l⊥α，那么l与α相交；②假设m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α；③假设l∥m，m⊥α，n⊥α，那么l∥n；④假设m∥n，n⊂α，那么m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)答案①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；假设m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m，n不肯定相交，所以l不肯定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如下图，PA⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，那么图中直角三角形的个数为________．答案4解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，共4个．7.如下图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，那么直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案2解析由于PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.8．在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，那么定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心答案垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，假设∠B1MN是直角，那么∠C1MN＝______.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满意条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑全部可能的状况)答案A1C1⊥B1C1(答案不唯一)解析如下图，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，那么只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．由于A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，PA＝eq\f(\r(3),2)AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，那么在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．答案很多解析设正四棱锥的底面边长为a，那么侧棱长为eq\f(\r(3),2)a.∵PM⊥BC，∴PM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.连结PG并延长与AD相交于N点，那么PN＝eq\f(\r(2),2)a，MN＝AB＝a.∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN.∵AD∥BC，∴PM⊥AD，又PN∩AD＝N，∴PM⊥平面PAD，∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.证明过点B作CD的垂线交CD于点F，那么BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝eq\r(3)，在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6).在△BEC中，由于BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)由于PA⊥底面ABCD，所以CD⊥PA.又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连结AG，FG.由于底面ABCD是矩形，E，F分别是AB，PC的中点，所以GF綊eq\f(1,2)CD，所以GF綊AE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.由于PA＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，由(1)知，CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.由于PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.三、探究与拓展14．设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①假设PA⊥BC，PB⊥AC，那么H是△AB